(共45张PPT)
9.1 两个计数原理、
排列与组合
课标要求 考情分析
1.通过实例，了解分类加法 计数原理、分步乘法计数原 理及其意义. 2.通过实例，理解排列、组 合的概念. 3.能利用计数原理推导排列 数公式、组合数公式. 4.能利用排列与组合的知识 解决简单的实际问题. 考点考法：高考命题常以选择题、填空题
的形式考查分类加法计数原理与分步乘法
计数原理、排列、组合在解决简单的实际
问题中的应用，试题难度不大.
核心素养：逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.两个计数原理
（1）分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2类
方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 _______种不同的方法.
[提醒] （1）每类方法都能独立完成这件事.
（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
（2）分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不
同的方法，那么完成这件事共有 _______种不同的方法.
[提醒] 任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完
成这件事.
2.排列与组合
（1）排列与组合的概念
名 称 定义 排列 一般地，从 个不同元素中取出 个元素 并按照______________排成一列
__________
一定的顺序
作为一组
组
合
（2）排列数、组合数的定义、公式、性质
类别 排列数 组合数
定义 从 个不同元素中取出 个元素的所有_____ _____的个数 从 个不同元素中取出
个元素的所有__________的个数
公式
不同排列
不同组合
类别 排列数 组合数
性质 ___, ___ , ,
___, ___
1
1
1
续表
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
×
（2）在分步乘法计数原理中，若事情是分两步完成的，其中任何一个单
独的步骤都能完成这件事.( )
×
（3）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
×
（4）从一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )
×
2.（人A选择性必修第三册 练习 变条件）已知某公园有4个门，从一
个门进，另一个门出，则不同的走法种数为( )
A. B. C. D.
解析：选C.将4个门编号为1， ， ， ，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从 ， ，4号门进入，同样各有3种走法，则不同的走法种数为 .
√
3.（1）计算： ____;
15
解析： .
（2）若 ,则正整数 的值是______.
1或4
解析：因为 ,所以 或 ,解得 或 .
经检验， 或 满足题意.
4.“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.
为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每
经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有____种.
72
解析：先将《周易》《尚书》《礼记》进行排列，共有 种排法，再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》《春秋》，共有 种排法，所以满足条件的情形共有 （种）.
核心考点 师生共研
02
考点一 两个计数原理（自主练透）
1.某公交车上有6位乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
解析：选B.由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有 （种），故选B.
√
2.(2023·山东泰安模拟)用 ， ， ， ， 可以组成没有重复数字的四位
偶数的个数为( )
A. B. C. D.
解析：选C.当个位数为0时，有 （个）,当个位数为2或4时，有 （个），所以无重复数字的四位偶数有 （个），故选C.
√
3.(2023·河北石家庄模拟)用红、黄、蓝3种颜色给6个相连的圆涂色，如图，
若每种颜色只能涂2个圆，且相邻2个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法
种数为( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.分2类（先涂前3个圆，再涂后3个圆）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜色，有 （种）涂法；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，有 （种）涂法.综上，不同的涂法种数为 .故选B.
4.(2023·上海高三模拟)已知集合 ， ，从集合
， 中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中表示不同点的个
数为____.
29
解析：由题意知,首先从集合 中选出一个数字共有3种选法，再从集合
中选出一个数字共有5种选法，取出的两个数字可以作为横坐标，也可以
作为纵坐标，所以共有 （种）结果，其中 重复了一次，
去掉重复的坐标有 （种）结果.
5.(2023·江苏连云港模拟)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，
每人一座，恰在同一排 ， ， ， ， 五个座位（一排共五个座位），
上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位
的坐法有____种.
45
解析：先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进
行错排，设四人座位为1， ， ， ，则四人都不坐在自己位置上有
， ， ， ， ， ， ， ，
种可能，所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有
（种）.
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
（1）弄清完成一件事是做什么；
（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
（3）弄清分步、分类的标准是什么；
（4）利用两个计数原理求解.
考点二 排列问题（师生共研）
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数.
（1）选5人排成一排；
【解】 从7人中选5人排列，有 （种）.
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
【解】 分两步完成，先选3人站前排，有 种方法，余下4人站后排，有
种方法，共有 （种）.
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
【解】 （捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 种
方法，再将女生全排列，有 种方法，共有 （种）.
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
【解】 （插空法）先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 种方法，共有 （种）.
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边.
【解】 方法一（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 （种）.
方法二（特殊位置优先法）左右两边位置可安排另6人中的两人，有 种排法，其他人有 种排法，共有 （种）.
