四川省广安市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析）

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广安市2023—2024学年度下期期末教学质量检测
高一数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名 座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
第I卷（选择题，共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数所表示的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.从小到大排列的数据的第三四分位数为（ ）
A. B.9 C. D.10
3.复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在梯形中，在上，且，设，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.一艘船向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东方向上，航行后到处，看到灯塔在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔的距离（即的长）为（ ）
A. B. C. D.
7.在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.已知下面给出的四个图都是正方体，为顶点，分别是所在棱的中点.则满足直线的图形的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70
B.讲座后问卷答题得分的众数为90
C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差
D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差
10.若平面向量满足.则（ ）
A. B.向量与的夹角为
C. D.在上的投影向量为
11.如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点.且平面，则（ ）
A.在侧面的轨迹长度为
B.异面直线与所成角的最大值为
C.三棱锥的体积为定值
D.直线与平面所成角的正切值的取值范围是
第II卷（非选择题，共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为__________.
13.已知的内角的对边分別为，且边上的高为.则__________.
14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体.如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括在内的各个顶点都在球的球面上.若为球上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球的体积为.则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知复数（其中.
（1）若为实数，求的值；
（2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值.
16.（15分）
已知向量.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）已知为平面内四点，且.若三点共线，求实数的值.
17.（15分）
一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：），将全部数据按区间分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？
18.（17分）
从①；②；③.这三个
条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题
记的内角的对边分别为，已知__________.
（1）求角的大小；
（2）若点在上，平分.求的长；
（3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
19.（17分）
我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点.
（1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；
（2）求二面角的大小；
（3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值.
数学试题参考答案及评分标准
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算及其几何意义，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象 数学运算等数学核心素养.
【答案】C
【解析】，故所表示的点位于第三象限.
2.【命题意图】本小题主要考查四分位数等基础知识，考查数学抽象等数学核心素养.
【答案】C
【解析】由于，该组数据的第三四分位数为9和10的平均数.
3.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算 共轭复数等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算等数学核心素养.
【答案】B
【解析】设，则，即，所以且，即，所以.
4.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算的几何意义等基础知识，考查数学抽象 直观想象 数学运算等数学核心素养.
【答案】D
【解析】依题意，.
5.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面等基础知识，考查化归与转化 数形结合等数学思想，考查推理论证 空间想象 运算求解等数学能力.
【答案】A
【解析】若，则，故A正确；若，则相交或平行或异面，故B错误；若，则或，故C错误；若，则或或或与相交，故D错误.
6.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用等基础知识，考查化归与转化 数形结合等数学思想，考查数学抽象 运算求解等数学核心素养.
【答案】B
【解析】在中，，依据正弦定理，，则.
7.【命题意图】本小题主要考查复数运算的几何意义，复数与向量的关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象 逻辑推理 数学运算等数学核心素养.本小题根据习题7.2第8题内容创编.
【答案】A
【解析】依题意，，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，故只需求和之间距离的取值范围即可，点到圆心的距离为，则，故的值不可能等于3.
8.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面位置关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象等数学能力.本小题根据第8.6节例2 习题8.6第11题等题创编.
【答案】D
【解析】对于图①和图②，分别取如图所示的棱中点，易证平面，则，故图①和图②均符合题意；对于图③，连接，易证平面，则，图③符合题意；对于图④，取如图所示的棱的中点，易证，于是平面，所以，故图④符合题意.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.【命题意图】本小题主要考查统计图的识别 统计量的意义等基础知识，考查了数学抽象 数据处理等数学核心素养.
【答案】ACD
【解析】由图可知，讲座前问卷答题的得分的中位数应该小于，A正确；讲座后问卷答题的得分的众数为95，B错误；讲座前问卷答题得分比讲座后波动大，故讲座前问卷答题的得分的方差大于讲座后得分的方差，C正确；由图可知，讲座前问卷答题的得分的极差大于讲座后得分的极差，D正确.
10.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算及其几何意义，平面向量的数量积等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象 数学运算 直观想象等素养.
【答案】AD
【解析】方法1：由于，则，得正确；，则，C错误；又，所以，则向量与的夹角为，B错误；在上的投影向量为正确.
方法2：根据向量加法的平行四边形法则，满足条件的向量构成如图所示的平行四边形，且，则，A正确；向量与的夹角为错误；，C错误；在上的投影向量为，D正确.
11.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和相关计算，考查推理论证 空间想象 运算求解等数学能力.
