2025年高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. 已知点在椭圆上，，是的两个焦点，若，则（ ）.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 已知，是椭圆的两个焦点，是上一点（端点除外），则的周长为（ ）.
A. 14 B. 16 C. D.
3. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（ ）.
A. 2 B. 1 C. D. 4
4. 已知椭圆的焦点为，，过点的直线与交于，两点.若的周长为12，则椭圆的标准方程为（ ）.
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的一个焦点的坐标为，则实数的值为（ ）.
A. B. 2 C. D.
.
6.(2024·九省适应性测试)若椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a=( ).
A. B. C. D.2
7. “，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）.
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知,分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）.
A. B. 5 C. 10 D. 11
综合提升练
9. （多选题）已知,分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（ ）.
A. 椭圆的离心率为 B.
C. D. 的最大值为
10. （多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点（点不在轴上），则（ ）.
A. 椭圆的焦点在轴上 B. 的周长为
C. 的取值范围为， D. 的最大值为
11. 已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则的离心率为
12. 已知椭圆的两个焦点分别为，，为了使椭圆的方程为，可以再添加一个条件：
应用情境练
13. 在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点称为远地点，距离地心最近的一点称为近地点，远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度，近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度.已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为，若该航天器的远地点高度为，所在椭圆轨道的离心率为，则该航天器的近地点高度为
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点一侧做成镜面，并在处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线都会经过另一个焦点.如图所示，设椭圆方程,,分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足 ,，则该椭圆的离心率为
创新拓展练
15. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，，为的两个焦点，的短轴长为4，且上存在一点，使得，写出的一个标准方程：
16. [2024·长沙模拟]如图，椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为,.
（1）过椭圆上一点和原点作直线交圆于，两点，若，求的值.
（2）过圆上任意一点引椭圆的两条切线，求证：两条切线相互垂直.
2025年高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 已知点在椭圆上，，是的两个焦点，若，则（ A ）.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
[解析]由椭圆，即,，得,.
由椭圆定义可知，得.
故选.
2. 已知，是椭圆的两个焦点，是上一点（端点除外），则的周长为（ C ）.
A. 14 B. 16 C. D.
[解析]由题可知，，所以 的周长为.故选.
3. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（ D ）.
A. 2 B. 1 C. D. 4
[解析]由条件可知，，，且，解得.
故选.
4. 已知椭圆的焦点为，，过点的直线与交于，两点.若的周长为12，则椭圆的标准方程为（ B ）.
A. B. C. D.
[解析]依题意得 解得
因为椭圆 的焦点在 轴上，
所以椭圆 的标准方程为.故选.
5. 已知椭圆的一个焦点的坐标为，则实数的值为（ A ）.
A. B. 2 C. D.
[解析]由题意,得，,，则，解得.故选.
6.(2024·九省适应性测试)若椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a=( A ).
A. B. C. D.2
[解析] 由题意得e==,解得a=.故选A.
7. “，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ D ）.
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
[解析]当 时，满足“，”，此时题中方程可化为,其表示的曲线是圆而不是椭圆；当,时，不满足“，”，此时题中方程可化为,表示中心在原点，焦点在 轴,且长半轴长为1，短半轴长为 的椭圆.
故“，”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件.故选.
8. 已知,分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ D ）.
A. B. 5 C. 10 D. 11
[解析]由椭圆 的方程知，，，则,.
由椭圆的定义知，，
所以.
又,
所以，当且仅当点 在线段 上时，等号成立，
即 的最大值为11.故选.
综合提升练
9. （多选题）已知,分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（ ACD ）.
A. 椭圆的离心率为 B.
C. D. 的最大值为
[解析]依题意得，，，
则，椭圆 的离心率为，故 正确，错误；
，，故 正确；
当点 位于短轴的端点时，取得最大值，此时，，故，即 的最大值为，故 正确.故选.
10. （多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点（点不在轴上），则（ ABD ）.
A. 椭圆的焦点在轴上 B. 的周长为
C. 的取值范围为， D. 的最大值为
[解析]对于，由椭圆 的方程可知，椭圆 的焦点在 轴上，故 正确；
对于，因为，所以 的周长为，故 正确；
对于，因为点 不在 轴上，所以，所以 的取值范围为，故 错误；
对于，设椭圆 的上顶点为，则，所以 的最大值为,设（O为坐标原点），则，且 ，又，所以 的最大值为，故 正确.故选.
