2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1.抛物线 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线 与抛物线 的准线交于 ， 两点，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
3.已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
4.（多选）已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点N.若 为 的中点，则( )
A. 的准线方程为
B. 点 的坐标为
C.
D. 的面积为 （ 为坐标原点）
5.（多选）已知抛物线 的焦点坐标为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，点 在抛物线上，则( )
A.
B. 当 轴时，
C. 为定值1
D. 若 ，则直线 的斜率为
6. 若点 到直线 的距离比它到点 的距离小2，则点 的轨迹方程是 .
7.下图为抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面 时，水面宽 ，则水面上升 后，水面宽度为 .
8. 若抛物线 的准线为 , 是抛物线上任意一点，则 到准线 的距离与 到直线 的距离之和的最小值为 .
9. 已知抛物线 的焦点与椭圆： 的一个焦点重合.
（1） 求抛物线 的方程；
（2） 若直线 交抛物线 于 ， 两点， 为原点，求证： .
[B级 综合运用]
10.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的动点，直线 与抛物线的另一交点为 ， 关于点 的对称点为 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点（其中 ）,连接 并延长交抛物线 于点 ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,则 .
12. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ，若 ，则 .
13.设抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交点为 ，点 在 上，点 的横坐标为2， ，以 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为 .
14.已知抛物线 过点 ，过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ， ，其中 为原点.
（1） 求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2） 求证： 为线段 的中点.
[C级 素养提升]
15. 已知点 为抛物线 的焦点，过点 作两条互相垂直的直线 ， ,直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
16.已知 为抛物线 的焦点， 是 上一点， 位于 的上方且 .
（1） 求 的方程；
（2） 已知过焦点的直线 交 于 ， 两点，若 平分 ，求 的方程.
2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1.抛物线 的焦点坐标为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题意，抛物线 的焦点坐标为 ,故选C.
2.已知双曲线 与抛物线 的准线交于 ， 两点，若 ，则 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.因为抛物线 ，所以准线方程为 ，
联立 解得 .
又 ，所以 ，
又 ，所以 .故选D.
3.已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.由 可知 ，所以 为抛物线的焦点，根据抛物线的定义知，点 到抛物线准线的距离等于 ，所以 ，当且仅当点 ， ， 三点共线，且 在线段 上时，等号成立.故选D.
4.（多选）已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点N.若 为 的中点，则( ACD )
A. 的准线方程为
B. 点 的坐标为
C.
D. 的面积为 （ 为坐标原点）
[解析]选ACD.如图,不妨设点 位于第一象限，设抛物线的准线 与 轴交于点 ,作 于点 ， 于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为 ,点 的坐标为 ，则 .在直角梯形 中，中位线 ,由抛物线的定义有 ，结合题意，有 ，故 ， , .故选ACD.
5.（多选）已知抛物线 的焦点坐标为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，点 在抛物线上，则( BCD )
A.
B. 当 轴时，
C. 为定值1
D. 若 ，则直线 的斜率为
[解析]选BCD.对于A，将点 代入抛物线方程，可得 ，故A错误；
对于B，焦点 ，点 在抛物线上，可得 ，故B正确；
对于C，设点 ， 的坐标分别为 ， ，
直线 的方程为 ，联立方程
消去 ，整理得 ，
可得 , , , ， , ,
有 ，故C正确；
对于D，由题意得 ，可得 ，
由 得 解得 ，故D正确.故选BCD.
6. 若点 到直线 的距离比它到点 的距离小2，则点 的轨迹方程是 .
[解析]由题意知点 到直线 的距离与它到点 的距离相等，所以点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，因此，设 的轨迹方程为 ，可得 ，解得 ， ，所以动点 的轨迹方程为 .
7.下图为抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面 时，水面宽 ，则水面上升 后，水面宽度为 .
[解析]如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，
将 代入 ，解得 ，所以 ，代入 ，解得 ，故水面宽为 .
8. 若抛物线 的准线为 , 是抛物线上任意一点，则 到准线 的距离与 到直线 的距离之和的最小值为2.
[解析]由抛物线定义可知点 到准线 的距离等于点 到焦点 的距离，由抛物线 及直线方程 可得直线与抛物线相离.所以点 到准线 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值为点 到直线 的距离，即 .
9. 已知抛物线 的焦点与椭圆： 的一个焦点重合.
