第二十二章：一元二次方程
22.1一元二次方程（1）
教学目的
1、 掌握一元二次方程的概念
2、 掌握一元二次方程的一般形式及其派生的概念。
3、 应用一元二次方程的概念解决一些简单的问题
教学重点和难点
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元二次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
教学过程
一、复习引入
1、要设计一座高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部设计为多高。
设雕像的下部应设计为，
则下部应为，根据题意得：
，整理得
2、如图，有一块矩形铁片，长，宽，在它的由个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长的，则盒底
的长为，宽为，根据题意
得：，
整理得：
3、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：应设邀请个队参赛，根据题意得：
整理得：
二、探索新知
学生活动：口答下列问题：
1、 上面三个方程整理后含有几个未知数？
2、 按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
3、 有等号吗？
教师小评：
1、都只含有一个未知数
2、它们的最高次数都是2次的
3、都有等号，是方程
一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
二次项： 二次项系数： 一次项： 一次项系数：
常数项：
让学生说出上面三个方程的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项。
例：将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二项系数，一次项系数，常数项。
分析：一元二次方程的一般形式，，因此方程
必须运用整式运算进行整理包括去括号，移项等。
解：略
练习：P32/1
1、一下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①、 ②、 ③、
④、
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、方程化为一般形式后二次项系数为 ，一次项系数为 ，
常数项为
3、关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是
例：求证：关于的方程，不论取何值，该方程都是一元二次方程。
分析：要证明不论取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明
即可。
练习
1、满足什么条件时，关于的方程是一元二次方程？
2、关于的方程可能是一元二次方程吗？为什么？
3、已知关于的方程
⑴、为何值时，它是一元二次方程；
⑵、为何值时，它是一元一次方程；
三、小结
1、一元二方程的概念
满足三点：①、是整式方程 ②、只含有一个未知数 ③、未知数的最高次数是2.
2、一元二次方程的一般形式：
二次项： 二次项系数： 一次项： 一次项系数：
常数项：
四、作业 P34/1、5、6、7
22.1一元二次方程（2）
教学目的
1、 了解一元二次方程根的概念
2、 会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题
教学重点和难点
重点：判定一个数是否是方程的根
难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确实是实际问题的根。
教学过程
一、复习练习
1、下列关于的方程中，一元二次方程的个数有（ ）个
①、 ②、 ③、
④、
2、方程化为一般形式后，二次项系数是 一次项系数是
常数项是
3、已知关于的一元二次方程，其二次项系数与常数项的符号相同，则的取值范围是
二、新课
1、学生活动，独立完成下列问题
问题：如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，
梯子的顶端距离地面的垂直距离为，那么梯子
的底端距墙多少米？
设梯子底端距离为，那么根据题意，
可得方程为 整理得：
列表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8
2、探索新知：
提问：①、问题1中一元二次方程的解是多少？
②、如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？
教师小结
从上可知是方程的解，但从方程来看，也是方程的解，即方程有两个根，但就不满足题意，因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确定是实际问题的解。
例：下面哪些数是方程的根呢？
-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4
分析:要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可。
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以和是方程伯两根。
例：你能用以前学过的知识求出下列方程的根吗？
⑴、 ⑵、 ⑶、
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可直接观察，结合平方根的意义。 解：略
练习：P33/1、2
1、 如果，那么的两个根分别是、
2、 已知方程的一个根是，则的值为
3、 已知是方程的一个根，则代数式
4、 如果是方程的一个根，求的值？
5、 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则
的值为（ ）
A、1 B、 C、1和 D、不等于1的任意实数
三、小结
1、掌握一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；
2、学会判断一个数是否是一元二次方程的根
3、会用一些方法求一元二次方程的根
四、作业 P34/3、4、9 练习 P34/8
当时，
当时，
当时，22.2降次——解一元二次方程(1)
教学目的
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。
教学重点和难点
重点：运用开平方法解形如： 的方程；领会降次——转化的数学思想。
难点：通过根据平方根的意义解形如，知识迁移到根据平方根的意义解形如： 的方程.
