12.3 角的平分线的性质 学案 （含答案）2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3 角的平分线的性质
第 1 课时 角平分线的性质
要点归纳
知识要点 1 角平分线的作法
方法(作∠AOB 的平分线) 图例
作已知角 的平分线 (1)作法:①以点O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点M, 交OB 于点N;②分别以点M,N为圆心,大 M 的长为半 径画弧,两弧在∠AOB 的内部相交于点C;③画射线 OC,射线 OC 即为所求. (2)上述作角平分线的理论依据是“________”.
知识要点 2 角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
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1.如图,已知OC 是∠AOB 的平分线,点 P 在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,PD=10,则 PE 的长为 .
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD 交 BC 于点D,CD=2,则点D 到AB 的距离是 .
3.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABc=7,DE=2,AB=4,则 AC 的长是 .
4.如图,在△ABC中,∠C = 90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,BD=DF.求证:CF=EB.
5.用直尺和圆规按下列要求作图(不写作法，保留作图痕迹)：
(1)作∠ABC 的平分线BD;
(2)过点 O 作直线l 的垂线m(提示：即作一个平角的平分线).
第 2 课时 角平分线的判定
要点归纳
知识要点 1 角平分线的判定
内容 符号语言 图例及推导过程
角平分线的判定 角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上. 如果点 P 为∠AOB 内一 点,PD ⊥ OA 于 点 D, PE⊥ OB 于 点 E, 且 PD=PE,那么 点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中,OP=OP,=______,I ∴ Rt △PDO ≌ Rt △PEO ( HL). ∴∠AOC=∠BOC.
知识要点 2 三角形角平分线的性质
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三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离 .
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1.如图,DE⊥OA 于E,DF⊥OB 于F,DE=3,当DF= 时,OD 是∠AOB 的平分线.
2.如图,△ABC 的周长是12,BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于 D,且OD=3,则△ABC 的面积是 .
3.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=6,若点 D 到边 AB 的距离为 2.4,S△BCD=7.2,则∠ABD= °.
4.如图,已知 BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证:点 D 在∠BAC 的平分线上.
5.如图,已知点 D、E、F 分别是△ABC 的三边上的点,CE = BF,且△DCE 的面 积 与△DBF 的面积相等.求证:AD 平分∠BAC.
12.3 角的平分线的性质
第 1 课时 角平分线的性质
要点归纳
知识要点1:SSS
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1.10 2.2 3.3
4.证明:∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,CD ⊥ AC, ∴DE = DC.在 Rt△CDF 和Rt△EDB中,∵FD-DDE,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.
5.解:(1)、(2)如图所示.
要点归纳
知识要点 1：相等PD PE
知识要点 2：相等
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1.3 2.18 3.45
4.证明:∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴∠BED=∠CFD = 90°. 在 △BED 和 △CFD 中,
LVBE=LCDN,∴△HED≌△ODD
(AAS).∴DE=DF.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴点 D 在∠BAC 的平分线上.
5.证明:过 D 作 DM⊥AB 于 M,DN⊥AC 于N.∵△DCE的面积与△DBF 的面积相等, DN.∴AD 平分∠BAC.