2025年高考数学一轮复习-9.2-二项式定理-专项训练
[基础强化]
一、选择题
1.的展开式中x4的系数为( )
A．10 B．20
C．40 D．80
2.的展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
3．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
4．若(x＋2)展开式中的常数项为80，则a＝( )
A．－2 B．2
C．±2 D．4
5．若(x－2y)6的展开式中的二项式系数和为S，x2y4的系数为P，则为( )
A． B．
C．120 D．240
6．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )
A. 6 B．9
C．12 D．18
7．(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
8．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，则S＝( )
A．(x－2)4 B．(x－1)4
C．x4 D．(x＋1)4
9．(多选)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则( )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
二、填空题
10．(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).
11．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.
12．的展开式中常数项是______(用数字作答).
参考答案与解析
1．C 由展开式的通项Tk＋1＝C(x2)5－k·(2x－1)k＝2kCx10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，
∴x4的系数为C·22＝40.
2．C 由二项展开式通项知Tk＋1＝(－2)kC·(x2)5－k＝(－2)kCx10－5k，令10－5k＝0，得k＝2.
∴常数项为T3＝(－2)2C＝40.
3．A 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
4．B 的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·a5－k·x2k－5，显然，2k－5为奇数，故(x＋2)展开式中的常数项为C·a3＝80，所以a＝2.
5．B 由题意得S＝26＝64，P＝C(－2)4＝15×16＝240，∴＝＝.
6．B 在的展开式中令x＝1，得A＝4n，各项二项式系数之和为B＝2n，由 4n＋2n＝72，得n＝3，∴＝，其通项为Tk＋1＝C()3－k＝，令＝0，得k＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9.
7．C 要求(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可，由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C＝10，x4y的系数为C＝5，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.
8．C S＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)1＋C(x－1)0＝(x－1＋1)4＝x4.
9．ABC 对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；对于B，(1－2x)5的展开式的通项Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，所以a5＝2×(－2)5C＋1×(－2)4C＝－64＋80＝16，故B正确；对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6 ②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确．综上所述，选ABC.
10．－28
解析：(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
11．16 5
解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
12．240
解析：展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·＝2kCx12－3k，令12－3k＝0，解得k＝4，故常数项为24C＝240.(共40张PPT)
9.2 二项式定理
课标要求 考情分析
1.理解二项式定理、掌 握二项式系数的性质. 2.会利用二项式定理解 决与二项展开式有关 的简单问题. 考点考法：高考命题常以选择题、填空题的形式
考查应用二项式定理求特定项（系数）、与二项
式系数的性质及二项展开式有关的简单问题，试
题难度中档.
核心素养：逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.二项式定理
二项式定理 ________________________________________
_____ ________
二项展开式的 通项 __________，它表示第______项
二项式系数 ____
[提醒] （1）项数为 ;（2）各项的次数都等于二项式的幂指数 ，即 与 的指数的和为 ;（3）字母 按降幂排列，从第一项开始，次数由 逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项加1直到n.
2.二项式系数的性质
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )
×
（2）在 的展开式中，每一项的二项式系数与 ， 无关.( )
√
（3）在 展开式的通项 中， 和 不能互换.( )
√
2. 展开式中的常数项是( )
A. B. C. D.
解析：选D. ,令 ，解得 ，所以常数项为 .故选D.
√
3.（人A选择性必修第三册 习题 变条件、变设问）在
的展开式中，含 的项的系数是( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 中只有 和
中含 的项， 中含 的项为 ， 中含 的项
为
,所以 的展开式中含 的项的系数
是 .故选C.
√
若二项展开式的通项为 , ,则有
以下常见结论：
（1） 是常数项；
（2） 是非负整数 是整式项；
（3） 是负整数 是分式项；
（4） 是整数 是有理项.
【用一用】
1.(2023·江苏常州模拟)在二项式 的展开式中，有理项的项数为
( )
A. B. C. D.
解析：选B.二项式 的展开式中，通项 ，
, , , , ,当 , ,4时为有理项，所以一共有三项有理项.故选B.
√
2.(2023·山东淄博模拟)已知 的二项展开式中，所有二项式系数的
和为256，则展开式的常数项为_______.
1 120
解析：因为所有二项式系数的和为256,所以 ,所以 ,
则展开式的通项为 ，令 ，
可得 ，
所以展开式的常数项为 .
核心考点 师生共研
02
考点一 展开式中的通项问题（多维探究）
[高考考情] 二项展开式的通项及有关多项式展开问题，是近几年高考的热点，对于多项式展开问题，其处理方法主要是转化为二项式，用二项式定理的通项公式解决问题，高考主要以选择题、填空题的形式考查，难度中档，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
角度1 型
例1.（1）(2023·河南开封模拟)在 的展开式中，第2项的系数与
第1项的系数之差为320，则该二项展开式中 的系数为( )
A. B. C. D.
√
解析：由题意知，二项式 展开式的通项为
，
又第2项的系数与第1项的系数之差为320，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，令 ，解得 ，
故展开式中 的系数为 .故选C.