教学过程
一、复习引入
1、填空
⑴、若果，则 ⑵、若果，则
2、一桶某种油漆可刷的面积为，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为，则一个正方体的表面积为，根据一桶油漆可刷的面积，列方程：
即
5和-5都是方程的根，但棱长不能是负数，所以正方体的棱长为
思考：如何用直接开平方的方法解方程方及方程？
分析：方程可以直接开平方法求解 ①
②
即： ③
从方程①到方程③实质是把二次方程降次为一次方程
怎样把配为完全平方呢？
即：
练习：P36
归纳：如果方程能化成或的形式那么可得
或
例：市政府计划2年内将人均住房面积由现在的提高到，求每年人均住房面积增长率？
分析：设每年人均住房面积增长率为，一年后人均住房面积就应该是
；二年后人均住房面积就应该是
则 解：略
练习：P46/10
解一元二次方程，它们的共同点是什么？
共同点：把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程（降次转化思想）
三、小结
应用直接开平方法解形如 ，那么，转化为应用直接开平方法解形如，那么达到降次转化目的。
四、作业 P45/1、2
22.2降次——解一元二次方程(配方法1) (2)
教学目的
掌握用配方法解一元一次方程
教学重点和难点
重点：能用配方法解一元二次方程
难点：如何配完全平方
教学过程
一、复习引入
1、方程的解为
2、填空
二、探究新知
问题：要使一块矩形场地的长比宽多，并且面积为16，场地的长和宽应各是多少？
分析：设场地宽为，长，则
即：
思考：怎样解方程：？
即如何把化为有形式呢？
解：略
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法；
目的：把二次降为一次。
例：解下列方程
⑴、 ⑵、 ⑶、
分析：由学生根据前面的过程完成⑴，教师评⑵、⑶，方程的二次项系数不是1时，先将系数化为1，然后按上面的过程解。
解：略
注意：这类型方程没有实数根，因为一个数的平方是非负数，不可能是负数。
练习：P39/2、①②③
用配方法解一元二次方程的一般步骤：（先让学生回答）
1、 如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程两边除以，使
方程的二次项系数化为1；
2、 把常数项移到方程右边；
3、 根据完全平方公式中的是中的一半的
平方，在方程的两边各加上一次项系数的一半平方，可使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个常数的形式
4、 如果右边是非负实数，用直接开平方法求出方程的解
三、小结
1、用配方法解一元二次方程的关键是在方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把方程变形为 的形式。
2、一元二次方程的根有三种情况
①、有两个不相等的实数根；
②、有两个相等的实数根；
③、没有实数根。
四、作业 P45/3 2①、②
22.2降次——解一元二次方程(配方法2) (3)
教学目的
1、 了解配方法的概念
2、 熟练运用配方法解一元二次方程
教学重点和难点
重点：熟练掌握用配方法解一元二次方程
难点：把常数项移到右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方
教学过程
一、复习引入
1、解下列方程
⑴、 ⑵、 ⑶、
⑷、
2、解方程
⑴、 ⑵、
二、探索新知
通过配成完全平方形式来解决一元二次方程的方法，叫配方法。配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程。
例：解下列方程
⑴、 ⑵、 ⑶、
解：
移项得：
二次项系数化成1：
配方：
1、 ⑶（两种方法） 略
练习：P39/2④⑤⑥
1、 已知：，求的值？
2、 已知：，、为实数，则
3、 用配方法证明：无论为何实数，代数式的值恒大于零。
三、小结
掌握配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤。
四、作业 P45/3
22.2降次——解一元二次方程（公式法一）（4）
教学目的
1、掌握一元二次方程求根公式的推导过程；
2、了解公式法的概念
3、会熟练应用公式法解一元二次方程
教学重点和难点
重点：求根公式的推导和公式的应用
难点：一元二次方程求根公式的推导
教学过程
一、复习引入
用配方法解方程：
解：移项：
二次项系数化为1得：
配方
这道题先由学生完成，教师讲评，后由学生小结用配方法解一元二次方程的步骤：
1、移项
2、化二次项系数为1
3、方程两边都加上一次项系数一半
4、原方程变形为的形式
5、如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，一元二次方程就无解。
一元二次方程的一般形式为：
二、探索新知
由学生用配方法解方程 教师评讲
当时，
一元二次方程： 的求根公式
注意：
1、用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法；
2、公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能法，因为对任意一个一元二次方程只要有解，就一定能用求根公式解出来；
3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①、把方程化为一般形式，确定、、的值；
②、求出的值；
③、若，则把、、及的值代入求根公式，求出、；若，则方程没有实数根。
例：解下列方程
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化成一般形式，然后代入公式即可。
解：⑴、
⑵、⑶、⑷略
练习：P42/1①②③
例：某数学兴趣小组对关于的方程，提出了下列问题：
⑴、若使方程为一元二次方程，是否存在？若存在，求出的值并解决方程；
⑵、若使方程为一元一次方程，是否存在？若存在，求出的值并解决方程；
你能解决这个问题：
分析：
能：⑴、要使它为一元二次方程，必须满足：，同时还要满足
⑵、要使它为一元二次方程，必须满足①、
或②、 ③、