11. 已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则的离心率为 .
[解析]由题意可得，椭圆 的长轴长、短轴长、焦距 成等比数列，所以，即，得，解得 或（舍去）.
12. 已知椭圆的两个焦点分别为，，为了使椭圆的方程为，可以再添加一个条件：椭圆 上的点到两焦点的距离之和为10（答案不唯一）.
[解析]根据椭圆的焦点坐标可知，，且焦点在 轴上，若要使椭圆 的方程为，只需，所以可添加条件“椭圆 上的点到两焦点的距离之和为10”.
应用情境练
13. 在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点称为远地点，距离地心最近的一点称为近地点，远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度，近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度.已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为，若该航天器的远地点高度为，所在椭圆轨道的离心率为，则该航天器的近地点高度为 .
[解析]设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
则由题意，可知 解得 所以该航天器的近地点高度为.
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点一侧做成镜面，并在处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线都会经过另一个焦点.如图所示，设椭圆方程,,分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足 ,，则该椭圆的离心率为 .
[解析]由椭圆的光学性质可知，,都经过点，且在 中， ，，如图，设,,.
由椭圆的定义可知，即，
又，
可得，
在 中，，
所以，所以.
创新拓展练
15. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，，为的两个焦点，的短轴长为4，且上存在一点，使得，写出的一个标准方程：（答案不唯一）.
[解析]根据题意可设 的方程为，因为，所以，则，又因为，
所以，即.
因为椭圆 的短轴长为4，即，解得，
由，可得，解得，
所以椭圆 其中的一个标准方程为.
16. [2024·长沙模拟]如图，椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为,.
（1）过椭圆上一点和原点作直线交圆于，两点，若，求的值.
（2）过圆上任意一点引椭圆的两条切线，求证：两条切线相互垂直.
[解析]（1）如图，设，由于，则，
而，则，
所以（其中），
因为,所以.
（2）设，则，即，
设当过点 的椭圆 的切线的斜率都存在时，切线方程为，代入椭圆方程得，
整理得，
则，
即，则，
令,为上述关于 的方程的两个根，则，
即当两条切线的斜率都存在时，两条切线相互垂直；
而当过点 的切线的斜率不都存在时，易知 点的坐标为，
此时显然两条切线相互垂直.
综上，过圆 上任意一点 引椭圆 的两条切线，两条切线相互垂直.(共29张PPT)
8.5.1 椭圆及其性质
核心考点 师生共研
核心考点 师生共研
01
考点一 椭圆的定义及其应用（师生共研）
例1.（1）(2021·新高考卷Ⅰ)已知 ， 是椭圆 的两个焦点，
点 在 上，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
解析：由椭圆 ,得 ，则
,当且仅当 时等
号成立.所以 的最大值为9.故选C.
√
（2）如图所示，圆 的半径为定长 , 是圆 内一个定点，
是圆上任意一点，线段 的垂直平分线 和半径 相交于
点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
解析：连接 .由已知得 .
所以 .
又因为点 在圆内，所以 ，
根据椭圆的定义，知点 的轨迹是以 ， 为焦点， 为长轴
长的椭圆，故选A.
√
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 ， 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求 的值,通过整体代入可求其面积等.
【对点训练】
1.(2023·浙江温州模拟)已知椭圆 上的一点 到焦点 的距离为6，
点 是 的中点， 为坐标原点，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.如图所示，设椭圆的另一焦点为 ，因为
， 分别是 和 的中点，所以 ，
由椭圆的方程得 ,所以 ，
所以 ，所以 ，
故选C.
√
2.已知 , 是椭圆 的两个焦点，点 是椭圆上一点，
，则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选A.由椭圆方程可得焦点在 轴上，且 , ,
.
由椭圆定义可得 .
又 ,所以 , ,
所以 .
因为 ,所以 ,所以
.故选A.
