2023-2024学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )
A. 圆面 B. 矩形面
C. 梯形面 D. 椭圆面或部分椭圆面
2.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是、，则两人都能成功破译的概率是( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则( )
A. B. C. D.
5.小波一星期的总开支单位：元分布如图所示，一星期的食品开支单位：元分布如图所示，则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为( )
A. B. C. D.
6.已知为平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值等于( )
A. B. C. D.
8.如图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图所示，图中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，，，，是其中四个圆的圆心，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量的概念运算叙述正确的是( )
A. 若与都是单位向量，则
B. 若用有限线段表示的向量与不相等，则点与不重合
C.
D. 若在上的投影向量是，则
10.已知为虚数单位，复数，则下列结论正确的是( )
A. 的共轭复数为 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第二象限
11.在棱长为的正方体中，为正方形的中心，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 直线与直线的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，，三点共线，则 ______．
13.从长度为、、、、的条线段中任取条，这三条线段能构成一个三角形的概率为______．
14.某半球形容器如图所示，底面圆的半径为往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图所示，则小球的表面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知与的夹角为．
求；
若与垂直，求实数的值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的面积．
17.本小题分
在三棱锥中，底面，．
证明：平面平面；
若，是的中点，求与平面所成角的正切值．
18.本小题分
为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样的方法随机抽取了名男生和名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图如图所示．
求的值，并估计该校男生每天在校平均体育活动时间的中位数保留一位小数；
若该校有人，试估计该校学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数．
19.本小题分
如图，某景区有景点，，，，经测量得，，，．
求景点，之间的距离；
现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台为获得最佳观景效果，要求观景台对景点，的视角为了节约修建成本，求栈道长度的最小值．
参考答案
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14.
15.解：因为与的夹角为，
所以，
所以；
因为与垂直，
所以，
即，解得．
16.解：由，根据正弦定理得，
因为在中，，可得，
所以，可得，结合，可得；
在中，，，
根据余弦定理，可得，
所以，可得，
因此，的面积．
17.解：证明：因为底面，平面，
所以，又因为，，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
由知平面平面，且平面平面，
过作，与交于点，则平面，
所以在平面上的射影为，
即为直线与平面所成角，
令，
所以，，
，
又因为是的中点，所以，
所以，
在直角三角形中，，
所以与平面所成角的正切值为．
18.解：根据题意可得，，
估计该校男生每天在校平均体育活动时间的中位数为：
；
样本中男生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数为；
样本中女生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数为，
样本中学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为，
若该校有人，试估计该校学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数为：．
19.解：因为，
因为，，
所以为正三角形，
所以．
设的外心为，连接交于点，
则，
所以，，
所以的最小值为，
所以．
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为，

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