9.4-事件的相互独立性与条件概率-专项训练【原卷版】
1．甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为( )
A．0．7 B．0．58
C．0．12 D．0．46
2．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1 000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1 000次的概率是( )
A． B．
C． D．
3．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
4．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝
5．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
6．已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0．9，超过2年的概率为0．63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为________．
7．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2,6,9,3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0．85,0．64,0．45,0．32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为________．
8．某大学生用围棋棋子研究概率问题，围棋的黑白棋子除颜色外，其他均相同．他准备了两个相同的不透明的盒子甲和乙，甲盒中放有3个黑子、6个白子，乙盒中放有4个黑子、4个白子．现随机从其中一个盒子中取出一个棋子，若该棋子是黑色，则这个棋子来自甲盒的概率为________．
9．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0．6,0．5,0．4，能通过面试的概率分别是0．6,0．6,0．75．
(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝( )
A． B．
C． D．
11．某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A． B．
C． D．
12．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)超过1 000小时的概率均为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
13．某科考队有甲、乙、丙三个勘探小组，每组三名队员．该队执行考察任务时，每人佩戴一部对讲机与总部联系，若每部对讲机在某时段能接通的概率均为，且对讲机能否接通相互独立．甲组在该时段能联系上总部的概率为________，在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为________﹒
14．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
9.4-事件的相互独立性与条件概率-专项训练【解析版】
1．甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为( )
A．0．7 B．0．58
C．0．12 D．0．46
解析：B 两个人各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，所以都没有命中的概率为(1－0．4)×(1－0．3)＝0．42，所以至少有一人命中的概率为1－0．42＝0．58．故选B．
2．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1 000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1 000次的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：B 记事件A为“该充电宝循环充电超过500次”，则P(A)＝，记事件B为“该充电宝循环充电超过1 000次”，则P(B)＝，易知P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝×＝．故选B．
3．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
解析：ACD 对于A选项，2个球都是红球的概率为×＝，A选项正确；对于B选项，2个球不都是红球的概率为1－×＝，B选项错误；对于C选项，至少有1个红球的概率为1－×＝，C选项正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率×＋×＝，D选项正确．故选A、C、D．
4．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝
解析：ABC P(A)＝＝，故A正确；P(AB)＝＝，故B正确；P(B|A)＝＝＝，故C正确；P()＝＝，P(B)＝＝，P(B|)＝＝＝，故D错误．故选A、B、C．
5．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
解析：记“利率下调”为事件A，则“利率不变”为事件，记“价格上涨”为事件C，由题意知：P(A)＝60%，P()＝40%，P(C|A)＝80%，P(C|)＝40%，∴P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P()P(C|)＝48%＋16%＝64%．
答案：64%
6．已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0．9，超过2年的概率为0．63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为________．
解析：设一个这种元件使用1年的事件为A，使用2年的事件为B，则P(A)＝0．9，P(AB)＝0．63，所以P(B|A)＝＝＝0．7．
答案：0．7
7．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2,6,9,3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0．85,0．64,0．45,0．32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为________．
解析：设B表示“该小组比赛中射中目标”，Ai(i＝1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×0．85＋×0．64＋×0．45＋×0．32＝0．527 5．
答案：0．527 5
8．某大学生用围棋棋子研究概率问题，围棋的黑白棋子除颜色外，其他均相同．他准备了两个相同的不透明的盒子甲和乙，甲盒中放有3个黑子、6个白子，乙盒中放有4个黑子、4个白子．现随机从其中一个盒子中取出一个棋子，若该棋子是黑色，则这个棋子来自甲盒的概率为________．
解析：设“取出的棋子来自甲盒”为事件A，“取出的棋子是黑色棋子”为事件B，则所求概率为事件B发生的情况下事件A发生的概率，即P(A|B)．由题意知，P(AB)＝×＝，P(B)＝＋×＝，所以P(A|B)＝＝×＝．
答案：
9．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0．6,0．5,0．4，能通过面试的概率分别是0．6,0．6,0．75．
(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．
解：(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件A1，A2，A3，则A1，A2，A3为相互独立事件，记事件E表示“恰有一人通过笔试”，则P(E)＝P(A1 )＋P(1A23)＋P( A3)＝0．6×0．5×0．6＋0．4×0．5×0．6＋0．4×0．5×0．4＝0．38，故恰有一人通过笔试的概率为0．38．
(2)分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，
则P(A)＝0．6×0．6＝0．36，P(B)＝0．5×0．6＝0．3，P(C)＝0．4×0．75＝0．3．
记事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示“甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取”，又＝ ，
于是P(F)＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0．64×0．7×0．7＝0．686 4．
故经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率为0．686 4．
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝( )
A． B．
C． D．
解析：C 由已知有P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝．
11．某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：B 记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，P(B|A)＝，P(B|)＝，P(A)＝，由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝2＋2＝．故选B．
12．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)超过1 000小时的概率均为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P＝×＝．
答案：
13．某科考队有甲、乙、丙三个勘探小组，每组三名队员．该队执行考察任务时，每人佩戴一部对讲机与总部联系，若每部对讲机在某时段能接通的概率均为，且对讲机能否接通相互独立．甲组在该时段能联系上总部的概率为________，在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为________﹒
解析：甲组在该时段不能联系上总部的概率为××＝，故甲组在该时段能联系上总部的概率为1－＝．至少两组与总部取得联系有两种情况：一种是两组与总部取得联系，其概率为C×××＝．另一种是三组与总部取得联系，其概率为：××＝，至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为＋＝．
答案：
14．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3．
∴这2个产品都是次品的概率为．
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝．(共43张PPT)
9.4 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
课标要求 考情分析
1.结合有限样本空间，了解相 互独立事件、条件概率的含 义. 2.结合古典概型，了解条件概 率与独立的关系，能利用独立 性、乘法公式、全概率公式计 算概率. 考点考法：两个事件独立性的判断，独立
事件乘法公式、条件概率与全概率公式的
应用是高考命题的热点，试题一般以选择
题、填空题等形式呈现，难度中等.
