陕西省汉中市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

陕西省汉中市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设集合,,则( )
A. B. C. D.
2．在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．已知向量,,若,则( )
A.-9 B.1 C.-1 D.9
4．函数的图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5．设函数则的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6．如图,在正三棱柱中,,,D为的中点,则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7．已知,则( )
A. B. C. D.
8．已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为( )
A.5 B.6 C.7 D.
二、多项选择题
9．从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试,得分（十分制）如图所示,则下列选项错误的是( )
A.这30名学生测试得分的中位数为6
B.这30名学生测试得分的众数与中位数相等
C.这30名学生测试得分的极差为8
D.这30名学生测试得分的平均数比中位数大
10．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.是的一个周期 B.的图象关于点对称
C.为奇函数 D.在区间上的最大值为3
11．若,则( )
A. B.
C.,,,,中,最大 D.
三、填空题
12．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则外接圆的面积为________.
13．椭圆的两个焦点分别为,,椭圆C上有一点P,则的周长为______________.
14．已知函数满足,若,则________.
四、解答题
15．已知是等比数列,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
16．已知函数.
(1)求的单调区间及极值点;
(2)若方程有三个不同的根,求整数m的值.
17．某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元.已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立.现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核.
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD,且底面ABCD是菱形,E是PA的中点.
（1）证明:平面BDE.
（2）若,四棱锥的体积为72,且,求平面BDF与平面PCD的夹角.
19．已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值.
参考答案
1．答案：C
解析：.
2．答案：A
解析：因为,所以其对应的点位于第一象限.
3．答案：D
解析：因为,所以,得.
4．答案：B
解析：因为,所以.
因为,所以所求切线方程为,
即.
故选：B.
5．答案：D
解析：当时,有2个零点;当时,有1个零点.故的零点个数为3.
6．答案：D
解析：如图,取中点为E,连接DE,.又因D为的中点,则,故与所成角就是DE与所成角.
由题为正三角形,则.又因几何体为正三棱柱,
则,
得,
,.
则在中,,,,得为直角三角形,
则与所成角的余弦值为：.
故选：D.
7．答案：D
解析：
.
8．答案：A
解析：如图所示：
设切点为Q，则，，
则，
设，则由两点间距离公式得到，
解得，因为，所以，
因为M的准线方程为，所以点P到M的准线的距离PE为.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：这30名学生测试得分的中位数为,故A错误;
这30名学生测试得分的众数为5,故B错误;
分数最高为10,最低为3,所以极差为7,故C错误;
这30名学生测试得分的平均数为:
,故D正确.
故选：ABC.
10．答案：BD
解析：对于A：函数的最小正周期为,故A错误;
对于B：因为,所以的图象关于点对称,故B正确;
对于C：不是奇函数,故C错误;
对于D：当时,,
所以当,即时,取得最大值3,故D正确.
故选：BD.
11．答案：BD
解析：对于A,令,得,A错误;
对于B,显然,,,,均为正数,,,,,均为负数,
取,得,
因此,B正确;
对于C,,,,
,,因此最大,C错误;
对于D,由,得,则,
因此,D正确.
故选：BD.
12．答案：/
解析：依题意,,得,
设外接圆的半径为,所以外接圆的面积为.
故答案为:
13．答案：14
解析：因为,,所以,
故的周长为.
故答案为：14.
14．答案：99
解析：由题可知,
,
所以.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则,,则,
所以是首项为,公比也为的等比数列,
所以,
则.
（2）,
则,
则,
所以
,
故.
16．答案：(1)的单调递增区间为,,单调递减区间为,极大值点为1,极小值点为3;
(2)-8.
解析：(1)因为,所以.
令,得或,令,得,
所以在,上单调递增,在上单调递减.
故的单调递增区间为,,单调递减区间为,极大值点为1,极小值点为3.
(2)由（1）知在,上单调递增,在上单调递减.
因为,,
当时,,当时,,
且方程有三个不同的根,所以
所以m的取值范围是.
因为,所以,故整数m的值为-8.
17．答案：（1）；
（2）分布列见解析，期望.
解析：（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
（2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
X的可能取0，1，2，3，显然，
，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）连接EAC,交BD于点O,连接OE,由ABCD是菱形,得O为AC的中点,
而E为AP的中点,则,平面BDE,平面BDE,
所以平面BDE.
（2）由底面ABCD,得,
则,即,于是菱形ABCD为正方形,
以点A为原点,直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,由,得,则,
,,,
设平面BDF的法向量为,,令,得,
设平面PCD的法向量为,则,令,得,
显然,所以平面BDF与平面PCD的夹角为.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）设双曲线C的一个焦点为，一条渐近线方程为，
焦点F到渐近线的距离为，
由实轴长是虚轴长的倍，得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线C的渐近线方程为，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，，，
当直线l的斜率存在时，不妨设直线，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨设l与的交点为P，则点P的横坐标，
同理得点Q的横坐标，则，
而原点O到直线l的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.