陕西省宝鸡市陇县第二高级中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷（含解析）

陇县第二高级中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．数列-2，4，，20，…的一个通项公式可以是( )
A. B. C. D.
2．直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3．已知函数在处的导数为3，则( )
A.3 B. C.6 D.
4．圆与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
5．已知是等差数列的前n项和,若,则( )
A.15 B.18 C.23 D.27
6．已知函数,则的极小值点为( )
A. B.1 C. D.
7．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在轴上,且椭圆C的离心率为,面积为,则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
8．在数列中,,,则的前2024项和为( )
A.589 B.590 C. D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10．在等比数列中，，则的公比可能为( )
A.-1 B.2 C.2 D.4
11．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的极值点为
B.的最小值为
C.有两个零点
D.直线是曲线的一条切线
12．已知抛物线,点P是抛物线C准线上的一点,过点P作抛物线C的切线,切点分别为A,B,直线,的斜率分别为,,则下列说法正确的是( )
A.直线恒过定点 B.
C. D.的面积最小值为16
三、填空题
13．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4,则该双曲线的渐近线方程为____________.
14．已知圆,则圆C在点处的切线方程为_____________.
15．在数列中,,且,则____________.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P是椭圆C上的一点,则的最大值为___________.
四、解答题
17．已知数列的前n项和.
（1）求的通项公式;
（2）试判断1262是不是这个数列的项 如果是,是第几项
18．已知圆与圆关于直线对称.
（1）求圆的方程;
（2）求直线被圆截得的弦的长.
19．已知函数.
（1）若在处的切线方程为,求实数a,b的值;
（2）若在上恒成立,求实数a的取值范围.
20．已知等比数列的前n项和为,且,,成等差数列,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,证明：数列的前n项和.
21．已知双曲线的渐近线方程为,且过点.
（1）求双曲线C的方程;
（2）若双曲线C的右焦点为F,点,过点F的直线l交双曲线C于A,B两点,且,求直线l的方程.
22．已知函数.
（1）若恰有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：A选项，当时，，故A错误；
B选项，当时，，当时，，当时，，当时，，故B正确；
C选项，当时，，故C错误；
D选项，当时，，故D错误.故选B.
2．答案：D
解析：因为直线l的斜率为,所以直线l的倾斜角为.故选D.
3．答案：B
解析：因为函数在处的导数为3，
所以，
所以.
故选：B.
4．答案：B
解析：由得圆心坐标为,半径,
由得圆心坐标为,半径,
,,,,即两圆相交.
故选：B.
5．答案：B
解析：因为是等差数列的前n项和,
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：,令,解得或,
令,解得或,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以的极小值点为1.
故选：B.
7．答案：C
解析：可设椭圆C的方程为,
由题意可得解得
所以椭圆C的方程为.
故选：C.
8．答案：C
解析：因为,
所以,,,而,
所以数列是以4为周期的周期数列,
所以的前2024项和.
故选：C.
9．答案：BC
解析：,故A错误;,故B正确;
,故C正确;,故D错误.故选BC.
10．答案：ABC
解析：设的公比为q，所以，解得或或.故选ABC.
11．答案：BD
解析：因为,所以,
令,得;令,得;
所以在上单调递减;在上单调递增;
所以在处取得唯一极小值,也是的最小值,
所以的极值点为,,故A错误,B正确;
因为,结合在上的单调性,可知是在上的唯一零点;
当时,恒成立,故恒成立,所以在上没有零点;
综上:只有一个零点,故C错误;
因为,,
所以在处的切线方程为,即,故D正确.
故选:BD.
12．答案：ACD
解析：设,,
因为,所以,,
所以在点A处的切线方程为,即.
同理可得,在点B处的切线方程为.
所以,
直线的方程为,直线恒过定点.故A正确;
由得,所以,,
所以,故B错误,C正确;
,点P到直线的距离,
所以的面积,所以.故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：因为双曲线的焦点到渐近线的距离为4,所以,
所以该双曲线的渐近线方程为.
14．答案：
解析：因为,所以圆C在点处的切线方程为,即.
15．答案：
解析：因为,所以,
所以是公差为1的等差数列,又,
所以,所以.
16．答案：25
解析：因为点P是椭圆C上的一点,所以,
所以,
当且仅当,即,时等号成立.
17．答案：（1）
（2）第15项
解析：（1）当时,;
当时,.
时,也符合.
综上,的通项公式是;
（2）令,
解得（舍）或.
所以1262是数列的项,是第15项.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则解得.
所以圆的方程为;
（2）因为点到直线的距离,
所以.
19．答案：（1）3
（2）
解析：（1）因为,所以,所以,解得.
所以在处的切线方程为,当时,,所以切点为,
所以,解得;
（2）,令,解得或,令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
又,,,,所以的最小值为,
所以,解得,即实数a的取值范围是.
20．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设等比数列的公比为q,
由,,成等差数列知,,
即,
所以,有,即或-1,
①当时,,不合题意;
②当时,,得,
所以等比数列的通项公式;
（2）证明：由（1）知,
所以,
所以数列的前项和,
由,可得.
21．答案：（1）
（2）或或
解析：（1）由题意知,解得,,
所以双曲线C的方程是;
（2）①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,不符合题意;
②当直线l的斜率为0时,符合题意,此时直线l的方程为;
③当直线l的斜率存在且不为零时,设直线l的方程为,,
记的中点为,又因为,所以.
由得,所以,
所以,.
所以,,
解得或,所以直线l的方程为或.
由上知直线l的方程为或或.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数a的取值范围是；
（2）证明：由（1）知，是方程的两个不同的根，所以，，
所以
，，
令，，，
令，在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减
所以，
所以.