解：略
三、小结
1、掌握求根公式的概念及其推导过程；
2、公式法的概念
3、应用公式法解一元二次方程
4、初步了解一元二次方程根的情况；
四、作业 P45/4
练习：用公式法解关于的方程：
22.2降次——解一元二次方程（公式法二）（5）
教学目的
1、掌握一元二次方程的判别式与根的关系；
2、能利用来验证方程的根的情况
教学重点和难点
重点：与根的关系
难点：从具体题目来推出一元二次方程的的情况与根的情况。
教学过程
一、复习引入
1、（学生活动）用公式解下列方程：
⑴、 ⑵、 ⑶、
2、 根据以上学生做的情况，教师点评
⑴、方程有两个不相等的实数根
⑵、方程有两个相等的实数根
⑶、方程没有实数根
二、探索新知
根据求根公式及结合上面的结论来推导一元二次方程的根的情况与的关系。
⑴、当时，根据平方根的定义：
即有两个不相等的实数根
⑵、当时，根据平方根的定义：
⑶、当时，根据平方根的定义，负数没有平方根，所以没有实数根。
小结：一元二次方程：根判别式：
⑴、方程有两个不相等的实数根
⑵、方程有两个相等的实数根
⑶、方程没有实数根
例1：不解方程，判定方程根的情况
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
分析：不解方程，判定根的情况，只需判断的值符号即可。不过在求的值之前方程一定要化为一般形式。
解：略
练习：不解方程，判定下列方程根的情况
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
例2：若关于的一元二次方程没有实数解，
求：的解集。（用含的式子表示）
解：关于的一元二次方程没有实数解
即
所求不等式的解集为
练习：
1、 若方程有实根，则的取值范围是
2、 方程有实数根，则的最大整数值是
3、 方程有两个不相等实数根，则的取值范围是
4、 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
5、为何值时，关于的方程有实数根？
6、如果关于的方程没有实数根，判定关于的
方程的根的情况。
三、小结
⑴、方程有两个不相等的实数根
⑵、方程有两个相等的实数根
⑶、方程没有实数根
四、作业 P46/12
22.2降次——解一元二次方程（因式分解法）（6）
教学目的
掌握用因式分解法解一元二次方程
教学重点和难点
重点：用因式分解法解一元二次方程
难点：让学生通过对比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法解题简便。
教学过程
一、复习引入
1、若，则或
2、解下列方程
①、（用配方法） ②、（用公式法）
3、 思考：⑴、上面两个方程的左边可以分解因式吗？结果如何
⑵、还可以用简单的方法解吗？
二、探索新知
通过上面的思考可知，两个议程可以写成：
因为两个因式乘积等于0，至少其中一个为0，
即：或 或
、 、
因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解法叫做因式借分解法。
练习：用因式分解法解下列方程
⑴、 ⑵、 ⑶、
⑷、 ⑸、
例1：解下列方程
⑴、 ⑵、
解： 解：略
或
练习：P45/1⑤、⑥ 2
1、 已知： 求代数式：的值
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入
手，求出与的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误。
解：略
例：我们知道，那么＝0就可以转化为，请你用上面的方法解下列方程。
⑴、 ⑵、 ⑶、
分析：二次三项式的最大特点是项是由而成，常数项由而成，而一次项是由交叉相乘而成，根据分析，可以对上面三道题分解因式
练习：已知：，求的值？
三、小结
1、掌握用因式分解法解一元二次方程
（因式分解法即提公因式法和十字相乘法）
2、 解一元二次方程的方法：
1、 直接开平法
2、 配方法
3、 公式法：由配方法推导而得到
4、 因式分解法。
3、 解题思想：将二次方程化为一次方程，即降次。
四、作业 P46/5、7、8
练习课
教学目的
1、掌握一元二次方程的概念及有关定义
2、掌握一元二次方程根的判别式及运用
3、熟练巩固一元二次方程的解法。
教学重点和难点
重点：一元二次方程的解法
难点：一元二次方程的解法
教学过程
一、复习有关概念及公式
二、堂上练习
1、把方程化成一元二次方程的一般形式后，说出二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
2、已知方程的一个根是，则的值为
3、方程有两个相等的实数根，则
4、无论、取任何实数，多项式的值总是 (填正数、零、负数)
5、方程的根的判别式
6、方程的根的判别式的值是9，则＝
7、若是完全平方式，则的值是
8、用适当的方法解下列方程
①、（用直接开平方法） ②、（配方法）
③、 (公式法) ④、（因式分解法）
⑤、(因式分解法) ⑥、
9、解关于的方程
①、 ②、
10、解方程 （精确到）
11、取什么数时，的值和的值相等。
12、若 求的值？22.3实际问题与一元二方程（一）
教学目的
1、 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题；
2、 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题。
教学重点和难点
重点：用“倍数关系”建立数学模型
难点：用“倍数关系”建立数学模型
教学过程
一、复习引入
1、列方程解应用题
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的价格）
星期 一 二 三 四 五
甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元
乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计算手续费、税费等）则他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
分析：找等量关系：
星期二比星期一增加200元
星期三比星期二增加1300元
