2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及简单几何性质.
2.通过双曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
第1课时 双曲线的定义、标准方程及其几何性质
1.双曲线的定义
满足下列两个条件
(1)在同一个平面内动点P和两定点F1,F2;
(2)||PF1|-|PF2||为定值,且0<||PF1|-|PF2||<|F1F2|的动点P的轨迹为双曲线.
点睛(1)定义中的绝对值如果去掉,其轨迹为双曲线的一支.
(2)当||PF1|-|PF2||=|F1F2|时,动点P的轨迹为两条射线.
(3)当||PF1|-|PF2||>|F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点 顶点坐标: A1(-a,0), A2(a,0) 顶点坐标: A1(0,-a), A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
性 质 离心率 e=,e∈(1,+∞)
a,b,c 的关系 c2=a2+b2
实虚 轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
等轴 双曲线 ①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. ②性质:a=b;e=;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
点睛
1.双曲线的标准方程中对a,b的要求只是a>0,b>0.
2.注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
1.焦点到渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为.
4.双曲线的离心率公式可表示为e=.
教材改编 结论应用 易错易混
1,5 3,4 2
1.(教材变式)已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于 .
【解析】设双曲线的焦点分别为F1,F2,|PF1|=4,
则||PF1|-|PF2||=2,故|PF2|=6或2,又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c-a=-1,故|PF2|=6.
答案:6
2.(混淆焦点位置)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.由题意,c=5,2a=6,所以a=3,
则b==4,结合条件可知,
双曲线的标准方程为-=1.
3.(结论4)双曲线-x2=1的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.双曲线-x2=1的焦点在y轴上,
a=,b=1,
所以离心率为===.
4.(结论1)若双曲线-=1的焦点F(3,0)到其渐近线的距离为,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选A.因为焦点为F(3,0),所以c=3,
根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b,
得b=,所以双曲线方程为-=1.
5.(教材提升)若双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a= .
【解析】焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为
y=x,而b=1,=,所以a=2.
答案:2
双曲线定义及应用
[典例1](1)已知F1,F2分别为双曲线x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且=8,则= ( )
A.6 B.2
C.2+4 D.2+2
【解析】选A.在双曲线x2-y2=2中,
a=,b=,c=2,
因为=8=8×4=32,
所以=4,
又-=2a=2,
所以=2+=6.
(2)(2023·厦门模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:-y2=1的左、右焦点,动点P在双曲线的左支上,点Q为圆G:x2+(y+2)2=1上一动点,则|PQ|+|PF2|的最小值为 ( )
A.6 B.7 C.3+ D.5
【解析】选A.如图,圆G的圆心为(0,-2),半径为1,F1(-,0),|PQ|+|PF2|=|PQ|+|PF1|+2a≥|PG|-1+|PF1|+4,
当P,G,F1三点共线时,|PQ|+|PF2|最小,最小值为|GF1|+3,
而|GF1|==3,所以|GF1|+3=6.
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
1. 已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是 ( )
A.-=±7
B.-=±6
C.-=±4
D.-=±6
【解析】选C.由题意,因为=6,
所以由双曲线的定义知,
当0<<6时,
动点P的轨迹为双曲线.
2.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】选A.由-=1,得a2=4,b2=12,
则a=2,b=2,c==4,
所以左焦点为F(-4,0),右焦点为F'(4,0),
则由双曲线的定义得-=2a=4,
因为点A(1,4)在双曲线的两支之间,
所以+≥==5,
所以+≥9,
当且仅当A,P,F'三点共线时取等号,
所以|PF|+|PA|的最小值为9.
【加练备选】
设P(x,y)是双曲线-=1的右支上的点,则代数式-
的最小值为 ( )
A. B.2-
C.- D.+-3
【解析】选B.-=-,
设A(0,1),F(3,0),上式表示-,由于双曲线-=1的左焦点为F'(-3,0),右焦点为F(3,0),
双曲线的实轴2a=2,=-2a=-2,
-=-+2=
-(-)+2,
-≤==,
当P在F'A的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号,
所以-=-(-)+2的最小值为2-.
双曲线的标准方程
角度1 定义法求双曲线的标准方程
[典例2](1)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x>2)
B.-=1(x>3)
C.+=1(0D.+=1(0【解析】选A.如图,设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则有|AD|=|AE|=5,|BF|=|BE|=1,
|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=5-1=4.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外),
即c=3,a=2,又c2=a2+b2,所以b2=5,
所以方程为-=1(x>2).
(2)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是 ( )
A.x=0 B.-=1(x≥)
C.-=1 D.-=1或x=0
【解析】选D.动圆M与两圆C1,C2都相切,有四种情况:①动圆M与两圆都外切;②动圆M与两圆都内切;③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切;④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在①②情况下,动圆圆心M的轨迹方程为x=0.在③的情况下,设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+,|MC2|=r-.
