2023-2024学年黑龙江省双鸭山市建新中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年黑龙江省双鸭山市建新中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.如图，体积为的大球内有个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点．为小球相交部分图中阴影部分的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值时，的面积为( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，则角的大小为( )
A. B. C. D. 或
8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，底面是边长为的等边三角形，的面积为有下列四个结论：
三个侧面均为等腰三角形；
点到平面的距离为；
球的表面积为；
与平面所成角的余弦值为．
其中正确的结论为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知不共面的三个向量，，都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是( )
A. 是空间的一组基底
B. 不是空间的一组基底
C. 向量的模是
D. 向量和的夹角为
10.已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且，则( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. D.
11.如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则( )
A. 的体积为
B. 的体积为
C. 的外接球的表面积为
D. 平面截该正四棱柱所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.设，是实数，若是虚数单位，则的值是______．
14.在平面直角坐标系中，满足的点构成一个圆，经过点且与之相切的直线方程是______；类似地，在空间直角坐标系中，满足的点构成的空间几何体是一个球，则经过点且与之相切的平面方程是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是．
求石凳的体积；
求石凳的表面积．
16.本小题分
已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
在中，已知，，在线段上，且，，设，．
用向量，表示；
若，求．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
Ⅰ求函数的周期及表达式；
Ⅱ若函数，求的最大值及单调递增区间．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．
求角的大小；
求的面积．
参考答案
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15.解：根据题意可知正方体的体积为，
又截去的每个四面体体积为，
所以石凳的体积为；
因为石凳的每个正方形面面积为，
又石凳的每个正三角形面面积为，
所以石凳的全面积为．
16.解：在中，角，，的对边分别为，，，且，
，即，，．
据求解知，，
，．
又，当且仅当是，取等号，，
面积的最大值为．
17.解：由题意得，．
，
所以．
18.解：Ⅰ根据函数的部分图象，
可得，
所以，，．
点代入函数得，，
，又，
，即函数为．
Ⅱ函数
，
故当，即，时，函数取得最大值．
令，求得，
可得函数的单调递增区间为．
19.解：，
，
由得：，
，
整理得：，
解得：，
，
；
由余弦定理得：，即，
，
．
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