山东省淄博市普通高中2023-2024学年高一上学期学科素养检测数学试卷（含解析）

山东省淄博市普通高中2023-2024学年高一上学期学科素养检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．的平方根为( )
A. B. C.2 D.4
2．把整式分解因式,结果正确的是( )
A. B. C. D.
3．如图,点A,B在直线l的同侧,,且点A,B到直线l的距离分别为1,2,若在直线l上有点P,使为等腰三角形,则这样的点P有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4．已知二次函数,当时,若该函数的最大值为m,最小值为-5,则m等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．在平面直角坐标系xOy中,对于点,给出如下定义：当点满足时,称点N是点M的“等和点”.若点的“等和点”也是点A的“等和点”,且点A在直线上,则点A的坐标为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
6．如图,在以O为圆心,AB为直径的半圆上有一动点C,过点C作于点P,连接BC,过点P作于点D,且.小明对于动点C在半圆上的不同位置,画图,测量,得到了线段AP,CP,PD长度的几组值,如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10
AP/cm 0.37 0.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51
CP/cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65
PD/cm 1.40 1.96 2.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.39 0.89 0.48
则在AP,CP,PD的长度这三个量中,可以分别确定为自变量和这个自变量的函数的是( )
A.AP的长度,CP的长度 B.CP的长度,AP的长度
C.CP的长度,PD的长度 D.AP的长度,PD的长度
7．如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABOC的顶点A的坐标为,点B在x轴上,反比例函数的图像分别交边AC,AB于点E,F（E,F不与A重合）,沿着EF将矩形ABOC折叠,使点A落到点D处,连接AD,BD.若是直角三角形,则k的值为( )
A. B.6 C.8 D.
8．新定义：如图,与直线a相离,过圆心I作直线a的垂线,垂足为H,交于P,Q两点（Q在P,H之间）,我们把点Q称为关于直线a的“近点”,把的值称为关于直线a的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点,点F是坐标平面内一点,以F为圆心,1为半径作.若与直线l相离,点是关于直线l的“近点”,且关于直线l的“秘钥数”是6,则直线l的表达式为( )
A. B. C. D.
三、填空题
9．如果a,b是两个不相等的实数,且满足,,那么代数式______________.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知以原点为圆心，2为半径的，如图.现有直线交x轴于点C，在该坐标系中作，使，，线段AB关于直线l对称的对应线段恰好为的弦.当b取得最大值时，相应的BC的长为__________.
11．在平面直角坐标系xOy中,函数的图象与x轴交于点A,与直线交于点B,C.现定义横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点,记线段AB,BC,AC围成的区域（不含边界）为P.若区域P内恰好有3个整点,则m的取值范围为_______________.
12．一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图,已知四边形ABCD为筝形,其对角线AC,BD相交于点O.若,,,则筝形ABCD的面积为__________________.
四、解答题
13．请用配方法解关于x的方程：.其中a,b,c为常数,且.
14．【归纳探索】定义：一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,那么这个数列叫做等差数列.等差数列中前n项的和记作.
(1)已知1,2,3,…,2022,2023是等差数列,其前2023项的和记作.请求的值;
(2)已知：,,,…,,是等差数列,,其前n项的和记作.求证：.
(3)【类比迁移】定义：一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列（注意：时为常数列）.等比数列中前n项的和记作.
已知：,,,…,,是等比数列,（且,）,其前n项的和记作.求证：.
(4)【学以致用】试求的值.
15．回答下列问题
(1)已知P为平分线上的一点,作射线PA,PB,分别交OM,ON于点A,B.
①如图①,当,时,求证：;
②如图②,若OA,OB,OP满足,令,,连接AB,请用含的式子分别表示的度数和的面积;
（2）如图③,在平面直角坐标系xOy中,C是函数图象上的一点.过点C的直线AB分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足,若P为平分线上的一点,且满足,请求出点P的坐标.
16．已知四边形ABCD,将线段AB绕点A旋转任意角度,得到线段AE,连接BE,DE.
(1)当四边形ABCD为正方形,点E在正方形ABCD的内部时,如图①.若AE平分,,则 度,四边形ABED的面积为________;
(2)当四边形ABCD为正方形,点E在正方形ABCD的外部时,且.
