2025年高考数学一轮复习-7.6-空间距离与空间角-专项训练
1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,AB=3,BC=5.
(1)求直线A1B与直线AC1所成角的余弦值;
(2)若在线段BC1上存在一点D,且=t,t∈[0,1],当AD⊥A1B时,求t的值.
2.如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值;
(3)求点D到直线BF的距离.
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,AA1=AB=3,D,E分别为棱BC,B1C1上的点,且=t(0(1)若t=,求证:AD∥平面A1EB;
(2)若二面角C1-AD-C的大小为,求实数t的值.
4.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=1,∠BCD=60°,现将平面DAC沿AC折起至平面PAC,使得PB=.
(1)证明:AB⊥PC;
(2)求二面角A-PC-B的余弦值.
5.如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是菱形,AB=1,SC=,三棱锥S-BCD是正三棱锥,E,F分别为线段SA,SC的中点.
(1)求证:BD⊥平面SAC;
(2)求二面角E-BF-D的余弦值;
(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行,求出直线SA与平面BDF的距离;如果不平行,请说明理由.
6.如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,△PAC为正三角形,E,F分别是PC,PB上的动点.
(1)求证:BC⊥AE;
(2)若E,F分别是线段PC,PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线l上的动点,求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.
参考答案与解析
1. 解 (1)在△ABC中,因为AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB.
又AA1⊥平面ABC,所以AA1,AC,AB两两垂直.
以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),A(0,0,0),所以=(4,0,4),=(0,-3,4).设直线A1B与直线AC1所成角为θ(0°≤θ≤90°),
则cos θ=,
即直线A1B与直线AC1所成角的余弦值为.
(2)依题意=t,t∈[0,1].
因为=(4,-3,4),=(0,3,-4),=(0,3,0),
所以+t=(4t,3-3t,4t).
因为,则=4t×0+3×(3-3t)-4×4t=0,解得t=.
2.(1)证明 ∵AE∥CF,AE 平面BFC,CF 平面BFC,∴AE∥平面BCF.∵AD∥BC,AD 平面BCF,BC 平面BCF,∴AD∥平面BFC.又AD,AE 平面ADE,AD∩AE=A,∴平面ADE∥平面BFC.∵BF 平面BFC,∴BF∥平面ADE.
(2)解 以A为原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),
则=(-2,0,2),=(2,-1,1),
∴cos<>==-,
∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为.
(3)解 由(2)可知=(0,2,1),=(2,-1,1),
cos<>=,∴sin<>=,∴点D到直线BF的距离为||sin<>=.
3.(1)证明 当t=时,D,E分别为棱BC,B1C1的中点,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接DE(图略),则DE∥AA1,DE=AA1,所以四边形DEA1A是平行四边形,所以AD∥A1E.又因为AD 平面A1EB,A1E 平面A1EB,所以AD∥平面A1EB.
(2)解 (方法一)如图所示,
在平面ABC内,过点C作AD的垂线,垂足为H,连接C1H,
则∠C1HC为二面角C1-AD-C的平面角,即∠C1HC=.
在Rt△C1HC中,C1C=3,所以CH=.
在Rt△CHA中,CH=,AC=3,
所以sin∠CAH=.
又因为∠CAH为锐角,所以cos∠CAH=,且0<∠CAH<,所以点H在线段AD的延长线上.在△CDA中,sin∠CDH=sin,CD==6-3,所以t==2-.
(方法二)由题可知AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,
以为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),C1(0,3,3),
所以=(3,0,0),=(0,3,3),=(-3,3,0),=t=(-3t,3t,0),所以=(3-3t,3t,0).
设平面AC1D的一个法向量为n1=(x,y,z),
则
令y=t-1,则x=t,z=1-t,故n1=(t,t-1,1-t).
由题得平面ADC的一个法向量为n2=(0,0,1).
因为二面角C1-AD-C的大小为,所以=cos,即,得t2-4t+2=0.
又因为04. (1)证明 在等腰梯形ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.因为在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=1,∠BCD=60°,
所以BE=CF=CD=,EF=AD=1,AE=DF=,
所以AC=BD=,BC=2,
所以BD2+CD2=BC2,所以BD⊥CD,同理AB⊥AC.
又因为AP=AB=1,PB=,
所以AP2+AB2=PB2,所以AB⊥AP.
又AC∩AP=A,AC,AP 平面ACP,所以AB⊥平面ACP.
因为PC 平面ACP,所以AB⊥PC.
(2)解 取线段AC的中点为M,线段BC的中点为N,则MN∥AB.因为AB⊥平面ACP,所以MN⊥平面ACP.