（1） 求抛物线 的方程；
[答案]解：因为椭圆： 的焦点坐标为 ，
所以 ，即 .
所以抛物线 的方程为 .
（2） 若直线 交抛物线 于 ， 两点， 为原点，求证： .
[答案]证明：联立 消去 ，整理得 .所以 .
所以 ，即 ,
所以 ,所以 .
[B级 综合运用]
10.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的动点，直线 与抛物线的另一交点为 ， 关于点 的对称点为 ，则 的最小值为( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.取 的中点为 ，过点 , , 分别作准线的垂线交准线于点 , , ，连接 .点 到准线的距离为 ，由定义可知 ， .
所以 ， ，
所以 （当 , , 三点共线时取等号），即 的最小值为10.故选D.
11. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点（其中 ）,连接 并延长交抛物线 于点 ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,则 0.
[解析]设 ，由题意知直线 的斜率存在，则直线 ，联立得 消去 得 , ,
同理可得 ,故 ,又点 ， 都在抛物线 上，所以由对称性知 .
12. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ，若 ，则 16.
[解析]易知焦点 的坐标为 ，准线 方程为 ，如图，
抛物线准线与 轴的交点为 ，
作 于点 ， 于点 ，
则 ，
则 ，
由 ，得 ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
则 .
又 ，所以 .
13.设抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交点为 ，点 在 上，点 的横坐标为2， ，以 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为 .
[解析]根据抛物线定义， ，解得 ，所以抛物线方程为 ， ， ，
根据对称性，不妨设点 在第一象限，则 ，直线 的方程为 ，
即 ，点 到直线 的距离为 ，所求圆的标准方程为 .
14.已知抛物线 过点 ，过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ， ，其中 为原点.
（1） 求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
[答案]解：把 代入 得 ,
所以抛物线 的方程为 ,
焦点坐标为 ，准线方程为 .
（2） 求证： 为线段 的中点.
[答案]证明：因为 轴，
所以设 , , , ,
根据题意显然有 .
若要证明 为 的中点，只需证 即可，
左右同除以 有 ，
即只需证明 成立，其中 , ,当直线 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 斜率存在且不为零.
设直线 ,
联立 消 得， ,
,所以 .
由根与系数的关系可知 ,①
,②
,
将①②代入上式，有 ,
即 ,所以 恒成立，所以 为 的中点，得证.
[C级 素养提升]
15. 已知点 为抛物线 的焦点，过点 作两条互相垂直的直线 ， ,直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为直线 ,且与抛物线 都有2个交点，所以直线 , 的斜率均存在且不为零，因为 的焦点 ，所以可设直线 的方程为 ,则直线 的方程为 ,设 , ，联立直线 和抛物线 的方程，消去 并整理得 , 恒成立，则 , ,由弦长公式得 ,
同理可得 .
所以 ,
当且仅当 ，
即 时等号成立，
所以 的最小值为64，故选C.
16.已知 为抛物线 的焦点， 是 上一点， 位于 的上方且 .
（1） 求 的方程；
[答案]解：由 是 上一点知 ，
故 .
由抛物线定义可知， ，
化简得 ，解得 或 ，
又因为 位于 的上方，故 ，故 ，
故抛物线方程为 .
（2） 已知过焦点的直线 交 于 ， 两点，若 平分 ，求 的方程.
[答案]由（1）知 , ，
显然，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，
设点 ， ,
联立 整理得 ，
故 , ，
若 平分 ，
则 ，故 ，
即 ，
即 ，
即 ,
将 代入，
化简得 ，
即 ，
因为 ，故 ，
即 ，得 ，
故直线 的方程为 .(共41张PPT)
8.7 抛物线
课标要求 考情分析
1.了解抛物线的实际背 景，感受抛物线在刻画现 实世界和解决实际问题中 的应用. 2.了解抛物线的定义、几 何图形和标准方程，以及 它的简单几何性质. 3.了解抛物线的简单应用. 考点考法：抛物线的方程及其性质是高考的
重点内容，常与其他曲线相结合进行命题，
多以选择题或填空题的形式出现，试题难度
中等.
核心素养：数学运算、直观想象
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.抛物线的概念
（1）定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离
______的点的轨迹.
（2）焦点：_____叫做抛物线的焦点.