①在图②中依题意补全图形,并求的度数;
②作的平分线AF交ED于点G,交EB的延长线于点F,连接DF,请用等式表示线段BE,FA,FD之间的数量关系,并说明理由;
(3)当四边形ABCD为菱形,点E在菱形ABCD的外部时,如图③.菱形ABCD的面积为,,过点C作CM垂直EB的延长线于点M,延长MC交ED的延长线于点P,连接BP.试判断BP是否存在最大值,若存在,请求出BP的最大值;若不存在,请说明理由.
17．在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点和点,与y轴的正半轴交于点C.
(1)请求出该抛物线对应的函数表达式;
(2)如图①,点D为OB中点,点E为OC中点,点F在y轴的负半轴上,连接FD,将FD绕点D旋转180°得到PD,连接ED,EP.当时,求点P的坐标;
(3)如图②,在（2）的条件下,点G在线段OB上,点Q在线段OC的延长上,且.连接GQ和BC交于点M,连接PM并延长交抛物线于N,连接QN,GP.当时,求NQ的长.
18．在平面内,P,Q为线段AB外的两点,若以A,B,P,Q为顶点的四边形为矩形,则称P（或Q）为线段AB的“矩形关联点”.特别地,当该四边形为正方形时,称P（或Q）为线段AB的“正方形关联点”.
(1)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为,点B的坐标为,若有点,,,,则其中：
①不是线段AB的“矩形关联点”的是______;
②是线段AB的“正方形关联点”的是_______;
(2)如图①,在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为,,连接AB.若F是线段AB的“矩形关联点”,且点F在直线上,求点F的坐标;
(3)如图②,在平面直角坐标系xOy中,已知点,,连接AB.点M的坐标为,的半径为1,试判断上是否存在线段AB的“正方形关联点”,且使线段AB恰为正方形的对角线.若存在,请求出点M的横坐标a的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：,4的平方根为.
故选：A.
2．答案：D
解析：.
故选：D.
3．答案：B
解析：①以A为圆心,长为半径画圆与直线l交于两点,
如图所示,其中一点与A,B三点共线,故舍去,则保留点,
②再以B为圆心,长为半径画圆与直线l交于两点为,,
③作的垂直平分线交直线l于点,
则这样的点P有4个,
故选：B.
4．答案：C
解析：因为二次函数的对称轴为,开口向下,
所以或时取得函数的最小值,
由,可得或,
当时,时,,
当时显然不合题意,
当时显然不合题意,
当时,时,;
所以m等于3.
故选：C.
5．答案：C
解析：设点的等和点为,,
设,则A点的等和点为,
,则,解得,则.
故选：C.
6．答案：AD
解析：由图表观察,,,,
,,
可看出随着AP的变化,CP和PD都在发生变化,且都有唯一确定的值和其对应,所以AP的长度是自变量,CP和PD的长度都是这个自变量的函数.CP的长度,PD的长度没有函数关系,CP的长度,AP的长度没有函数关系.
故选：AD.
7．答案：AB
解析：当时,,则,当时,,则,
因为,四边形为矩形,则矩形长为4,宽为3,
则,,所以,
若,根据折叠知垂直平分,设且交于M点,
所以,
又因为,所以,
所以,所以,解得,
则,则,则,
所以,解得.
若,则点D落在线段上,
由情况1知,则,根据折叠知,
则在直角三角形中有,
即,解得,
显然,
综上或,
故选：AB.
8．答案：BD
解析：过圆心I作直线l的垂线,垂足为E,直线与的交点分别为D,N,其中点是关于直线l的“近点”,
I.若直线l与x轴垂直,则,此时,不合题意;
II.若直线l不与x轴垂直,设直线,则有：
（1）若,则,,,符合题意;
（2）若,设直线l与x轴的交点为,
因为,由,可得,结合（1）可知,,
分别过E,M作x轴垂线,垂足分别为B,A,
可知,,,
可得,则,即,解得,
可知直线l过,,
则,解得,所以直线;
综上所述：直线l的表达式为或.
故选：BD.
9．答案：
解析：因为,可知,
所以,
由题意可知：a,b为方程的两根,则,
所以.
故答案为：.