因为AC,PM 平面ACP,所以MN⊥AC,MN⊥PM.
因为PA=PC,线段AC的中点为M,所以PM⊥AC,所以MN,MC,MP两两垂直.
以M为原点,以MN所在直线为x轴,以MC所在直线为y轴,以MP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A0,-,0,B1,-,0,C0,,0,P0,0,,=0,,-,=1,-,-.
由题得,平面APC的一个法向量为m=(1,0,0).
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),
则令y=1,则x=,z=,则n=(,1,),所以cos=.
因为二面角A-PC-B为锐角,所以二面角A-PC-B的余弦值为.
5.(1)证明 连接AC,交BD于点O,连接SO.因为四边形ABCD是菱形,所以O为AC,BD的中点,且BD⊥AC.因为三棱锥S-BCD是正三棱锥,SB=SD,O为BD的中点,所以BD⊥SO.
又SO∩AC=O,SO,AC 平面SAC,所以BD⊥平面SAC.
(2)解 作SH⊥平面BCD于点H,则H为正三角形BCD的中心,H在线段OC上,且OH=OC=,CH=OC=,SH==1.
如图,以O为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则A0,-,0,B,0,0,C0,,0,D-,0,0,S0,,1,E0,-,F0,,所以=-,-,=-,=(-1,0,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面EBF的法向量,
则
取x1=1,则y1=0,z1=1,故n1=(1,0,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面DBF的法向量,
则
取y2=,则x2=0,z2=-2,故n2=(0,,-2).
所以cos==-.又因为二面角E-BF-D是锐角,所以二面角E-BF-D的余弦值为.
(3)解 直线SA与平面BDF平行.理由如下:
连接OF,由(1)知O为线段AC的中点,且F为线段SC的中点,所以OF∥SA.又因为SA 平面BDF,OF 平面BDF,所以直线SA∥平面BDF.
(或者用向量法判断直线SA与平面BDF平行:
由(2)知n2=(0,,-2)是平面BDF的一个法向量,=0,-,-1.因为·n2=0×0++(-2)×(-1)=0,所以⊥n2.
又因为SA 平面BDF,所以直线SA∥平面BDF.)
设点A与平面BDF的距离为h,则h为直线SA与平面BDF的距离.因为=0,-,0,n2=(0,,-2)是平面DBF的一个法向量,
所以h=.
6.(1)证明 因为C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,所以BC⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面PAC.因为AE 平面PAC,所以BC⊥AE.
(2)解 由E,F分别是线段PC,PB的中点,连接AF,EF,所以BC∥EF.由(1)知BC⊥AE,所以EF⊥AE,
所以在Rt△AFE中,∠AFE就是异面直线AF与BC所成的角.因为异面直线AF与BC所成角的正切值为,
所以tan∠AFE=,即.
又EF 平面AEF,BC 平面AEF,所以BC∥平面AEF.
又BC 平面ABC,平面EFA∩平面ABC=l,所以BC∥l,
所以在平面ABC中,过点A作BC的平行线即为直线l.
以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系.
设AC=2,因为△PAC为正三角形,所以AE=,则EF=2.
由已知E,F分别是线段PC,PB的中点,所以BC=2EF=4.
则A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),E,0,,F,2,,所以=-,0,,=(0,2,0).
因为BC∥l,所以设Q(2,t,0),t∈R,平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),
则取z=,得x=1,y=0,所以m=(1,0,).又=(1,t,-),
则|cos<,m>|=.
设直线PQ与平面AEF所成角为θ,
则sin θ=,
所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为.
6(共66张PPT)
7.6 空间距离与空间角
课标要求 考情分析
1.了解利用空间向量求空间距离的方 法，会求空间距离. 2.会用向量法求异面直线所成角，直 线与平面所成角，平面与平面的夹角 等各种空间角. 3.体会向量方法在研究立体几何中的 作用. 考点考法：高考命题常以空间几
何体为载体考查空间距离与空间
角，难度中档，特别是空间角的
求解是考查热点.
核心素养：数学运算、逻辑推
理、直观想象
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.空间距离
名称 概念 求法
两点距 空间中两个点连线的线 段长 求向量的模
点线距 过空间一点作一条直线 的垂线段的长 设直线 的单位方向向量为 ,
, ,设 ,则点
到直线 的距离
_______________
名称 概念 求法
点面距 过平面外一点作平面的 一条垂线段的长 已知平面 的法向量为 ，
, ,则点 到平面
的距离为__________
续表
名称 概念 求法
线面距 当直线与平面平行时， 直线上任意一点到平面 的距离 转化为求点面距
面面距 当平面与平面平行时， 一个平面上的任意一点 到另一个平面的距离 续表
2.空间角的定义
（1）直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这
个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_____；一条
直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 ;直线与平面所成角的
范围：_________.