故得|MC1|-|MC2|=2.在④的情况下,
同理得|MC2|-|MC1|=2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2.
已知|C1C2|=8,根据双曲线定义,
可知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,
且a=,c=4,b2=c2-a2=14,
其方程为-=1.
角度2 待定系数法求双曲线的方程
[典例3](1)已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的虚轴长为2,离心率为,则其方程是 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
【解析】选C.由题意,双曲线-=1的虚轴长为2,离心率为,可得b=1,e==,
即c=a,因为c2=a2+b2,解得:a=2.
所以双曲线的方程为-y2=1.
(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.由离心率为,可知a=b,c=a,
所以F(-a,0),
由题意知kPF===1,
所以a=4,解得a=2,
所以双曲线的方程为-=1.
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法.
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:
①c2=a2+b2;
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法.
一般步骤.
1.(2023·福州模拟)双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.-x2=1 D.y2-=1
【解析】选A.双曲线离心率e==2,故c=2a,b=a,
将点(,)代入双曲线方程可得,-==1,
故a=1,b=,双曲线的方程为x2-=1.
2.已知双曲线C:-=1 (a>0,b>0) 的右焦点为F,坐标原点为O,在双曲线C的右支上存在两点M,N,使得四边形OMFN是正方形,则 ( )
A.-=4 B.-=4
C.-=4 D.-=4
【解析】选A.因为四边形OMFN是正方形,故OF=MN=c,则M点的坐标为,,
又点M在双曲线C上,
则-=1,又a2+b2=c2,
整理得-=4.
3.已知双曲线C:-=1 (a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线方程为y=x,过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线l交双曲线的右支于A,B两点,若△AF1B的周长为36,则双曲线C的标准方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
【解析】选C.因为双曲线C:-=1 (a>0,b>0) 的一条渐近线方程为y=x,
所以b=a,则双曲线方程为-=1 (a>0),F1(-a,0),F2(a,0),
所以直线l为y=tan(x-a)=(x-a),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由,得x2-6ax+11a2=0,
则x1+x2=6a,x1x2=11a2,
所以=·
=2=16a,
因为=+2a,=+2a,
所以+=++4a
=+4a=20a,
因为△AF1B的周长为36,
所以++=36,
所以20a+16a=36,得a=1,
所以双曲线方程为 x2-=1.
【加练备选】
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的顶点分别为A1,A2,以线段A1A2为直径的圆与直线ax+by-2ab=0相切,且双曲线C的焦距为4,则双曲线C的方程为 ( )
A.-y2=1 B.-=1
C.x2-=1 D.-=1
【解析】选A.由题意知,圆的半径为a,圆心为(0,0).设圆心到直线的距离为d,
则d==a,所以a2=3b2.
因为双曲线的焦距为4,所以c=2,
又c2=a2+b2,解得a=,b=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
双曲线的几何性质
角度1 双曲线的离心率
[典例4](1)(2023·珠海模拟)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支上一点M关于原点O的对称点为点N,F为双曲线的右焦点,若MO=OF,∠FMN=,则双曲线C的离心率e为 ( )
A. B. C.+1 D.+1
【解析】选D.设F'为双曲线左焦点,连接MF',NF',NF(图略),OF=MN,由平面几何知识可知MF⊥NF,根据对称性,四边形MFNF'为矩形,在Rt△MFN中,MN=F'F=2c,所以MF=c,NF=c,根据双曲线的定义可知MF'-MF=c-c=2a e===+1.
(2)(2022·福州模拟)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0) 的两个焦点,曲线上的点P到原点的距离为b,且sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,则该双曲线的离心率为 .
【解析】设焦距为2c,
因为sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,
c·sin∠PF1F2
=c·sin∠PF2F1,
所以=2,又-=2a,
所以=2a,=4a,
因为cos∠POF1=,
cos∠POF2=,
∠POF1+∠POF2=180°,
所以=-,
结合b2=c2-a2整理得=,
即e==.
答案:
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a,c,直接利用e=求解;
(2)若已知a,b,可直接利用e=得解;
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
角度2 与双曲线有关的面积问题
[典例5]金榜原创·易错对对碰
(1)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 ( )
A. B. C.2 D.3
【解析】选A.方法一:双曲线-=1的右焦点F(,0),一条渐近线的方程为y=x,不妨设点P在第一象限,由|PO|=|PF|,得点P的横坐标为,纵坐标为×=,即△PFO的底边长为,高为,
所以它的面积为××=.
方法二:不妨设点P在第一象限,
根据题意可知c2=6,所以|OF|=.
又tan∠POF==,
所以等腰三角形POF的高h=×=,
所以S△PFO=××=.