（3）准线：_______叫做抛物线的准线.
[提醒] 当定点在定直线上时，轨迹为过定点 与定直线 垂直的一条直线.
相等
点
直线
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方 程
图形 ___________________________ ______________________________ ___________________________ ___________________________
范围 ____________ _____________ ____________ _____________
焦点 ______ ________ ______ ________
,
,
,
,
标准方 程
准线方 程 ________ ______ ________ ______
对称轴 _____ _____ 顶点 ______ 离心率 ___
轴
轴
1
续表
[提醒] 四种不同抛物线方程的共同点
（1）原点都在抛物线上；
（2）焦点都在坐标轴上；
（3）准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ，即 .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹一定是抛
物线.( )
×
（2）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
×
（3）若一抛物线过点 ，则其标准方程可写为 .
( )
×
（4）抛物线 的通径长为 .( )
√
2.若抛物线 的准线方程是 ,则 的值是_ ___.
解析：把抛物线方程 化为标准形式得 ,所以 ,解得 .
3.顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是_________________
_______.
或
解析：设抛物线的方程是 或 ,代入点 （ ， ），解得 , ,所以 或 .
4.（人A选择性必修第一册 练习 变条件、变设问）已知过抛物线
的焦点 的直线交该抛物线于 ， 两点， ，则
___.
2
解析：设点 的横坐标是 ,则依题意，焦点 ， ,则 .因为 所在直线过点 ，所以直线 的方程是 ,此时弦 为抛物线的通径，故 .
1.与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为 的直线 与抛物线 交于 ， 两
点， 为抛物线的焦点，设 ， .则有
（1） ， .
（2）焦点弦长: （ 为直线 的倾斜角）.
通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长: .
（3）焦半径: ， ， .
（4）以弦 为直径的圆与准线相切；以 或 为直径的圆与 轴相切.
2.若 ， 为抛物线 上两点，且 ，则直线 过定点 .
【用一用】
1.(2023·甘肃酒泉模拟)已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线
交 于 ， 两点，且 ，则线段 中点的横坐标为( )
A. B. C. D.
解析：选C.设 ， ,由 ，可知 ，故 ,故选C.
√
2.(2023·甘肃酒泉模拟)已知抛物线 ，过焦点 的直线
交抛物线 于 ， 两点，且线段 的长是焦半径 长的3倍，则直
线 的斜率为_______.
解析：设直线 的倾斜角为 ，则 .因为线段 的长是焦半径 长的3倍，所以 ，故 ，当 时， ， ，则 ，解得 ，所以直线 的斜率为 ,同理可得当 时， ，所以直线 的斜率为 .综上，直线 的斜率为 .
核心考点 师生共研
02
考点一 抛物线的定义及其应用（师生共研）
例1.（1）动圆与定圆 外切，且和直线 相切，则
动圆圆心的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析：设动圆的圆心为点 ，半径为 ,则点 到定圆
的圆心的距离等于 .又动圆的圆心到直线 的距离等于 ，所以
动圆的圆心到直线 的距离为 .根据抛物线的定义知，动圆圆心
的轨迹为抛物线.故选D.
√
（2）已知 为抛物线 上的一个动点， 为圆
上的一个动点,那么点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和的最
小值是_________.
解析：由题可知，抛物线 的准线方程为 ，焦
点坐标为 ，圆 的圆心坐标为 ，
半径为 ，设点 到抛物线准线的距离为 ，则
，故 ，所以当动点 ,
位于线段 上时，点 到点 的距离与点 到抛物线准线
的距离之和最小，此时 .
应用抛物线定义的两个关键点
（1）根据抛物线的定义，把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相
互转化.
（2）注意灵活运用抛物线上一点 到焦点 的距离
或 .
【对点训练】
1.(2022·高考全国卷乙)设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点
，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题意得， ，则 ，即点 到准线
的距离为2，所以点 的横坐标为 ，不妨设点 在 轴
上方，代入得 ，所以 .故选B.
√
2.(2023·山西大附中模拟)已知点 是抛物线 的焦点，点 ，
为抛物线上一点， 不在直线 上，则 的周长的最小值是
( )
A. B. C. D.
解析：选C.抛物线 的焦点 ，准线为
，过 点作 准线 于点 ，故 的
周长为 ， ，可知当 ,
, 三点共线时周长最小，为 .故选C.
