解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题 同步练习（含答案） 2024—2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题 同步练习（含答案） 2024—2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 265.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-31 06:25:05 | ||
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文档简介
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解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题
类型一 倍长中线法
方法指导：如图，延长中线 AM到D,使 DM=AM,连接 BD,利用“ SAS”可 证 得 △ACM ≌△DBM,AC = BD,AC ∥BD,∠CAM=∠D.
1.(1)如图①,在△ABC中,AD 是中线,求证:AB+AC>2AD;
(2)如图②,在△ABC 中,D,E 是 BC 的三等分点,求证:AB+AC>AD+AE.
2.如图,在△ABC(AB≠AC)中,D、E 在 BC 上,且DE=EC,过 D 作 DF∥BA 交 AE 于点 F,DF=AC.求证:AE 平分∠BAC.
类型二 截长补短法
方法指导：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用全等三角形的判定和性质解决问题.
3.如图,在四边形ABDE 中,C 是BD 边的中点.若AC 平分∠BAE,∠ACE=90°,猜想线段AE、AB、DE 的长度满足的数量关系并证明.
4.如图,四边形 ABDC 中,AB=AC,∠BAC+∠BDC=180°,DA 平分∠BDC.若∠DAE= 且点 E 在 BD 上,写出 BE、DE、DC 三条线段之间的等量关系并证明.
解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题
1.证明:(1)如图①,延长AD 至 点 E, 使 DE =AD,即 AE=2AD,连接BE.在△CDA 和△BDE中,
∴△CDA≌△BDE(SAS).∴AC= EB.在△ABE中,AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD.
(2)由题知 E 为 CD 的中点,同理(1)知AC+AD>2AE①.又∵D 是BE 的中点,同理(1)知AB+AE>2AD②.①+②得AC+AD+AB+AE>2AE+2AD,即 AB +AC>AD+AE.
2.证明:如图,延长 FE 到 G,使EG=EF,连接CG.在△DEF 和△CEG中 ∴△DEF≌△CEG (SAS). ∴ DF = GC,∠DFE = ∠G.∵DF∥ AB,∴ ∠DFE =∠BAE.∵DF=AC,∴GC = AC.过点 C 作△ACG 的中线 CM,则 AM =GM.∵CM =CM,∴△ACM≌△GCM(SSS).∴∠G =∠CAE.∴∠BAE = ∠CAE, 即 AE 平 分∠BAC.
3.解:AE=AB+DE.证明如下：如图，在 AE上 取 一 点 F,使 得AF= AB,连 接 CF.∵ AC 平 分∠BAE,∴∠BAC=∠FAC.在△ACB和△ACF 中,
∴BC=FC,∠ACB=∠ACF.∵C 是 BD 边的中点,∴BC=CD.∴CF=CD.∵∠ACE=90°,∴ ∠ACB + ∠DCE = 90°,∠ACF +∠ECF=90°.∴∠ECF=∠ECD.△CEF ≌△CED .∴EF=ED.∵AE=AF+EF,∴AE=AB+DE.
4.解:DE =DC+BE.证明如下:如图,延长 DC 至 F,使CF = BE, 连 接 AF.∵∠BAC+∠BDC = 180°,∠BAC+∠BDC+∠ABD+∠DCA=360°,∴∠ABD+ ∠DCA = 180°. ∵ ∠ACF +∠DCA=180°,∴∠ABD=∠ACF.在△ABE和△ACF 中△ACF (SAS).∴ AE = AF,∠AEB = ∠BAC, ∴ ∠ADB + ∠DAE = 90°.∴∠AED=90°.∴∠AFC=∠AEB=90°.在Rt△AED 和 Rt △AFD 中, ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴DE=DF.∴DE=DF=DC+CF=DC+BE,即DE=DC+BE.
解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题
类型一 倍长中线法
方法指导：如图，延长中线 AM到D,使 DM=AM,连接 BD,利用“ SAS”可 证 得 △ACM ≌△DBM,AC = BD,AC ∥BD,∠CAM=∠D.
1.(1)如图①,在△ABC中,AD 是中线,求证:AB+AC>2AD;
(2)如图②,在△ABC 中,D,E 是 BC 的三等分点,求证:AB+AC>AD+AE.
2.如图,在△ABC(AB≠AC)中,D、E 在 BC 上,且DE=EC,过 D 作 DF∥BA 交 AE 于点 F,DF=AC.求证:AE 平分∠BAC.
类型二 截长补短法
方法指导：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用全等三角形的判定和性质解决问题.
3.如图,在四边形ABDE 中,C 是BD 边的中点.若AC 平分∠BAE,∠ACE=90°,猜想线段AE、AB、DE 的长度满足的数量关系并证明.
4.如图,四边形 ABDC 中,AB=AC,∠BAC+∠BDC=180°,DA 平分∠BDC.若∠DAE= 且点 E 在 BD 上,写出 BE、DE、DC 三条线段之间的等量关系并证明.
解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题
1.证明:(1)如图①,延长AD 至 点 E, 使 DE =AD,即 AE=2AD,连接BE.在△CDA 和△BDE中,
∴△CDA≌△BDE(SAS).∴AC= EB.在△ABE中,AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD.
(2)由题知 E 为 CD 的中点,同理(1)知AC+AD>2AE①.又∵D 是BE 的中点,同理(1)知AB+AE>2AD②.①+②得AC+AD+AB+AE>2AE+2AD,即 AB +AC>AD+AE.
2.证明:如图,延长 FE 到 G,使EG=EF,连接CG.在△DEF 和△CEG中 ∴△DEF≌△CEG (SAS). ∴ DF = GC,∠DFE = ∠G.∵DF∥ AB,∴ ∠DFE =∠BAE.∵DF=AC,∴GC = AC.过点 C 作△ACG 的中线 CM,则 AM =GM.∵CM =CM,∴△ACM≌△GCM(SSS).∴∠G =∠CAE.∴∠BAE = ∠CAE, 即 AE 平 分∠BAC.
3.解:AE=AB+DE.证明如下：如图，在 AE上 取 一 点 F,使 得AF= AB,连 接 CF.∵ AC 平 分∠BAE,∴∠BAC=∠FAC.在△ACB和△ACF 中,
∴BC=FC,∠ACB=∠ACF.∵C 是 BD 边的中点,∴BC=CD.∴CF=CD.∵∠ACE=90°,∴ ∠ACB + ∠DCE = 90°,∠ACF +∠ECF=90°.∴∠ECF=∠ECD.△CEF ≌△CED .∴EF=ED.∵AE=AF+EF,∴AE=AB+DE.
4.解:DE =DC+BE.证明如下:如图,延长 DC 至 F,使CF = BE, 连 接 AF.∵∠BAC+∠BDC = 180°,∠BAC+∠BDC+∠ABD+∠DCA=360°,∴∠ABD+ ∠DCA = 180°. ∵ ∠ACF +∠DCA=180°,∴∠ABD=∠ACF.在△ABE和△ACF 中△ACF (SAS).∴ AE = AF,∠AEB = ∠BAC, ∴ ∠ADB + ∠DAE = 90°.∴∠AED=90°.∴∠AFC=∠AEB=90°.在Rt△AED 和 Rt △AFD 中, ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴DE=DF.∴DE=DF=DC+CF=DC+BE,即DE=DC+BE.