核心素养：数据分析、数学建模、数学运
算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.相互独立事件
（1）概念：设 , 为任意两个事件，若 ____________，则称事
件 与事件 相互独立，简称为独立.
（2）性质：若事件 与 相互独立,那么 与 , 与 , 与 也都相互独立.
[提醒] 相互独立事件不一定互斥.
2.条件概率
（1）概念：一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ,我们称
_____________为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率 ，简称
条件概率.
（2）两个公式
①利用古典概型， _ _____.
②概率的乘法公式： ____________.
（3）条件概率的性质
① , ___.
②如果 和 是两个互斥事件，则 _________________.
③设 和 互为对立事件，则 ____________.
3.全概率公式
一般地，设 ， ， ， 是一组两两互斥的事件，
,且 , , , , ,则对任意的事件 ，
有 _________________.
我们称上面的公式为全概率公式.
[提醒] 注意 和 的区别.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）对于任意两个事件，公式 都成立.( )
×
（2） .( )
×
（3）抛掷2枚质地均匀的硬币,“第1枚为正面”为事件 ,“第2枚为正面”为事
件 ,则 , 相互独立.( )
√
（4）三个事件 ， ， 两两独立,则 .( )
×
2.（人A必修第二册 练习 变设问）天气预报报道：元旦假期甲地的
降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是 .假定在这段时间内两地是否降雨相
互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A. B. C. D.
√
解析：选C.设“甲地降雨”为事件 ，“乙地降雨”为事件 ，则两地恰有一
地降雨为 ，
所以
.
3.已知随机事件 ， ， ， ， ，则
_ _.
解析：依题意得 ，所以 ，
故 .
4.已知 是一个三位正整数，若 的十位数字大于个位数字，百位数字大
于十位数字，则称 为递增数.已知 , , ，设事件 “由
, , 组成三位正整数”，事件 “由 , , 组成的三位正整数为递增数”，
则 _ __.
解析：所有三位正整数的个数为 ，即 .满足三
位正整数为递增数的有以下三类：①当百位数为2时，有1个；②当百位数
为3时，有 （个）；③当百位数为4时，有 （个）.所以
，故 .
1.事件的关系与运算
（1） ， 都发生的事件为 ； ， 都不发生的事件为 .
（2） ， 恰有一个发生的事件为 ； ， 至多有一个发生的
事件为 .
2.相互独立事件的概率
若事件 ， ， ， 相互独立，则
.
【用一用】
1.“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， ， ，
假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅
游的概率为( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， ， ，所以他们不去北京旅游的概率分别为 ， ， .因为至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，所以至少有1人去北京旅游的概率为 .故选B.
2.甲、乙两人各投篮一次，投进的概率分别是 ， ，则两人中恰有一人投
进的概率为___.
解析：设事件 表示“甲投进”， 表示“乙投进”，则 ， ，
两人中恰有一人投进的概率为
.
核心考点 师生共研
02
考点一 相互独立事件的概率（一题多变）
例1 (2023·云南曲靖一中模拟)中国书法的五种主要书体为篆书体、隶书体、
楷书体、行书体、草书体.现有甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任
意选一种进行研习，且相互独立，则甲不选隶书体、乙不选草书体的概率
为( )
A. B. C. D.
√
解析：记“甲选隶书体”为事件 ，“乙选草书体”为事件 ，
则 ， .
则“甲不选隶书体”的概率 ，
“乙不选草书体”的概率 .
因为甲、乙分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，
由相互独立事件的概率公式可得“甲不选隶书体、乙不选草书体”的概率为
.
【一题多变】
（变设问）本例中，
解：记“甲选隶书体”为事件 ，“乙选草书体”为事件 .
（1）改为求“甲选隶书体，乙选草书体”的概率呢？
甲选隶书体、乙选草书体”为事件 ，
其概率 .
