2025年高考数学一轮复习-8.5-椭圆-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知椭圆 的一个焦点为点 ，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
2. 已知椭圆的两个焦点为 ， ， 是椭圆上一点，若 ， ，则该椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆 上，则 ( )
A. B. C. D.
4.设椭圆 的两焦点分别为 ， ，以 为圆心， 为半径的圆与 交于 ， 两点.若 为直角三角形，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
5. （多选）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 在 轴上，短轴长等于2，离心率为 ，过焦点 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆 的方程为 B. 椭圆 的方程为
C. D. 的周长为
6. 写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆的标准方程为 .
7. 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，则 的周长为 .
8. 设 是椭圆 上任意一点， 为 的右焦点， 的最小值为 ，则椭圆 的离心率为 .
9.已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 若点 ，点 在椭圆 上，求线段 长度的最大值.
[B级 综合运用]
10.已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上， , 为 的两个焦点， 的短轴长为4，且 上存在一点 ，使得 ，则 的方程可能为( )
A. B. C. D.
11.（多选）设椭圆 的焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 离心率 B. 的最大值为3
C. 面积的最大值为 D. 的最小值为2
12.已知椭圆 的右焦点为 ， ， 是椭圆上关于原点对称的两点， ， 分别是 ， 的中点.若以 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率 的取值范围是 .
13.设 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上的动点， ，则 的最小值为 .
14. 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点.
（1） 若 为等边三角形，求 的离心率；
（2） 如果存在点 ，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和 的取值范围.
[C级 素养提升]
15.过椭圆 右焦点 的圆与圆 外切，该圆直径 的端点 的轨迹记为曲线 ，若 为曲线 上的一动点，则 的最小值为 .
16.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ， ， 分别为椭圆 的左、右顶点.椭圆 以线段 为短轴且与椭圆 为“相似椭圆”.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 设 为椭圆 上异于 ， 的任意一点，过 作 轴，垂足为 ，线段 交椭圆 于点H.求证： .
2025年高考数学一轮复习-8.5-椭圆-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知椭圆 的一个焦点为点 ，则椭圆 的离心率为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由椭圆 的一个焦点的坐标为 ，得 ，解得 （负值舍去）.
所以椭圆 的离心率为 .故选B.
2. 已知椭圆的两个焦点为 ， ， 是椭圆上一点，若 ， ，则该椭圆的方程是( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.设 , ,因为 , , ，所以 , ,所以 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 .
所以椭圆的方程是 .故选C.
3.在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆 上，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.在椭圆 中， ， ，则 ，故点 ， 为椭圆的焦点，因此， .故选A.
4.设椭圆 的两焦点分别为 ， ，以 为圆心， 为半径的圆与 交于 ， 两点.若 为直角三角形，则 的离心率为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.不妨设椭圆 的方程为 ，因为 为直角三角形，所以 ，又 ,所以 ,所以 ,所以椭圆 的离心率 .故选
A.
5. （多选）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 在 轴上，短轴长等于2，离心率为 ，过焦点 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，则下列说法正确的是( ACD )
A. 椭圆 的方程为 B. 椭圆 的方程为
C. D. 的周长为
[解析]选ACD.由已知得， , .
, 又,解得=3 .
所以椭圆 的方程为 ,如图，所以 , 的周长为 .故选ACD.
6. 写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆的标准方程为 （答案不唯一）.
[解析]不妨设椭圆的焦点在 轴上，椭圆的标准方程为 .
因为长轴长等于离心率8倍，故 ，即 ,不妨令 ，则 , ，所以满足条件的一个椭圆的标准方程为 .
7. 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，则 的周长为8.
[解析]由题意得， ， ，直线 过左焦点 ，所以 ， ，所以 .
8. 设 是椭圆 上任意一点， 为 的右焦点， 的最小值为 ，则椭圆 的离心率为 .
[解析]由题意得 ，所以 ，解得 ，所以 .
9.已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
[答案]解：依题意得 , ，
离心率 ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2） 若点 ，点 在椭圆 上，求线段 长度的最大值.
[答案]设 ，则 ，
得
，
其中 .
所以当 时， .
[B级 综合运用]
10.已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上， , 为 的两个焦点， 的短轴长为4，且 上存在一点 ，使得 ，则 的方程可能为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.由题意可知， , ，联立可得 .
又 ,所以 ,
整理可得 ,又 ,
所以 .故选A.
11.（多选）设椭圆 的焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是( AD )
A. 离心率 B. 的最大值为3
C. 面积的最大值为 D. 的最小值为2
[解析]选AD.由题意得 , , , ,故A正确；
不妨令 , ,设 ,所以 ，所以 ，因为 ,所以当 时， ，即 ，故B错误；
因为 , ,所以当 ,即 在短轴的端点时， 的面积取得最大值， ，故C错误；
,因为 ,所以 ,所以 ,故D正确.故选AD.
12.已知椭圆 的右焦点为 ， ， 是椭圆上关于原点对称的两点， ， 分别是 ， 的中点.若以 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率 的取值范围是 .
[解析]设点 ,
则 ,又点 ,
所以 ，
，
又以 为直径的圆过原点，
则有 ，所以 ，
即 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,得 ,
所以 ，
整理得 ,解得 ,
又 ，所以 .