（2）二面角
从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.
射影
两个半平面
二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平
面内分别作__________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的
平面角.
（3）平面与平面的夹角
平面 与平面 相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于_____
的二面角称为平面 与平面 的夹角.
[提醒] 二面角与两个平面的夹角的区别与联系：二面角的范围为 ，
两个平面的夹角的范围为 .
垂直于棱
3.空间向量与空间角的关系
（1）异面直线所成角
设异面直线 ， 所成的角为 ，其方向向量分别为 ， ，
则 .
（2）直线与平面所成角
如图所示，设 为平面 的斜线, , 为 的方向向量, 为平面 的法向量， 为 与 所成的角，则 .
（3）平面与平面的夹角
设平面 ， 的法向量分别是 ， ，平面 与平面 的夹角为 ，则 .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )
×
（2）直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角的余角就是直线 与平面
所成的角.( )
×
（3）二面角的平面角为 ,则两个面的法向量的夹角也是 .( )
×
（4）直线 上两点到平面 的距离相等，则 平行于平面 .( )
×
2.已知向量 , 分别是直线 的方向向量和平面 的法向量,若
,则 与 所成的角为( )
A. B. C. D.
解析：选 B.由于 ,所以 ，所以直线 与 所成的角为 .
√
3.在空间直角坐标系中，已知点 ， ， （ ， ， ），
则点 到直线 的距离为____.
解析：依题意得 ， ，
则点 到直线 的距离
为 .
4.（人A选择性必修第一册 练习 变条件）已知在一个二面角的棱上
有两点 ， ，线段 ， 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直
于棱 ，若 ， ， ， ，则这个二面角的
大小为____.
解析：如图，设 ，则二
面角的大小为 .
因为 ， ，所以
.
因为 ,
所以 .
所以 ，
所以 ,所以 .
因此，所求二面角的大小为 .
核心考点 师生共研
02
考点一 空间距离（师生共研）
例1 如图，在正三棱柱 中，各棱长均为4， 是 的中点.
【解】 建立空间直角坐标系，如图所示，则 , ，
， ， ，因为 是 的中点，
所以 .
（1）求点 到直线 的距离；
【解】 ， ，
则 ， ，
.
设点 到直线 的距离为 ,
则 .
（2）求点 到平面 的距离；
【解】 设平面 的法向量为 ,
则由 , ,
得 即
令 ，则 , ,即 .
易知 ,设点 到平面 的距离为 ，
则
（3）求直线 到直线 的距离.
【解】 因为直线 与直线 为异面直线，
， ,
设直线 与直线 的公垂线的方向向量为 ,
则 即
解得
令 ,则 ,即 .
又 .
设直线 到直线 的距离为 ，
则 .
利用向量法求点到平面的距离的步骤
【对点训练】
1.(2023·天津市第二十中学模拟)已知直线 过点 ，且方向向量为
，则点 到 的距离为( )
A. B. C. D.
解析：选 B.因为直线 的一个方向向量为 ，取直线 的一个
单位方向向量为
.
又 为直线外一点，且直线 过点 ,
所以 ,
√
所以 ,
.
所以点 到直线 的距离为 .故选B.
2.在长方体 中， ， ，则点 到平
面 的距离为___.
解析：如图，以 为原点， 所在直线为 轴，
所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直
角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 即 取 ，得 ，
所以点 到平面 的距离 .
考点二 异面直线所成的角（自主练透）
1.将正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，则异面
直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
解析：选A.取 中点为 ，连接 ， ，所以
， .
又平面 平面 且交线为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 .
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选A.
2.(2023·海南华侨中学模拟)如图，在三棱锥 中，
平面 ， 是边长为2的正三角形，
， 是 的中点，则异面直线 与 所成角
的余弦值是( )
A. B. C. D.
√
解析：选D.方法一：设 为 的中点，连接 ， ，如图，因为 是
的中点，所以 ， ， ， ， .
在 中，由余弦定理的推论可知 .所以异面直
线 与 所成角的余弦值为 .故选D.
方法二：以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴建立空间直
角坐标系，如图所示，
易知 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选D.
3.(2023·山东青岛模拟)如图，在正三棱柱
中， ， ， 分别是
， 的中点.设 是线段 上的（包括两个端
点）动点，当直线 与 所成角的余弦值为 时，
线段 的长为_____.