【答案】ABD
【解析】如图，取的中点，取的中点，取的中点，依题意，，易证，则，可知，四点共面，又平面平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面，于是，在侧面的轨迹即为线段，由，得，则A正确；
当在处时，此时直线，即异面直线与所成角的最大值为，B正确；由上可知，平面，则线段上的点到平面的距离为定值的面积也为定值，则（定值），C错误；
由于平面平面，故直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，取的中点，连接，则平面，故是直线
与平面所成的角，且，易求得，则，D正确.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计抽样问题，主要考查分层抽样方法相关知识；考查运算求解能力，抽象概括能力.本小题源于教材必修第二册“巩固复习”第5题.
【答案】30
【解析】该学校高二年级学生中，男生占比为，则所抽取的男生人数为.
13.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证 运算求解等数学能力.
【答案】3
【解析】依题意得，则，因为，所以的面积，即，根据余弦定理，得，则有，解得.
14.【命题意图】本小题主要考查几何体中的相关运算，体积公式等知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象 运算求解等数学能力.
【答案】
【解析】根据图形可知，该阿基米德多面体是由一个正方体切去八个角得到的，该多面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，设该多面体的棱长为1，可知球的半径为1，正方体的棱长为为如图正方体中与点等距的一个顶点，设三棱锥的高为，由，得，得，正方体对角线长为，球心到平面距离为，三棱锥的高的最大值为，故其体积的最大值，所以.
四 解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查复数的概念及代数运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象 数学运算等数学核心素养.
【解析】（1），
因为为实数，
所以，解得.
故为实数时，的值为.
（2）当时，，
则复数，
因为是方程的一个根，
所以，
化简得，
由解得
16.（15分）
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查平面向量线性运算 数量积 共线向量及其坐标运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象 数学运算等数学核心素养.
【解析】（1），
则，
因为与垂直，所以，
解得.
（2），
，
，
，
因为三点共线，所以.
所以，
解得.
17.（15分）
【命题意图】本小题设置生活实践情景，设计水果进货规划问题，考查平均数 百分位数等统计量的计算，样本估计总体，决策等相关知识；考查统计概率思想；运算求解能力和应用能力.本小题源于教材必修第二册P223复习参考题“综合运用”第9题编制.
【解析】（1）由直方图可得，
样本落在的频率分别为，由，
解得.
则样本落在频率分别为，
所以，该苹果日销售量的平均值为
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.
方法1：依题意，日销售量不超过90kg的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，设为，
则，
解得.
所以，每天应该进95kg苹果.
方法2：依题意，日销售量不超过90kg的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为.
所以，每天应该进95kg苹果.
18.（17分）
【命题意图】本小题主要考查正弦定和余弦定理等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证 运算求解等数学能力.
【解析】（1）若选条件①，
依题意，得，根据正弦定理得，
因为，所以，则，即，
即，所以.
又，则，
所以.
若选条件②.
由正弦定理得，
所以
，
即，
即，整理得，即.
因为，所以，
所以.
若选条件③
在中，因为，
所以，
即，
化简得.
又，则，故.
因为，所以.
（2）依题意，，
即，则，
在中，根据余弦定理，
有，
即，解得或（舍去），
所以.
（3）依题意，的面积，所以.
又为锐角三角形，且，
则，所以.
又，则，所以.
由正弦定理，得，
所以
，
所以，即，
所以的取值范围为.
19.（17分）
【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计空间直线 平面的位置关系问题，主要考查直线与平面的位置关系 直线与平面所成角 二面角等基础知识；考查直观想象 逻辑推理 数学运算等数学核心素养.本小题源于教材必修第二册P164习题8.6“拓展探索”第21题.
【解析】（1）平面平面.
理由如下：
因为平面平面，
所以，
因为，又.
所以平面，故.
在中，为的中点，所以.
因为平面平面，
所以平面.又平面，
所以平面平面.
（2）不妨设，计算可得，
又，
所以，
则，作于，连结，又，
可知，所以，
所以是二面角的平面角
在中，由，
得，则，
连结，知，在中，根据余弦定理，
得
，
所以.
（3）因为直线平面平面，平面平面，
所以直线直线.
又为线段的中点，所以为线段上的中点.
由（2）知，所以.
设与交点为，连结，
由（1）知，平面平面，平面平面，
所以平面.
所以直线与平面所成角为.
又由为上的中点，可得为的中点，
可知，，又，
所以.
直线与平面所成角的正弦值为.