求解排列问题的四种常用方法
【对点训练】
1.(2023·四川绵阳第二次诊断性考试)现从4名男志愿者和3名女志愿者中，
选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男
志愿者，则不同的选派方法共有____种.（用数字作答）
36
解析：从男、女志愿者7人中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，
共有 种结果，要求被选派的人中至少有一名男志愿者，则选的都是女
志愿者不合题意，选的都是女志愿者有 种结果，所以满足条件的选派
方法共有 （种）.
2.将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车均有
1位司机和1位售票员，则共有_____种不同的分配方案.
576
解析：解决这个问题可以分为两步：第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有 种方法；第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有 种方法.由分步乘法计数原理知，分配方案共有 （种）.
考点三 组合问题（师生共研）
例2 从含有 ， 的7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件
的选法种数.
（1） ， 必须当选；
【解】 由于 ， 必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，所以有 （种）选法.
（2）至少有2名女生当选；
【解】 注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，
故可用间接法进行选取，所以有 （种）选法.
从含有 ， 的7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件
的选法种数.
（3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
【解】 分三步进行，第一步：选1男1女分别担任两个职务有 种；第
二步：选2男1女补足5人有 种；第三步：为这3人安排工作有 种.
由分步乘法计数原理共有 （种）选法.
两类组合问题的解题方法
【对点训练】
1. ， ， ， 四个家庭各有2个孩子，共8个孩子，他们准备分乘甲、
乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），
其中 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自
于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
√
解析：选B.根据题意，分两种情况讨论：
① 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的2个孩子要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选两个家庭，再从每个家庭的2个孩子中任选1
个来乘坐甲车，有 （种）乘坐方式；
② 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让
其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任
选1个来乘坐甲车，有 （种）乘坐方式，
所以共有 （种）乘坐方式.故选B.
2.（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、
历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、
历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，
考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、
化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列
说法正确的是( )
A.若任意选科，选法种数为
B.若化学必选，选法种数为
C.若政治和地理至少选一门，选法种数为
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法种数为
√
√
解析：选BD.若任意选科，选法种数为 ，A错误；若化学必选，选法
种数为 ，B正确；若政治和地理至少选一门，选法种数为
，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法种数
为 ，D正确.故选BD.
考点四 排列与组合的综合问题（师生共研）
[高考考情] 排列组合是高中数学的重要内容，是进一步学习概率及相关知识的基础，也是高考命题的必考内容，在高考中通常都是以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏上，但技巧性比较强，考查学生的数学思维能力.
例3.（1）(2022·新高考卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文
艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
解析：先将丙和丁捆在一起有 种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有 种排列方式，最后将甲插入中间两空，有 种排列方式，所以不同的排列方式共有 （种），故选B.
√
（2）(2023·安徽芜湖模拟)某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢
联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个歌唱
节目和1个舞蹈节目，如果保持原节目的顺序不变，且要求增加的两个歌
唱节目相邻，那么不同排法的种数为_____.
解析：将新增加的两个歌唱节目看作一个整体，与其他7个节目进行排列，
但考虑原定表演6个节目的顺序不变，由倍缩法可知，不同的排法种数为
.
解排列、组合问题要遵循的2个原则
（1）按元素（位置）的性质进行分类.
（2）按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.
【对点训练】
1.用 ， ， ， ， ， ，7组成没有重复数字的七位数，若 ， ，
的顺序一定，则符合条件的七位数有( )
A.840个 B.210个 C.640个 D.410个
解析：选A. ， ， ， ， ， ，7组成没有重复数字的七位数，共有
个， ， ， 的顺序有 个，所以所求的个数有 ，故选A.
√
2.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，
如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，
则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
解析：选D.若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种，
物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生
物三门课程进行排序，有 （种）排法.由分步乘法计数原理可知，
共有 （种）不同的排法.故选D.
√
3.(2023·山东烟台诊断性测试)“碳中和”是指企业、团体或个人测算在一定
时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等
形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳
中和”研究中心计划派5名专家分别到 ， ， 三地指导“碳中和”工作，
每位专家只去1个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为
( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.将5名专家分为3组，有 ， ， 和 ， ， 两种分法，
第一类，有1个地方去3名专家，剩下的2个地方各去1名专家，共有
（种）方法，
第二类，有1个地方去1名专家，另2个地方各去2名专家，共有
（种）方法，所以分派方法的种数
为 ，故选B.2025年高考数学一轮复习-9.1-两个计数原理、排列与组合-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的2本书，则不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
3. 某大厦一层有 ， ， ， 四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬 ”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路 ，依据此种描述，画出如图所示的周王城的平面图，则图中所有矩形的个数为( )
A. B. C. D.
5. [湖北武汉模拟]某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人，后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. [吉林通化期末]（多选）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是( )
A. 若甲站正中间，则共有24种排法
B. 若甲、乙相邻，则共有36种排法
C. 若甲不站两端，则共有48种排法
D. 若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
7. [四川成都模拟]将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个社区进行相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数为( )
A. B. C. D.
9. [福建龙岩模拟]从集合 中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到 个不同的对数值.