解析：如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ， ，
，
设 ，
则 ， ，
设直线 与 所成角为 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
所以 .
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）两异面直线所成角的范围是 ，即两异面直线所成角的余弦值等
于两向量夹角的余弦值的绝对值.
考点三 直线与平面所成的角（师生共研）
例2 (2022·高考全国卷甲)在四棱锥 中， 底面 ,
, , , .
（1）证明： ；
【解】证明：如图所示，取 中点为 ，连接 ，
，则 .又 ，所以四边形
为平行四边形.又 ，所以四边形 为
菱形，所以 .同理可得，四边形 为菱形，
所以 ，所以 .
因为 底面 , 底面 ，所以 ,
又 ， ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
（2）求 与平面 所成的角的正弦值.
【解】 由（1）知 ，又 ，
所以 ，
所以 为正三角形.
过点 作垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ，
， .
则 ， ， .
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ，则 ， ，所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，则
，，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
利用空间向量求线面角的解题步骤
[注意]线面角的正弦值对应向量角的余弦值的绝对值.
【对点训练】
(2023·浙江杭州地区重点中学联考)如图，在三棱锥 中，
， , , .
（1）求证： ;
解：证明：如图，取 的中点为 ，连接 ， .
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求 .
解： 方法一：由（1）知 平面 ，因为
平面 ，所以平面 平面 ，所以 为直
线 与平面 所成的角.
因为 , ，所以 为正三角
形, .
因为 ,且 ,所以 为等腰直角三角形，
.
在 中， , , ，
由余弦定理 ,得 ,
解得 或 .
方法二：以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 的延长线为 轴，建
立空间直角坐标系，如图所示,
因为 ， ，
所以 为正三角形，
，则 .
因为 ,所以 .
设 , ,则 , .
易知平面 的一个法向量 ,由题意
,
解得 或 .
当 时， ,则 , ;
当 时， ,则 , .
故 或 .
考点四 平面与平面的夹角（二面角）（师生共研）
[高考考情] 平面与平面的夹角及二面角的大小，是高中数学的重点，同时也是高考的热点，其求法各式各样，在高考立体几何的计算中占据着主角地位.
例3 (2022·新高考卷Ⅱ)如图， 是三棱锥 的高， ，
， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
【解】 证明：如图，取 的中点 ，连接
， ， .
因为 ，所以 .
因为 为三棱锥 的高，所以 平
面 ，
因为 平面 ，所以 .
又 ， 平面 ，且 ，所以 平面 .因为
平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .又 ，
平面 ， ，
所以平面 平面 .
又 平面 ，所以 平面 .
（2）若 ， ， ，求二面角
的正弦值.
【解】 连接 ，因为 平面 ，
， 平面 ，所以 ，
，
所以
.
易得在 中， ，
所以 ，
.
又 ，
所以在 中， .
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，以过 且垂直于平
面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，
， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 .
所以 .
设二面角 的大小为 ，
则 .
所以二面角 的正弦值为 .
二面角的求解方法
（1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但是注意结合实际图形判断所求角的大小.
（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
【对点训练】
1.在四棱锥 中， 平面 ， 是矩形，且
， ， ，则平面 与平面 的夹角为( )
A. B. C. D.
√
解析：选A.因为 平面 ， 是矩形，所以
， ， 两两垂直，故以 为坐标原点， ，
， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角
坐标系，如图所示.又 ， ， ,所以
, , , .因为 平面 ，所以平
面 的一个法向量为 ,
而 ， ，设平面 的法向量为 ,
则 即 取 ,
则平面 的一个法向量 ,
,
所以 ,
所以平面 与平面 的夹角为 .故选A.
2.(2023·江苏南京第一学期六校联合调研)如图，在四棱锥 中，
平面 ， , ，且 , ,
.
（1）求证： ;
解：证明：易知四边形 是直角梯形，因为 , ,
所以 , ,
所以 是等腰直角三角形，且 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
又 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
（2）点 在线段 上，二面角 的余弦值为 ，求三棱锥
的体积.
解： 方法一：过点 作 于 ，以 点为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系,取平面 的一个法向量 .
设 ,
则 , ,
设平面 的法向量为 ,
由 , ，
得 可取 ,
所以 ，得 .
故 .
方法二：过点 作 于 ，则 ,
所以 平面 ，所以 .
过点 作 于 ，连接 ，则 ,
所以 是二面角 的平面角.
若 ,则 ,
,
设 ,则 , ,
因为 是等腰直角三角形，所以 ,解得 ,
所以 .
在三棱锥 中， .
