四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高一下学期期末适应性考试数学试卷（含解析）

三台中学校2023-2024学年高一下学期期末适应性考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知i为虚数单位，则复数的虚部是( )
A.1 B.i C. D.
2．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是( )
A.若，且，则 B.若，，，则
C.若，且，则 D.若，，，则
3．若函数的图象（部分）如图所示，则和的取值是( )
A., B., C., D.,
4．若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D，测得，，在C,D两观测点处测得大运塔顶部A的仰角分别为,，则大运塔的高为( ).
A. B. C. D.
6．在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7．若,，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列结论中不正确的是( )
A.为偶函数
B.
C.当时，在上恰有2个零点
D.若在上单调递减，则
二、多项选择题
9．已知，则下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若则向量与的夹角为
C.存在，使得
D.是与共线的唯一的单位向量
10．记的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，则( )
A.当，，时，为直角三角形
B.当，，时，最大角与最小角之和为
C.当，，时，
D.当时，为锐角三角形
11．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是( )
A.异面直线与所成的角大小为
B.四面体的每个面都是直角三角形
C.二面角的大小为
D.正方体的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为
三、填空题
12．已知圆柱形容器底面直径与母线均为2，该容器可内置的最大球的体积为________.
13．已知，则________.
14．在等腰梯形ABCD中，，，点P为BC中点，点Q是边AB上一个动点，则的取值范围为________.
四、解答题
15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若的面积为，求c.
16．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，点P是弧的中点，Q是的中点，与交于点O.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
17．通常情况下，同一地区一天的温度y（单位：）随时间t（单位：h）变化的曲线接近于函数的图象.已知2024年7月上旬某地区连续几天最高温度都出现在，为；最低温度都出现在，为.
（1）求出该地区一天的温度与时间的函数解析式；
（2）7月4日该地区高中学校将举行期末考试，考试时间为每天上午7：40-12：00，下午14：30-17：00，晚上19：00-20：15.学校规定：如果温度大于或等于，教室就要开空调.请问每天考试期间教室内的空调要开多少时间？
18．如图所示，在四棱锥中，平面，，，P为棱上一点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点A到平面的距离.
19．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P.
（1）用向量的方法证明：；
（2）求的余弦值；
（3）连接，求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：复数，所以虚部为.
故选：C.
2．答案：C
解析：若，且，则l与m可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误；
若，，，则m与n可能平行，可能相交，可能异面，B选项错误；
两条平行直线，其中一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直，C选项正确；
若，，，则与可能平行可能相交，D选项错误.
故选：C
3．答案：C
解析：由函数图象可得：，解得，由于点在函数图象上
且为五点作图法的第一个点，可得,
解得,
当时，可得
故选：C.
4．答案：D
解析：因为，所以，
即，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，解得.
故选：D
5．答案：B
解析：由题意得，在直角中，，所以，
在直角，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理得，
即，因为，所以解得.
即大运塔的高为.
故选：B
6．答案：B
解析：
由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为，
由条件可得，，,，则，,则，所以为等腰直角三角形，
所以，即.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为,，
所以在上的投影向量为
，
故选：D
8．答案：C
解析：依题意得，
由已知得，所以，，
所以，，，，
对于A，，且的定义域关于原点对称，所以为偶函数，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，当时，，，由，得，得，，，
因为，所以或或，则在上恰有3个零点，故C不正确；
对于D，由，，得，，
所以，，所以，所以，故D正确.
故选：C.
9．答案：AC
解析：由向量,，
对于A中，由，可得，所以，所以A正确；
对于B中，若，可得，则，，，
可得，所以B错误；
对于C中，当与同向时，此时，，
即时，使得成立，所以C正确；
对于D中，由，则与共线的单位向量为，
即或，所以D错误.
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：对于A,由余弦定理可得,
由于，故为直角三角形，A正确，
对于B，三角形的三边长分别为，，，
，，，故,
则该三角形最大角与最小角之和为,B正确，
对于C，由正弦定理可得,由于，故，C正确，
对于D，由可得,
所以，由于,所以，进而,故，因此三角形为钝角三角形，D错误，
故选：ABC
11．答案：ABD
解析：连接，易知，又正方体中平面，
从而有，，平面，
从而得，异面直线与所成的角大小为，A正确；
正方体中平面，则，，
同理，，
四面体的四个面都是直角三角形，B正确；
由，,知二面角的平面角是，
为，即二面角为，C错误；
易知的中点是正方体外接球和内切球的球心，
又外接球半径为.内切球半径这，
内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为，D正确.
故选：ABD.
12．答案：/
解析：因为圆柱形容器底面直径与母线均为2，
所以该容器可内置的最大球与圆柱的侧面和上下底面都相切，且球的直径为2，所以球的半径，
所以该球的体积为，
故答案为：
13．答案：/
解析：由辅助角公式得，
其中，，
又，故，
即，
则，，
故，.
故答案为：
14．答案：
解析：如图，取的中点M，则，
故.
又因为为梯形的中位线，故,
过A、B作的垂线，垂足分别为、，
在中，，，故，同理，
根据数量积的几何意义可知,
当Q位于A点时，最大为，
此时取到最大值为，
当Q位于B点时，最小为，
此时取到最小值为，
故，
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
16．答案：（1）见解析；
（2）见解析
解析：（1）
连接，由点P是弧CE的中点，可得O为的中点，又Q是AC的中点，则，
又平面，平面，则平面；
（2）由点P是弧CE的中点，可得，又,，，平面，则平面，
又平面，则，又，平面，则平面，又平面，则.
17．答案：（1）；
（2）7.5小时
解析：（1）由题意可知，解得，
所以，
因为，得，
所以，得，所以，
因为当时，，所以，
所以，
所以，，得，，
因为，所以，
所以
（2）由，得，
所以，，
所以，，
解得，，
因为，所以，
因为考试时间为每天上午7：40-12：00，下午14：30-17：00，晚上19：00-20：15，
所以每天考试期间教室内的空调要开小时.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）连接交于点O，连接.
在底面中，因为，且，
由，可得，
因为，即，
所以在中，，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）设的中点为M，连接、，
因为，，所以为等边三角形，
所以，
又平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，
平面，平面，所以，
在中，，
所以，所以，
即二面角的大小为；
（3）因为，，所以，
所以，
在中，
，
，
所以，即，
所以，
设点A到平面的距离为d，则，
即，
即，
即点A到平面的距离为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）证明：因为N为的中点，M为的中点，
所以,
因为B，P，N三点共线，所以设，
所以，
所以，
因为A，P，M三点共线，所以，得，
所以，所以，
所以，所以；
（2）在中，，，，
由余弦定理得，
所以，整理得，
解得或（舍去），
所以，所以，
由（1）可知，
，
所以，
，
，
所以，
（3）因为，
，所以
.