10．答案：
解析：因为直线交x轴于点，即，
若b取得最大值时，等价于取到最大值，
又因为A，关于直线l对称，则，
由题意可知：点在上，则，
当且仅当在线段内时，等号成立，
所以的最大值7，则b的最大值，此时直线，
由题意可知：，过作x轴的垂线，垂足为D，
可知为等边三角形，可得，，则，
所以.
故答案为：.
11．答案：
解析：当,,
当,,
下图实线部分表示的函数的图象,虚线表示的其中两条直线,
当时,直线的解析式为,恰好经过点F,G,此时有一个整点E在区域P内,
当直线恰好经过点时,区域P内恰有3个整点,
把代入,得,
所以,区域P内恰好有3个整点时,m的取值范围为：.
故答案为：.
12．答案：
解析：,,
,,
.
故答案为：.
13．答案：答案见解析
解析：,
,
又,
,
,
当时,
,
,,
当时,,
当时,原方程无解.
14．答案：(1)2047276
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)
解析：(1)
(2)
,,…,
左右两边分别相加,
得
(3),,,…,为等比数列.
,,…,
左右两边分别相乘,得
令①
①,
得②
①－②,整理得
(4)令①
①,得②
①－②,得,
15．答案：(1)①证明见解析;②;的面积为;
(2)或.
解析：(1)①证明： OP平分,,
,
,
又,
,
,
,
;
②OP平分,
,又,
,
,
在中,,
,
如图,过B作,垂足为C,
在中,,
;
(2)如图当B在y轴负半轴时,过C作轴,交x轴于点D,则,
由题可知,,
所以,
,,
C在上,设C的坐标为,
,,
,
,,
如图当B在y轴正半轴时,过C作轴,交x轴于点D,则,
,设C的坐标为,
则,,
,
,
,
综上,P的坐标为或.
16．答案：(1),
(2)①答案见解析,45°;②答案见解析
(3)存在,
解析：(1),,,,
,,
.
(2)补全图形如图所示:
①,,
,
正方形ABCD,
,,
.
,
,
②如图,过A作,连接FD,并延长交AK于点K.
,AF平分,
AF垂直平分ED,
,
,
,
在中,,
,
,
,
,
,,
,
,
又,
,
.
(3)BP存在最大值.
菱形ABCD,
,
,
为等边三角形,
,
,,,
,,
,
在中,,
,
如图,点P在以CD为弦,且其所对的圆心角为的上,
要使BP取到最大值,则BP过圆心O,并易得,垂足为点F,
连接DO,CO,BD,则,
在中,,,
,,
在中,
.
17．答案：(1);
(2);
(3).
解析：(1)将,分别代入,
,
解得,
函数表达式为;
(2),,D,E分别为OB,OC中点,
,,又,
,
,即,
,故;
(3) ,
如图,过点G作轴,交BC于点H,
设,
轴,
,,
,
,
,
,,
,
,又,
,
将点N代入,得,
或（舍）①
在中,,
.
18．答案：(1)①;②;
(2)F的坐标为或或或
(3)存在,a的取值范围是或
解析：(1)在直角坐标系中作出各点,
显然,且,
则是线段AB的“矩形关联点”,也是线段AB的“正方形关联点”,
由图易知,则不是线段AB的“矩形关联点”,更不是其“正方形关联点”,
,
所以,在以O为坐标原点,1为半径的圆上,则,
则,均是线段AB的“矩形关联点”,而,
则不是线段AB的“正方形关联点”,又因为,均为等腰直角三角形,
则为等腰直角三角形,则是线段AB的“正方形关联点”,
故答案为：①;②;.
(2)点F在直线上,设.
①如图,过A作,交直线l于点F,作轴于点C,
则, ,
,,,;
②如图,过B作,交直线l于点F,作轴于点D,则,
,,
,, ;
③由题意,得以AB为直径的圆与直线l相交,圆心为,半径为.
, ,
解得,,, 或,
综上所述,F的坐标为或或或.
(3)存在,设线段AB的垂直平分线为,当与在y轴左侧相切于一点,
如图,过点C作y轴的垂线,交y轴于点D,
则,
,,
,消m,得,
,,,
;
当与在y轴右侧相切于一点,
同理可得,
,
,消m,得,
,
, ,
a的取值范围是或.