10. [福建厦门模拟]将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有 种.
11. [山东聊城模拟]有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 种.（用数字作答）
[B级 综合运用]
12. [上海高三模拟]4张卡片的正、反面分别写有数字 ， ； ， ； ， ； ， .将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为( )
A. B. C. D.
13. 元宵节是中国传统节日，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵节民俗活动.某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯.现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数为( )
A. B. C. D.
14. [四川名校联考]某学校开展“学雷锋践初心”志愿活动.现有6名男同学和4名女同学，分配到4个“学雷锋”志愿服务站参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
15. [浙江杭州四中模拟]如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为 , , .若 , , 成等差数列，则不同的分珠计数法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
16. （多选）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是( )
A. 某学生从中选3门学习，共有20种选法
B. “礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C. “乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D. “书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
17. [湖北武汉模拟]（多选）某人设计一项单人游戏，规则如下：如图所示，先将一棋子放在正方形 （边长为2个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 ，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去.某人抛掷 次骰子后棋子恰好又回到点 处，则( )
A. 若 时，则共有3种不同走法 B. 若 时，则共有5种不同走法
C. 若 时，则共有25种不同走法 D. 若 时，则共有27种不同走法
18. 《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为 .
19. 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，并且这3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 种.
20. [甘肃兰州模拟]如图，某花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有 种.
2025年高考数学一轮复习-9.1-两个计数原理、排列与组合-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的2本书，则不同的选法有( C )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
[解析]选C.选出不属于同一学科的2本书，可分三类：第一类：语文、数学各1本，共有 （种）；第二类：语文、英语各1本，共有 （种）；第三类：数学、英语各1本，共有 （种），因此共有 （种）不同选法.
2. 北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.有 （种）不同的安排方法.故选B.
3. 某大厦一层有 ， ， ， 四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有( D )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
[解析]选D.元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有 （种）选法，再将2个“元素”安排坐四部电梯有 （种）安排方法，则不同的乘坐方式有 （种）.故选D.
4. 宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬 ”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路 ，依据此种描述，画出如图所示的周王城的平面图，则图中所有矩形的个数为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为 .
5. [湖北武汉模拟]某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人，后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法共有( C )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
[解析]选C.先从后排6人中抽出两名同学，有 种方法，然后与前排4人排列，有 种排法，因为其他同学的相对顺序不变，则前排4人不需再排，所以共有 （种）调整方法.故选C.
6. [吉林通化期末]（多选）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是( BC )
A. 若甲站正中间，则共有24种排法
B. 若甲、乙相邻，则共有36种排法
C. 若甲不站两端，则共有48种排法
D. 若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
[解析]选BC.若甲站在正中间，有 （种）排法，A正确；若甲、乙两人相邻站在一起，共有 （种）排法，B错误；若甲不站两端，则共有 （种）排法，C错误；若甲、乙、丙各不相邻，则共有 （种）排法，D正确.故选BC.
7. [四川成都模拟]将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个社区进行相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有( B )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
[解析]选B.第一步，医护人员的安排方案有 （种）；第二步，志愿者的安排方案有 （种），所以不同的安排方案共有 （种），故选B.
8. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题意得可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有 （种）站法；第二类，有2人站在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有 （种）站法.综上，不同的站法种数是 .故选C.
9. [福建龙岩模拟]从集合 中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到53个不同的对数值.
[解析]①当取的两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时 ， 或3或4或5或6或7或8或 ；
②所取的两个数不含有1时，即从 ， ， ， ， ， ， ， 中任取两个，分别作为底数与真数，有 （个）对数，
但是其中 ， ， ， .
综上可知，共可以得到 （个）不同的对数值.
10. [福建厦门模拟]将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有25种.
[解析]由题知，6人分为两组共有两种分法：①一组2人，一组4人，这种分法数为 ；②两组均为3人，这种分法数为 ，所以由分类加法计数原理可得共有 （种）分法.
11. [山东聊城模拟]有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有36种.（用数字作答）
[解析]先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个“大元素”，然后再将这个“大元素”与其他三个节目进行排序，共有 （种）排法.接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其他两个节目进行排序，此时共有 （种）排法.综上所述，由间接法可知，共有 （种）不同的排法.