（2）改为求“甲选隶书体、乙不选草书体”的概率呢？
解：“甲选隶书体、乙不选草书体”为事件 ，
其概率 .
（3）改为求“甲不选隶书体、乙选草书体”的概率呢？
解：“甲不选隶书体、乙选草书体”为事件 ，
其概率 .
（1）解相互独立事件问题的步骤
（2）建立概率模型是解决实际问题的关键，审题时要首先确定问题中的简单事件，再对复杂事件分析转化.
【对点训练】
1.(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ，
，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球
的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次
取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，
则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
√
解析：选B.事件甲发生的概率 （甲） ，事件乙发生的概率 （乙）
，事件丙发生的概率 （丙） ，事件丁发生的概率
（丁） .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， （甲丙）
（甲） （丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为
， （甲） （丁），故B正确；事件乙与事件丙同时
发生的概率为 ， （乙丙） （丙），故C错误；事件丙
与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.选B.
2.某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙
三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的
概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个家庭都回
答正确的概率是 .若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回
答正确这道题”分别为事件 ， ， ，
则 ，且有
即
所以 ， .
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
解： 有0个家庭回答正确的概率为
,
有1个家庭回答正确的概率为
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
.
考点二 条件概率（师生共研）
例2.（1）(2023·山东菏泽模拟)（多选）某地开展党史知识竞赛活动，以党
支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中（包含3道选择题和2道填
空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件 为“第1次抽到选择
题”，事件 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
解析：方法一（公式法）：对于A， ，故A正确；对于B，
，故B正确；
对于C，由选项A，B及条件概率公式可得 ，故C正确；
对于D， ， ，
所以 ，故D错误.
方法二（古典概型法）：对于A，由题意可知不放回地依次随机抽取2道题
作答，样本空间有 （个）等可能的样本点，
， 所以 ，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ， ，
， 故D错误.
（2）(2023·河南开封模拟)现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统
府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件 为
“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了中山陵”，则
__.
解析：甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆
4处景点旅游，共有 （种）不同的方案，事件 “4个人去的景点
各不相同”的方案有 （种），
事件 “只有甲去了中山陵”的方案有 （种），
事件 同时发生的方案有 （种），
, ,所以 .
条件概率的两种求解方法
【对点训练】
1.(2023·重庆八中高三阶段练习)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试
验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共
有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一
只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件 表示“第
只飞出笼的是苍蝇”， ， ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选C.由题得 ，
，
则 .故选C.
2.(2023·湖北黄冈模拟)某地市场调查发现， 的人喜欢在网上购买家用小电器，
其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器，经该地市场监管局抽样调查发现，
在网上购买的家用小电器的合格率为 ,而在实体店购买的家用小电器的合格率
为 .现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被
投诉的家用小电器是在网上购买的概率是_ __.
解析：设事件 “家用小电器不合格”，事件 “家用小电器是在网上购买的”，
则 ， ,故 .
考点三 全概率公式的应用（师生共研）
例3.（1）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产 规格的芯片，
现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块、8块，且乙
生产该芯片的次品率为 ，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片
的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( )
A. B. C. D.
√
解析：设事件 , 分别表示取得的这块芯片是由甲、乙生产的，事件
表示取得的芯片为次品，甲生产该芯片的次品率为 ，
则 , , , ,则由全概率公式
得 ，解得
.故选B.
（2）(2023·海南三亚模拟)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，
已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是 ，从开关第一次闭
合起，若前一次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是 ，出现绿灯的概
率是 ；若前一次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是 ，出现绿灯的
概率是 ，那么第二次闭合后出现红灯的概率是___.
解析：记第一次闭合后出现红灯为事件 ，则第一次出现绿灯为事件 ，第二次闭合后出现红灯为事件 ，出现绿灯为事件 ，则 ， ， ,所以 .
全概率公式的适用范围及步骤
（1）适用范围：所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
（2）运用全概率公式的一般步骤：
①求出样本空间 的一个划分 ， ， ， ;
②求 ；
③求 ；
④求目标事件的概率 .
[注意]（1）对 中的任意事件 ，都有 ；
（2）全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可.
【对点训练】
1.(2023·辽宁大连模拟)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4，
，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7， ，则甲正点到达
目的地的概率为( )
A. B. C. D.
√
解析：选C.设事件 表示“甲正点到达目的地”，事件 表示“甲乘动车到达目的地”，事件 表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知 ，
， ， .由全概率公式得
.故选C.
2.(2023·山东烟台模拟)书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机
取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书.已知甲至少取走了1本
数学书，则乙取走语文书的概率为_ _.
解析：记2本语文书为 , ， 本数学书为1， ， ，则甲至少取走了1本
数学书包含的样本点有： , , , , , , ,
, ，共9个.设“甲至少取走了1本数学书的情况下甲取走 本数学
书”为事件 ，“乙取走语文书”为事件 ，则事件 包含 , ,
, , , ，共6个样本点，故 ，同理可得
， ， ，则
.