解：设这人持有的甲、乙股票各、张
则 解得
答：略
二、探索新知
例1：有一人患了流感，经过两轮传染共有121人患了流感，每轮传染中一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了个人
开始有一人患了流感，第一轮后共有个人患了流感
第二轮后共有个人患了流感
解得
由于不合题意，所以舍去，取
解：略
思考：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
练习：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率？
分析：设这种存款方式的年利率为，第一次存2000元取1000元剩下的本金和利息是；第二次存入的金额变为：
则：+
解得 （不合题意舍去）
答：略
三、小结
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型并利用恰当方法解答
四、作业 P53/2、4、6
22.3实际问题与一元二方程（二）
教学目的
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题
教学重点和难点
重点：如何全面地比较几个对象的变化状况
难点：某些量的变化状况不能衡量另外一些量的变化状况
教学过程
一、复习引入
1、某公司一月份的营业额为100万元，三月份的营业额为180万元，则这公司二、三月的营业额平均上升为 万元。
2、某公司一月份的营业额为100万元，二月份的营业额比一月份增加10%，则二月份的营业额为 万元，若三月份的营业额上升率与二月份相同，那么三月份的营业额是 万元。
二、探索新知
例：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为元，乙种药品成本的年平均下降额为＝1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大，但是年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）
设甲种药品成本的年平均下降率为，则一年后甲种药品成本为元，两年后，甲种药品成本为元，则
解得：≈0.225
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率为
又设乙种药品成本的年平均下降率为，则
解得
因而乙种药品成本的平均下降率为
从上可知，甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大，成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
练习：
1、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升较大？
例2:某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，朋销售量减少，针对这种水产品情况，请解答经下问题：
1、 当销售单价每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
2、 设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与的关系式。
3、 商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少元？
分析：
⑴、销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此销售量就减少
⑵、销售利润
⑶、月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过，在这个前提下，求月销售利润达到8000元，销售单价应是多少？
解：⑴、销售量＝
销售利润＝（元）
⑵、
⑶、由于水产品不超过
定价为元，则
解得：
当时，进货满足题意
当时，进货（舍去）
三、小结
建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题。
利润问题：在解决利润方面的问题，常用的关系式有
1、 利润＝售价-进价
2、 利润率＝
3、 售价＝进价（1+利润率）
4、 总利润＝每件利润
四、作业
22.3实际问题与一元二方程（三）
教学目的
利用一元二次方程解有关面积的应用问题
教学重点和难点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程解决实际问题
教学过程
一、复习引入
1、直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么？
2、正方形、矩形、菱形、平行四边形、圆等面积公式。（学生口述）
二、探索新知
探究
如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，
正中央是一个与整个封面长比例相同的矩形，如果要使
四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、
下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的
宽度。（精确到）
分析：封面宽的长宽之比为，中央矩形
的长宽之比也应是，由此判断上、下边衬与左右边衬的
宽度之比也是。
设上、下边衬的宽均为，左右边衬的宽均为，则中央矩形的长为，宽为，依题意得：
整理得：
解得： 所以
当时， 所以
所以上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题。
设中央的矩形长为，宽为，则
上、下边衬的宽应为
左、右边衬的宽应为
此题先教师分析，再由学生完成，教师小结
练习
1、 长方形的长比宽多，面积为，则它的周长为
2、 如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，
另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为，所围
的面积为，则此长方形鸡场的长宽分别为
