广东省清远市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

广东省清远市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的A，B，C三所中学抽取130名学生进行调查，已知A，B，C三所学校中分别400，560，340名学生，则从C学校中应抽取的人数为( )
A.34 B.40 C.56 D.68
2．要得到函数，的图象，只需将函数，的图象( )
A.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
3．下列说法中，正确的是( )
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.一个多面体至少有4个面
C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
4．将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为( )
A. B. C. D.
5．弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是( )
A. B. C. D.
6．已知正方形的边长为2，，，，则( )
A.0 B.8 C. D.
7．设z为复数，若，则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．已知正方体的棱长为4，M为棱的中点，N为侧面的中心，过点M的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”.则下列结论正确的是( )
A.E，F为对立事件 B.G，H为互斥不对立事件
C.E，G不互斥事件 D.G，R是互斥事件
10．甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68，71，72，72，82
乙66，70，72，78，79
则( )
A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B.甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D.甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，且，则下列结论正确的是( )
A. B.角B的最大值为
C. D.若，则
三、填空题
12．复数，则的虚部为______.
13．在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则______.
14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点E满足，已知，，，则P到平面的距离为______.
四、解答题
15．已知复数，求当实数m为何值时；
（1）z为实数；
（2）z为纯虚数；
（3）z为虚数.
16．某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；
（2）求a，b的值；
（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数.
17．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求B；
（2）若且的面积为，求边长c.
18．如图，在四棱锥中，M为边上的中点，N为边上的中点，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.
19．将连续正整数1，2，3，…，n（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则.现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意抽样比为，
所以从C学校中应抽取的人数为，
故选：A
2．答案：C
解析：将函数，的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，得，的图象.
故选：C.
3．答案：B
解析：正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.
故选：B.
4．答案：B
解析：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大，
则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，
可能制作的最大零件的表面积为.
故选：B.
5．答案：C
解析：函数（，），由图象可知，
最小正周期，则有.
故选：C
6．答案：D
解析：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
所以，
所以.
故选：D
7．答案：A
解析：设，，
由，得，所以，
由，解得，
则，
所以当时，.
故选：A.
8．答案：D
解析：取、的中点E、F，分别连接，，，，，，，
在正方形中，因为M、E分别为、的中点，
，，，
可得，
所以，，因为，
所以，
所以，即，
又因为E、N分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
又因为且平面，
所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为4，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
直角中，可得，
所以，
所以截面的面积为：
.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F对立事件，选项A正确；
点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；
点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A，由已知可得，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故A正确；
对于B，由已知可得，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故B项正确；
对于C，由已知可得，甲组数据的方差为，
乙组数据的方差为，故C项正确；
对于D，由前面可知甲乙两组数据混合后，方差为，故D项错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：由可知，整理可知，A正确；
，
当且仅当时取等号，又，B的最大值为，故B正确；
由特例，满足，可知C错误；
由可得，解得，又，
从而可得，，a为最大边，
，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：或-2.2
解析：复数，则，此复数的虚部为.
故答案为：
13．答案：5
解析：在中，已知，，，
由余弦定理得，得，
即，解得或，而，所以.
故答案为：5.
14．答案：或
解析：取靠近点P的三等分点F，连接，，取靠近点A的三等分点O，连接，
底面是矩形，，，
，，则，且，
又底面，底面，，，
而，平面，
所以平面，平面，
即为三棱锥的高，，
在中，，，
在中，，
中，，，
在中，，则，
，
在中，，
在中，
，
在中，，，，
由余弦定理，则
，
设P到平面的距离为d，
，所以.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）或；
（3）且
解析：（1）当且时，复数z为实数，解得，
所以时，复数z为实数；
（2）当且且时，复数z为纯虚数，
解得或，
所以或时，复数z为纯虚数；
（3）当且时，复数z为虚数，解得且，
所以且时，复数z为虚数.
16．答案：（1）70；
（2），；
（3）77.5.
解析：（1）根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为70；
（2）由频率分布直方图中的频率和为1可得，，
化简得：，
又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则，
化简得：，所以；
（3）第一组频率为0.05，第二组频率为0.25，
第三组频率为0.45，第四组频率为0.2，
所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为x，
则，解得：，
即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为77.5.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
由于，，有，
所以，又，则，所以.
（2）由（1），
而，
由正弦定理有，从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）
如图，连接，
因为M为边上的中点，N为边上的中点，
所以，又平面，又平面，
所以平面.
（2）在四边形中，，，，
则，，，
所以，则，
所以，都是等腰直角三角形，则，
又平面平面，，即，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，又平面，
所以平面，又平面，
所以.
（3）已知，直线与底面所成角的余弦值为，
由（2）知，，平面，
则为直线与底面所成的角，则，
所以在中，则，，
取的中点E，连接，过E作的垂线交于F，连接，
由，平面，平面平面，平面平面，
则平面，
又平面，所以，，
，平面，，
所以平面，又平面，所以，
则即为二面角的平面角，
因为，，
又，所以，又，
则在中，由勾股定理，
则，所以.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）当时，，即这个数中共有195个数字，
其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为.
（2）当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，
个四位数组成，；
综上所述：.
（3）当时，，
当时，，
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于k单调递增，
故当时，有最大值为，
又，所以当时的最大值为.