[B级 综合运用]
12. [上海高三模拟]4张卡片的正、反面分别写有数字 ， ； ， ； ， ； ， .将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.当四位数不出现1时，排法有 （种）；当四位数出现一个1时，排法有 （种）；当四位数出现两个1时，排法有 （种）；所以不同的四位数的个数共有 .故选B.
13. 元宵节是中国传统节日，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵节民俗活动.某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯.现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.由题意得，3个地方的花灯的数量分布应该是1， ， 或者 ， ， 两种情况，第一种情况 ， ， ，若两个1均为人物灯，则有 种方法，若两个1只有一个为人物灯，则有 种方法，即第一种情况共有 （种）方法；第二种情况 ， ， ，若1为人物灯，则有 种方法，若1不是人物灯，则有 种方法，即第二种情况共有 （种）方法.由分类加法计数原理可得，满足条件的不同悬挂方法共有 （种）.故选A.
14. [四川名校联考]某学校开展“学雷锋践初心”志愿活动.现有6名男同学和4名女同学，分配到4个“学雷锋”志愿服务站参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.由题意得分配方案可分为两类：
第一类，1组3个男生，其余3组每组1个男生，
不同的分配方案有 （种）；
第二类，有2组每组2个男生，其余2组每组1个男生，不同的分配方案有 （种）.
所以不同的分配方案共有 （种）.故选D.
15. [浙江杭州四中模拟]如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为 , , .若 , , 成等差数列，则不同的分珠计数法共有( B )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
[解析]选B.根据题意， ， ， 的取值范围都是7~14中的8个整数，故公差 的范围是 到3的整数，
①当公差 时，从8个整数中选择一个共有8种，
②当公差 时， 不取7和14，有 （种），
③当公差 时， 不取 ， ， ， ，有 （种），
④当公差 时， 只能取10或11，有 （种），
综上，共有 （种），故选B.
16. （多选）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是( AC )
A. 某学生从中选3门学习，共有20种选法
B. “礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C. “乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D. “书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
[解析]选AC.对于A，某学生从中选3门学习，共有 （种）选法，故A正确；对于B，“礼”和“射”不相邻，则有 （种）排法，故B错误；对于C，①若“数”排在第一节，则排法有 （种），②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有 （种），所以共有 （种）排法，故C正确；对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有 （种）排法，②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有 （种）排法，③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有 （种）排法，所以共有 （种）排法，故D错误.故选AC.
17. [湖北武汉模拟]（多选）某人设计一项单人游戏，规则如下：如图所示，先将一棋子放在正方形 （边长为2个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 ，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去.某人抛掷 次骰子后棋子恰好又回到点 处，则( BD )
A. 若 时，则共有3种不同走法 B. 若 时，则共有5种不同走法
C. 若 时，则共有25种不同走法 D. 若 时，则共有27种不同走法
[解析]选BD.由题意知正方形 （边长为2个单位）的周长是8.
当 时，两次骰子的点数之和是8，共有 ， ， 种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，所以当 时，共有5种不同走法，故A错误， 正确；
若 时，三次骰子的点数之和是8或16，共有 ， ， ， ， ， ， 种组合，
前2种组合 ， ，每种情况可以排列出 （种）结果，共有 （种）结果，
其中 ， ， ， ， 各有3种结果，共有 （种）结果，根据分类加法计数原理知共有 （种）结果，所以当 时，共有27种不同走法，故C错误，D正确.故选BD.
18. 《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为51.
[解析]方法一：恰有2个一级医院，有 （种）抽法；恰有3个一级医院，有 （种）抽法.所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为 .
方法二：从9个医院里抽出4个医院进行药品抽检，共有 （种）抽法，抽出的医院中至少有2个一级医院的对立事件是抽出的医院中至多有1个一级医院，则恰有0个一级医院，有 （种）抽法；恰有1个一级医院，有 （种）抽法，所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为 .
19. 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，并且这3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有720种.
[解析]先从4个盒子中选3个盒子，有 种方法.为了保证3个盒子中球的颜色齐全，在4个相同的白球所产生的3个空中插入2块板，有 种方法；在5个相同的黑球所产生的4个空中插入2块板，有 种方法；在6个相同的红球所产生的5个空中插入2块板，有 种方法.由分步乘法计数原理可得不同的放法共有 （种）.
20. [甘肃兰州模拟]如图，某花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有72种.
[解析]如图，假设5个区域分别为1， ， ， ， ，分2种情况讨论：
①当选用3种颜色的花卉时， ， 同色且 ， 同色，共有种植方案 （种）；
②当4种不同颜色的花卉全选时，即 ， 或 ， 用同一种颜色，共有种植方案 （种），
则不同的种植方案共有 （种）.