(2)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由F是双曲线-=1的一个焦点,
知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.
不妨设点P在第一象限,P(x0,y0),x0>0,y0>0,
则 解得
所以P,
所以S△OPF=|OF|·y0=×3×=.
与双曲线有关的面积问题的求解策略
一是确定三角形的底与高(易于计算长度的);
二是分别求出高与底边长度;
三是计算出面积.
角度3 与双曲线渐近线有关的问题
[典例6](1) (2022·临沂模拟)已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为 ( )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【解析】选A.由已知得,双曲线的焦点在x轴上,
双曲线的焦距2c=4,解得c=2,
双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,
则b===4,
即双曲线C的渐近线方程为 y=±x=±2x.
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为 .
【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e===2,所以=3,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
答案:y=±x
根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程
(1)渐近线为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0);
(3)与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
1.(2023·汕尾模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选D.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,=,b=a,离心率e====2.
2.已知双曲线 -=1(a>0,b>0) 的两条渐近线与直线x=-1围成的三角形的面积为,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C.2 D.2
【解析】选D.双曲线的渐近线为y=±x,
令x=-1,可得y=±,
不妨令A(-1,),B(-1,-),
所以=,
所以S△AOB=·=,
所以=2,即=2,所以=,
所以e====2.
3.(2023·天津模拟)设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.不妨设点P在第一象限,其点的坐标为(x0,y0),由题可知·y0·2c=3,
所以y0=,又∠F1PF2=90°,所以|OP|=2,
即+=4,所以x0=,
即P(,),代入双曲线方程得
解得或(舍).
故渐近线的斜率k=±=±.
故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为与.
故双曲线的两条渐近线的夹角为.
4. (多选题)(2022·聊城模拟)已知双曲线C:+=1(0A.双曲线C的焦点在x轴上
B.双曲线C的焦距等于4
C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于
D.双曲线C的离心率的取值范围为1,
【解析】选ACD.对A:因为0所以9-k>0,k-1<0,
所以双曲线C:-=1(0对B:由A知a2=9-k,b2=1-k,
所以c2=a2+b2=10-2k,所以c=,
所以双曲线C的焦距等于
2c=2(0对C:设焦点在x轴上的双曲线C的方程为
-=1(a>0,b>0),
焦点坐标为(±c,0),则渐近线方程为y=±x,
即bx±ay=0,
所以焦点到渐近线的距离d==b,
所以双曲线C:-=1(0对D:双曲线C的离心率
e===,
因为0所以e=∈1,,故选项D正确.
5.(2023·北京模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=2x-10过双曲线C的一个焦点,并且与双曲线C的一条渐近线平行,则双曲线C的方程为 ;若点M(-,2),则|MF1|-|MF2|的值为 .
【解析】在直线l的方程中,令y=0可得x=5,则c=5,
由于直线l:y=2x-10与双曲线C的一条渐近线平行,则,解得 ,
因此,双曲线C的方程为-=1;
因为-=1,
所以点M在双曲线C的左支上,
故|MF1|-|MF2|=-2a=-2.
答案:-=1 -2
【加练备选】
已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m= .
【解析】因为双曲线y2+=1,所以m<0,即双曲线的标准方程为y2-=1,
则a=1,b=,又双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,
所以=,即=,
解得m=-3.
答案:-3(共33张PPT)
8.6.1 双曲线的定义、
方程与性质
核心考点 师生共研
核心考点 师生共研
01
考点一 双曲线的定义及应用（师生共研）
例1.（1）(2023·河南许昌模拟)已知双曲线 的左焦点为 ，
为双曲线 右支上任意一点， 点的坐标为 ，则 的
最大值为( )
A. B. C. D.
√
解析：双曲线 的实半轴长为 ，右焦点为 ，
所以
，
当且仅当 为 的延长线与双曲线交点时取等号.故选C.
（2）如图， 为双曲线 的左焦点，双曲
线 上的点 与 关于 轴对称，则
____.
18
解析：设双曲线的右焦点为 ，因为双曲线 上的点
与 关于 轴对称，所以
，又双曲线的实轴长为
，根据双曲线的定义可得
.
双曲线定义应用的两个方面
【对点训练】
1.已知动点 满足 ，则动点
的轨迹是( )
A.射线 B.直线 C.椭圆 D.双曲线的一支
解析：选A.设 , ，由题意知动点 满足 ，故动点 的轨迹是射线，故选A.
√
2.(2023·山东滨州模拟)设 ， 是双曲线 的两个焦点，
为坐标原点，点 在双曲线 上且 ，则 的面积为___.
9
解析：由双曲线定义可知 ， ，
由已知，因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，即
是以 为直角顶点的直角三角形，故 ，
即 .又 ，所以
，解得
，所以 .