考点二 椭圆的标准方程（师生共研）
例2.（1）(2022·高考全国卷甲)已知椭圆 的离心
率为 ， , 分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点.若
，则 的方程为( )
A. B. C. D.
√
解析：依题意得 , , ,所以 , , ，故 ,又 的离心率 ，所以 , , ,即 的方程为 ，故选B.
（2）(2023·四川石室中学模拟)如图，已知椭圆 的中
心为原点 ， 为椭圆 的左焦点， 为椭
圆 上一点，满足 ，且 ，则椭
圆 的方程为( )
A. B. C. D.
√
解析：如图，设椭圆的右焦点为 ，则 ，
连接 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ,
由椭圆的定义可得 ，则 ，
又因为 ，
所以 ,
所以椭圆 的方程为 ，故选D.
求椭圆标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定 , 的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
（2）用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
[注意]当椭圆焦点位置不明确时，可设为 ，也
可设为 （ , ,且 ）.
【对点训练】
1.已知两圆 ， ，动圆在圆
内部且和圆 相内切，和圆 相外切，则动圆圆心 的轨迹方程为
( )
A. B. C. D.
√
解析：选D.设圆 的半径为 ，
则 ，
所以 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
且 , ，
所以 ， ， ，
故所求动圆圆心 的轨迹方程为 .
2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ,
，则椭圆的标准方程为_ __________.
解析：设椭圆方程为 .
由 解得 , .
所以椭圆的标准方程为 .
考点三 椭圆的几何性质（多维探究）
[高考考情] 椭圆的几何性质是历年高考的重点，其中离心率的求解常出现在小题中，直线与椭圆的交点问题几乎每年必考，难度较大.
角度1 求椭圆的离心率的值（范围）
例3.（1）(2022·高考全国卷甲)椭圆 的左顶点为
，点 ， 均在 上，且关于 轴对称.若直线 ， 的斜率之积为 ，
则 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
解析：由题意得 ,设 ,
则 ，则 , ,
故 ,
又 ，则 ,
所以 ，即 ,
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
（2）(2023·河南洛阳模拟)已知椭圆 的左、右焦
点分别是 ， ， ， 是椭圆 的任意两点，四边形 是平行四
边形，且 ，则椭圆 的离心率的取值范围是_________.
解析：因为四边形 是平行四边形，
则 ，且 ,
所以 ，则 .
因为 ，即 ,
所以 ,即 ，
同除以 可得 ，
解得 .
因为 ，所以 .
求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出 , 来求解 .通过已知条件列方程组，解出 , 的值.
（2）构造 , 的齐次式，解出 .由已知条件得出关于 , 的二元齐次方
程，然后转化为关于离心率 的一元二次方程求解.
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
[注意]在解关于离心率 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率
进行根的取舍，否则将产生增根.
角度2 与椭圆性质有关的最值（范围）问题
例4 (2021·高考全国卷乙)设 是椭圆 的上顶点，点 在
上，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
√
解析：通解（消元转化法）：设点 ,则根据点 在椭圆
上可得 .易知点 ，所以根据两点间的距离公式得
.
当 ，即 （满足 ）时， 取得最大值 ，所
以 .故选A.
优解（利用椭圆的参数方程）：因为点 在椭圆 上，所以可设
点 .
易知点 ，所以根据两点间的距离公式得
.易知当
，即 时， 取得最大值 ,所以 .
故选A.
与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略
【对点训练】
1.已知椭圆 的一个焦点是圆
的圆心，短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A. B. C. D.
解析：选D.因为圆的标准方程为 ,
所以圆心坐标为 ，所以 .又 ,
所以 .
因为椭圆的焦点在 轴上，所以椭圆的左顶点为 .
√
2.(2023·广东广州调研测试)（多选）如图所示，一个底面半径为 的圆
柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
√
√
√
解析：选ACD.圆柱的底面半径是 ，直径是 ，所以椭圆的长轴长 , ,短轴长 , ，则 ，离心率 ,建立适当的坐标系，椭圆的方程为 ，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是 .故选ACD.
3.已知点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是该椭圆上的
一个动点，那么 的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：选C.设 , , ,则 ,
，所以 ,
，因为
点 在椭圆上，所以 ，所以当 时， 取得最
小值，为8.故选C.
√
