2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.由，，组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，，，，若，则( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.记表示不超过的最大整数，，如，，已知数列的通项公式为，数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知甲、乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示给出下列四个结论，其中正确结论的个数为( )
在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；
在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；
在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快．
A. B. C. D.
6.已知函数，则的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.下列导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
8.某质点的位移单位：与时间单位：满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列选项正确的有( )
A. B. 数列是递增数列
C. 当时，取得最大值为 D. 的最小值为
10.已知各项均为正数的数列的前项之积为，且，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 无论取何值，均存在使得对任意成立
D. 无论取何值，数列中均存在与的数值相同的另一项
11.已知函数为常数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在处的切线方程为
B. 若有个零点，则的取值范围为
C. 当时，是的极大值点
D. 当时，有唯一零点，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列是等比数列，和是方程的两根，则 ______．
13.已知函数，若，则 ______．
14.已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列，中，，且当为正整数时，，．
计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
用数学归纳法证明中的猜测．
16.本小题分
设是公比大于的等比数列，为数列的前项和已知，且、、构成等差数列，令．
求数列、的通项公式；
令，求数列的前项和．
17.本小题分
若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列已知是一个对数凸数列，．
证明：；
若，证明：；
若，，求的最大值．
18.本小题分
设函数．
求图像上点处的切线方程；
若在时恒成立，求的取值范围；
若，，证明．
19.本小题分
如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”已知，设曲线在点处的切线为．
当时，求实数的值；
当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
参考答案
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15.解：令，则，
令，则，
令，则，
猜想数列的通项公式为为正整数；数列的通项公式为为正整数．
证明：当时，成立，
假定当时，成立，
当时，则，
即成立，
数列，的通项公式分别为：，为正整数．
16.解：设数列的公比为，由已知，，
则有，由，解得，所以；
由，得．
，
所以
．
17.证明：法一：由题意得：，，
，，，，，
将以上式子累乘得：，也即成立；
法二：由题意得：，
，成立；
法一：，，
，
则，
，
；
法二：考虑反证法，假设，
由得，
，，
同理：，
，，
同理可证：，，，，
综上可得：，与条件矛盾，
假设不成立，成立；
法三：，，也即，
同时，由可得：，
，也即，
，，，，
将以上式子累加得：，
也即，同理可得：
，
，
，
将以上式子累加得：，
，，成立；
解：由可得：，
，也即，
，，，，
将以上式子累加得：，
另外，，，，，
将以上式子累加得：，
结合式可得：，
，化简得：，
另外，显然有符合题意，此时，
综上，的最大值为．
18.解：由于，故，
所以，，
所以所求的切线经过，且斜率为，
故其方程为；
设，则，从而当时，当时，
所以在上递减，在上递增，这就说明，
即，且等号成立当且仅当，
设，
则．
当时，的取值范围是，
所以命题等价于对任意，都有．
一方面，若对任意，都有，则对，
有，
取，得，故．
再取，得，
所以．
另一方面，若，则对任意都有，满足条件．
综合以上两个方面，知的取值范围是．
证明：先证明一个结论：对，有．
证明：前面已经证明不等式，
故，
且 ，
所以，
即．
由，可知当时，，当时．
所以在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，下面分三种情况其中有重合部分证明本题结论．
情况一：当时，有，结论成立；
情况二：当时，有
对任意的，设，则
由于单调递增，且有，
且当时，由可知，
．
所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时
故在上递减，在上递增．
当时，有；
当时，由于，故我们可以取．
从而当时，由，
可得，
再根据在上递减，即知对都有；
综合可知对任意，都有，即．
根据和的任意性，取，，就得到
所以
情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，
可得，，
而根据的单调性，知或．
故一定有成立．
综上，结论成立．
19.解：由题设，函数定义域为，且，
由，则．
当时，，则，
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线．
，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
设曲线的另一条切线的斜率为，
当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
当时，，且，
趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或时，都有，
当时，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以，
因为，
由知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
又，即，
解得，
因为，，
所以，
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是
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