考点二 双曲线的标准方程（师生共研）
例2.（1）已知圆 ，圆 ，动圆
与 ， 都外切，则动圆圆心 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
√
解析：设动圆 的半径为 ，由题意知， ， ，则 ，所以 点的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的左支，且 ， ，则 ，则动圆圆心 的轨迹方程为 .故选A.
（2）(2023·山西太原模拟)与椭圆 共焦点且过点 的双曲
线方程是_ __________.
解析：由椭圆方程可知，焦点坐标是 ，
设双曲线方程是 ，
所以 解得
所以双曲线方程是 .
求双曲线标准方程的常用方法
（1）定义法:根据双曲线的定义确定 ， 的值，再结合焦点位置，求
出双曲线方程.
（2）待定系数法：先确定焦点在 轴上还是 轴上，设出标准方程，再
由条件确定 ， 的值，即“先定型，再定量”.如果焦点的位置不好确定，
可将双曲线的方程设为 或 ，
再根据条件求解.
【对点训练】
1.若双曲线 的焦距为 ，则实数 ________.
4或
解析：当焦点在 轴时，可得
解得 ；当焦点在 轴时，可得
解得 .所以 或 .
2.焦点在 轴上，焦距为10,且与双曲线 有相同渐近线的双曲线
的标准方程是___________.
解析：设所求双曲线的标准方程为 ，即 ，则有 ，解得 ,所以所求双曲线的标准方程为 .
考点三 双曲线的几何性质（多维探究）
[高考考情] 双曲线的几何性质是每年必考内容，其中离心率、渐近线的求解是高考的重点，多以客观题的形式出现.
角度1 双曲线的离心率
例3.（1）(2023·河南高三阶段练习)已知双曲线 的离
心率是 ，则双曲线 的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可得 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率 .故
选D.
√
（2）(2023·四川南部中学模拟)已知 ， 分别为双曲线
的左、右顶点，点 为双曲线 上任意一点，
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，则双曲线 的
离心率为_____.
解析：依题意 ， ，设 ，
则 ，
所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，故 ，即 .
求双曲线离心率（或其取值范围）的两种常用方法
角度2 双曲线的渐近线
例4.（1）已知双曲线 的离心率为2，则 的渐近线方程为
( )
A. B. C. D.
解析：由已知可得 ，所以 ，
所以 的渐近线方程为 .故选D.
√
（2）(2022·高考全国卷甲)若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 ___.
解析：双曲线 的渐近线方程为 ，即
，
不妨取 .圆 ，
即 ，
所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）.
求双曲线的渐近线方程的方法
[注意]两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于
轴、 轴对称.
角度3 双曲线性质的综合应用
例5.（1）(2023·山东潍坊模拟)已知 ， 是双曲线
的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左支交
于点 ，与右支交于点 ，若 , ,则
( )
A. B. C. D.
√
解析：如图所示，由双曲线定义可知 .
又 ,
所以 .
因为 ，
所以
.
由双曲线定义可知 ,
所以 .又 ,
所以 ，
所以 为等边三角形，边长为 ,
所以 ，
所以 .故选B.
（2）设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，
以 为直径的圆与圆 交于 , 两点.若 ,则 的
离心率为( )
A. B. C. D.
解析：依题意，记 ，
则以 为直径的圆的方程为 ,
将圆 与圆 的方程相减得 ,
√
即 ,所以点 ， 的横坐标均为 .
由于 是圆 的一条弦，
因此 ,
即 ,
即 ,
所以 ,
即 ,所以 ,
因此 的离心率 ,故选A.
双曲线几何性质的综合应用涉及知识较广，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识相联系.
【对点训练】
1.(2023·山东济宁模拟)过双曲线 的右顶点作
轴的垂线，与 的一条渐近线相交于点A.若以 的右焦点 为圆心、半径
为4的圆经过 ， 两点（ 为坐标原点），则双曲线 的标准方程为
____________.
解析：由题意得 ， 且 .又 ，
解得 ， ，因此双曲线 的标准方程为 .
2.(2023·江西五校高三联考)已知双曲线 ，直线
与双曲线 交于 ， 两点，直线 与双曲线 交于 ，
两点，若 ，则双曲线 的离心率为____.
解析：将 代入 ，得 ,则 ,将
代入 ,得 .因为 ,所以
.又 , ,所以
,即 ,所以双曲线 的离心率
.
3.(2023·浙江杭州模拟)设 ， 是双曲线 的
左、右焦点， 是双曲线 右支上一点，若 ,且
，则双曲线 的渐近线方程为_____________.
解析：由题意可得 .
又 ,所以 , .
在 中，由余弦定理的推论可得
,
即 ,
所以 .又 ,
所以 ,所以双曲线 的渐近线方程为 ,即 .