若果墙的长只有呢？
例2：用长的一根铁丝围成长方形
⑴、如果长方形的面积为，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是呢？
⑵、能否围成面积是的长方形？为什么？
⑶、能围成的长方形的最大面积是多少？
先教师分析，学生完成，教师评讲。
解：⑴、设围成的长方形的长为，则宽为
依题意得：
解得 ＝1（不合题意舍去）
所以长为，宽为
当面积为时，
解得 （不合题意舍去）
即长为，宽为
⑵、略
⑶、设围成的长方形面积为，则有 即
要使方程有实数解，必须 即
所以最大的只能是9，即最大面积为
此时，，，这时所围成的图形是正方形。
方法二
即时，有最大值为9，则
即围成的图形是正方形
三、小结
根据图形的面积公式列一元二次方程解应用题
四、P53/3、8、10
22.3实际问题与一元二方程（四）
教学目的
根据速度、时间、路程三者的关系，列一元二次方程解应用题
教学重点和难点
通过路程、速度、时间之间的关系到列一元二次方程解应用题
教学过程
一、复习引入
路程、速度、时间三者之间的关系是怎样？（学生回答）
路程＝时间速度
二、探究新知
例1：某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：
，那么行驶需要多长时间？
分析：这是一个加速运动，根据已知的路程求时间，因此，只要把代入关于的一元二次方程即可。
解：当时，
解得 （不合题意，舍去）
答：略
例2：一辆汽车以的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行后停车。
1、 从刹车到停车用了多少时间？
2、 从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
3、 刹车后汽车滑行到时，约用了多少时间？（精确到）
分析
⑴、刚刹车时时速还是，以后逐渐减少，停车时速度为0，因为刹车后，
其速度减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解为匀速，因此，其平均速度为，那么根据路程＝速度时间，便可以求出所用的时间。
⑵、很明显，刚要刹车时速度为，停车时速度为0，车速减少值为20-0＝20，因此，车速减少值20，是在刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可。
⑶、设刹车后汽车滑行到时约用了，由于平均每秒减少车速，已从上题求出，所以便可以求出滑行到15米的车速，从而求出刹车到滑行到的平均速度，再根据路程＝速度时间，便可求出的值。
解：略
练习：
1、同上题，求刹车后汽车行驶时，约用了多少时间？（精确到）
2、刹车后汽车行驶到20时约用了多少时间？（精确到）
3、一个小球以的速度在平坦地面是开始滚动，并且均匀减速，滚动后，小球停下来。
⑴、小球滚动了多少时间？
⑵、平均每秒小球的运动速度减少多少？
⑶、小球滚动到时约用了多少时间？（精确到）
分析：
1、 平均速度＝，滚动时间＝
2、 （初速度－末速度）车速变化时间＝
3、 设滚动时间为，则车速为，平均速度为
三、小结
运用路程＝速度×时间列一元二次方程解决应用题。
四、作业 P53/9、11
22.3实际问题与一元二方程（四）
教学目的
1、 使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的应用题
2、 通过列方程解应用题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点和难点
重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题
难点：根据数与数字关系找等量关系。
教学过程
一、复习提问
1、列方程解应用题的步骤：
①、审题 ②、设未知数 ③、列方程 ④、解方程 ⑤、答
2、两个连续整数的表示方法是：、；、
两个连续奇数的表示方法是：、；、
两个连续偶数的表示方法是：、；、
二、例题
例1：两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2
设元方法
A、 设较小的奇数为，则另一奇数为
B、 设较小的奇数为，则另一奇数为
C、 设较小的奇数为，则另一奇数为
由三组同学做，教师评讲：
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1、 三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的值，影响最后的结
果吗？
2、 解题中的出现了负值，为什么不舍去？
（奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数）
3、 选出三种方法中最简单的一种
练习
1、 两个连续整数的积是210，求这两个数。
2、 三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3、 已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
例2：有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求
这个两位数。
分析：数与数字的关系是
两位数＝十位数×10+个位数字
三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字
解：略
注意：在求解之后，要进行实际题意的检验。
练习：有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个
位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数？（35）
三、小结
1、列一元二次方程解应用题步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案，提供有得条件，方程的解决必须进行实际题意的检验。
2、有关整数的表示方法
四、作业
一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数。
此部分由学生完成