（2） 的展开式中，无理项的项数为( )
A. B. C. D.
解析： 展开式的通项为
, , , , ， ，若 的指
数 为整数，则 是6的倍数，所以当 , , , , ,30时为有
理项，共6项，故无理项的项数为 ，故选D.
√
求 型展开式中特定项问题的步骤
角度2 型
例2.（1） 的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
√
解析：
,而
的展开式的通项 ,易知当 或 时
原式有常数项.
令 , ;令 , ,故所求常数
项为 .故选D.
（2）(2022·新高考卷Ⅰ) 的展开式中 的系数为_____
（用数字作答）.
解析： 展开式的通项 ， ， ， ， ， .
令 ，得 ，令 ，得 ,所以
的展开式中 的系数为 .
求 型展开式中问题的思路
（1）若 , 中有一个比较小，可考虑把它展开，如
,然后分别求解.
（2）观察 是否可以合并，如
.
（3）分别得到 , 的通项，综合考虑.
[注意]对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
角度3 型
例3.（1）(2023·河南郑州模拟) 的展开式中 的系数为( )
A. B. C. D.
解析： 的通项 ，
令 ，得 ，
所以 的系数为 ，故选B.
√
（2） 的展开式中的常数项为_____.
解析： 可化为 ，因而
，令 ，解得 ,故展开式
中的常数项为 .
求 型展开式中问题的方法
（1）因式分解法：将三项式利用因式分解变化为两个二项式，然后再用
二项式定理求解问题.
（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含
二项式的项展开，从而求解问题.
（3）组合知识法：把 看成 个 的积，利用组合
知识分析项的构成.
【对点训练】
1. 的展开式中的中间项为( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题意得中间项为 .故选B.
√
2.在 的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
解析：选A.原式 ，①
而 的通项为 ，当 时，
， 故①式中的前一项不会出现常数项.当 ，即 时，
可得①式中的后一项的常数项乘以3即为所求，此时原式常数项为
.故选A.
√
3. 的展开式中， 的系数是______.（用数字作答）
解析： 表示6个因式 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选 ，其余的3个因式中有2个选 ，剩下一个选 ，即可得到 的系数，即 的系数是 .
考点二 二项式系数的和与各项系数的和问题（师生共研）
例4.（1）(2022·高考北京卷)若
，则 ( )
A. B. C. D.
解析：令 ，得 ，
令 ，得 ，
故 ，故选B.
√
（2）在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 ，
则 的系数为____.
解析：令 ，则 ，
所以 的展开式中，各项系数和为 ，又二项式系数和为 ，所以
，解得 .二项展开式的通项为
,令 ，解得 ，所以 的系
数为 .
求展开式中各项系数的和，在使用赋值法时，令 , 等于多少，应视
具体情况而定，一般取 ， 或0，有时也取其他值.如：
（1）形如 , 的式子，求其展开式的
各项系数之和，只需令 即可；
（2）形如 的式子，求其展开式的各项系数之和，只
需令 即可.
【对点训练】
1.(2023·陕西宝鸡模拟)
，则
( )
A. B. C. D.
解析：选C.依题意令 ，得 .故选C.
√
2.（多选）已知 ,则( )
A. B.
C. D.
√
√
解析：选AD.令 ，则 ，故A正确；
令 ，则 ，所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ,
, ,所以 ，故C错误；
对 两边对 求导得 ，再令 得 ，故D正确.故选AD.
考点三 二项式系数的最值问题（师生共研）
例5 在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中
系数最小的项的系数为( )
A. B. C. D.
√
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 , 的展开式的通项为
，所以展开式中奇数项的二项式系
数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互
为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第
6项的系数相等且最小，为 .
（1）求二项式系数最大项
①如果 是偶数，那么中间一项 的二项式系数最大；
②如果 是奇数，那么中间两项 的二项式系数相等且最大.
（2）求展开式系数最大项
求 的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 ， ， ， ，且第 项系数最大，应
用 解出 .
【对点训练】
1.（多选）在 的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大
C.第3项的系数最大 D.所有项的系数和为64
√
√
解析：选BC.展开式的通项为 ,由 ，得 ，所以常数项为 ，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令 ，得 ,所有项的系数和为1，D错误.
2.(2023·湖南郴州模拟)已知 展开式中第5项和第6项的
二项式系数最大，则其展开式中常数项是_ ____.
解析：因为 展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，
所以 ，解得 ，
所以 展开式的通项为
，
由 得 ，
所以常数项为第4项 .