13.设 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上的动点， ，则 的最小值为5.
[解析]由已知可得椭圆的标准方程为 ,则 ，所以 ，所以焦点坐标分别为 ， ，又由椭圆定义可得 ，所以 ，所以 ，利用几何性质可得当点 在椭圆左端点时 有最小值，且此时最小值为 .
14. 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点.
（1） 若 为等边三角形，求 的离心率；
[答案]解：连接 （图略）.由 为等边三角形可知在 中， ， , ,于是 ,
故C的离心率为 .
（2） 如果存在点 ，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和 的取值范围.
[答案]由题意可知，满足条件的点 存在，由题意得 即
由②③及 得 .
又由①知 ,故 .
由②③及 得 ,
所以 ,从而 ,故 .当 , 时，存在满足条件的点 .
所以 , 的取值范围为 .
[C级 素养提升]
15.过椭圆 右焦点 的圆与圆 外切，该圆直径 的端点 的轨迹记为曲线 ，若 为曲线 上的一动点，则 的最小值为1.
[解析]椭圆 , ，所以 .
设以 为直径的圆的圆心为 ，如图所示，
因为圆 与圆 外切，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 的轨迹为以 ， 为焦点， 的双曲线的右支.
即 , , ,曲线 .
因为 为曲线 上的一动点，则 的最小值为 .
16.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ， ， 分别为椭圆 的左、右顶点.椭圆 以线段 为短轴且与椭圆 为“相似椭圆”.
（1） 求椭圆 的方程；
[答案]解：椭圆 的离心率为 ，
设椭圆 的方程为 ，且 ，
因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2） 设 为椭圆 上异于 ， 的任意一点，过 作 轴，垂足为 ，线段 交椭圆 于点H.求证： .
[答案]证明：不妨设 ，其中 ，则 ，可得 ，
把 代入椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以 , ，
所以 .
所以 .(共16张PPT)
第5讲 椭圆
课标要求 考情分析
1.了解圆锥曲线的实际 背景，感受圆锥曲线 在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽 象出椭圆的过程，掌 握椭圆的定义、标准 方程及简单几何性质. 考点考法：高考对椭圆考查形式有两种：一是根据题
设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程
研究椭圆的性质，常以选择题或填空题的形式出现，
有时也出现在解答题第一问中，难度中等.
核心素养：数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
1.椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内与两个定点 ， 的距离的和等于 常数（大于 ）的点 点的轨 迹为椭圆 _________为椭
圆的焦点；
_______为椭圆
的焦距
[提醒] 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则
动点的轨迹不存在.
，
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形 _____________________________________ ______________________________
标准方程
范围 且 且
顶点 , , , , ,
,
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
轴长 短轴长为____，长轴长为____ 焦点 __________________ __________________
焦距 ____ 对称性 对称轴： 轴和 轴，对称中心：______ 离心率 ， ， 的关系
,
,
原点
续表
[提醒] 焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）平面内与两个定点 , 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
( )
×
（2）椭圆的离心率 越大，椭圆就越圆.( )
×
（3） 与 的焦距相同.( )
√
（4）方程 表示的曲线是椭圆.( )
×
2.（人A选择性必修第一册 练习 变条件）已知椭圆 上一
点 到椭圆一个焦点 的距离为3，则 到另一个焦点 的距离为( )
A. B. C. D.
解析：选D.由椭圆的定义 ,所以 .
√
3.已知椭圆 ，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为 B.焦距为 C.短轴长为 D.离心率为
解析：选D.把椭圆方程 化为标准方程可得 ，
所以 , , ,则长轴长 ,焦距 ,短轴
长 ,离心率 .故选D.
√
4.若椭圆 的离心率为 ,短轴长为4，则椭圆的方程
为___________.
解析：由题意得 解得 所以椭圆的方程为
.
1.若点 在椭圆上， 为椭圆的一个焦点，则
（1） ;
（2） .
2.焦点三角形
椭圆上的点 与两焦点构成的 叫做焦点三角形，
， 的面积为 .
（1）当 为短轴端点时， 最大；
（2） ，当 时，即
点 为短轴端点时， 取最大值，最大值为 ；
（3）焦点三角形的周长为 .
3.焦点弦（过焦点的弦）
焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长 .
4.设 ， ， 是椭圆上不同的三点，其中 ， 关于原点对称，直线
， 斜率存在且不为0，则直线 与 的斜率之积为定值 .
【用一用】
1.已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 ， ，过
的直线交椭圆 于 ， 两点.若 是等边三角形，则 ____.
解析：因为 是等边三角形，所以 ，故A， 关于 轴
对称，所以 轴，故 ，又因为 ，所以
，又 ，故 ，所以
, .
2.已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，点
是椭圆 上异于 ， 的点，直线 和 的斜率分别为 ， ，
则满足 的一个椭圆 的方程是_ _________________________.
（答案不唯一）
解析：由题意可知 ， 关于原点对称，点 是椭圆 上异
于 ， 的点，所以 ，所以 ，所以椭圆
的方程可以为 （只需满足 即可）.