√
3.已知 是抛物线 上的动点， ，若点 到 轴的距离为
，点 到点 的距离为 ，则 的最小值是___.
3
解析：抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标 , 到 的距离为 ，所以 ，当 为 与抛物线交点时取得最小值，为 .
考点二 抛物线的标准方程与几何性质（师生共研）
[高考考情] 抛物线的方程及其几何性质几乎每年必考，多与其他圆锥曲线相结合进行考查，题目难度中等.
例2.（1）设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于
， 两点.若 ，则 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
【解】 方法一：将 代入抛物线方程 ,可得直线 与抛
物线 的交点坐标为 ， .不妨设 , ,
则 , .因为 ，所以
,解得 ，所以抛物线 的焦点坐标为 ，
故选D.
√
方法二：因为抛物线 关于 轴对称，直线 关于 轴对称，所以 ， 两点关于 轴对称，因为 ，所以 ， 两点横、纵坐标的绝对值相等.不妨设点 ，将点 的坐标代入 ,得 ,
解得 ,所以抛物线 的焦点坐标为 ，故选D.
（2）若动圆 经过双曲线 的左焦点且与直线 相切，则
圆心 的坐标满足的方程是__________.
解析：双曲线 的左焦点为 ,动圆 经过 且与直线
相切，则圆心 到点 的距离和到直线 的距离相等，由抛物
线的定义知圆心的轨迹是焦点为 ，准线为 的抛物线，其方程为
.
（1）求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置确定开口方向；
②再定形：根据已知条件求 .
（2）抛物线性质的应用技巧
①应用抛物线的性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.
【对点训练】
1.已知动圆 与直线 相切，且与定圆 外切，则
动圆圆心 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
解析：选A.设动圆圆心为 ，半径为 ，由题意可得 到
的距离与到直线 的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹
是以 为焦点，以 为准线的一条抛物线，所以 ,
，其方程为 .故选A.
√
2.在平面直角坐标系 中，有一定点 .若线段 的垂直平分线过
抛物线 的焦点，则该抛物线的准线方程是_ _______.
解析：线段 的垂直平分线方程是 ,且交 轴于点 ，该点为抛物线 的焦点，故该抛物线的准线方程为 .
3.(2023·山东烟台诊断性测试)已知点 为抛物线 的焦点，
点 在抛物线上且横坐标为8， 为坐标原点，若 的面积为 ，
则该抛物线的标准方程为________.
解析：设 ，把 代入 ,解得 ,
又抛物线的焦点为 ,所以
,解得 ,所以抛物
线的标准方程为 .
考点三 直线与抛物线的位置关系（师生共研）
例3 (2022·新高考卷Ⅰ)（多选）已知 为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交 于 ， 两点，则
( )
A. 的准线为 B.直线 与 相切
C. D.
√
√
√
解析：将点 代入抛物线方程得 ，所以抛物线 的方程为 ，
故其准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，联立
得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交
点，所以直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
,
联立 得 ，所以
所以 或 ， ，
又 ，
，
所以
，
故C正确；
因为 ， ，
所以 ，故D正确.故选BCD.
解决直线与抛物线位置关系问题的方法
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若
过抛物线的焦点，可直接使用公式 ，若不过焦点，则
必须用一般弦长公式.
（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【对点训练】
1.(2023·广东佛山模拟)已知抛物线的方程为 ,若过点 的直
线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
解析：选A.由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程，消去 并整理，得 .
当 时，显然满足题意；
当 时， ，解得 或 .
综上， ，故选A.
2.(2023·湖北武汉模拟)直线 与抛物线 交于
， 两点，若线段 被点 平分，则抛物线的准线方程为______
__.
解析：设 ， ，由线段 被点 平分，可知
，又 ， ，
所以 ，
由题意可知，直线 的斜率为1，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
故抛物线的准线方程为 .
3.(2023·安徽六安模拟)已知抛物线 的焦点为 ，圆
，过 的直线 与 交于 , 两点，与 交于 ,
两点，且 , 在同一象限，则 的最小值为____.
12
解析：抛物线 的焦点为 , 以 为
圆心，以3为半径，由题意知，直线 不与 轴垂直，设直线 ，
联立
得 ， .
设 ， ,
则 , ， ,
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为12.
