13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习（含答案）2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第 1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
A层
知识点一 线段垂直平分线的性质
1.如图，直线 CD 是线段AB 的垂直平分线，P为直线CD 上的一点.已知线段 PA=5，则线段 PB 的长度为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图,DE 是△ABC 的边 BC的垂直平分线，分别交边AB，BC 于点 D，E，且AB=9,AC=6,则△ACD 的周长是 ( )
A.10.5 B.12 C.15 D.18
【变式题】如图,△ABC 中,D 在 BC 边上,E 在 AC 边上,且 DE垂直平分 AC.若△ABC 的周长为 21cm,△ABD的周长为13cm,则 AE 的长为 cm.
3.如图,已知CD 垂直平分AB.若 AC=4cm,AD=5cm,则四边形 ADBC 的周长是 cm.
4.如图,在△ABC 中,AC 的垂直平分线交AB于点D,CD 平分∠ACB.若∠A=50°,则∠B的度数为 .
5.如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，P 点在直线l 的右侧，连接AP 交直线l于点C，连接 BP,CB.求证:PA>PB
.
知识点二 线段垂直平分线的判定
6.如图,已知 D、E 为△ABC 中 BC 边上的两点,且AB=AC,AD=AE,BD=3,则CE 的长为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
7.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH,ED=FD,小明说不用测量就知道 DH 是EF 的垂直平分线，其中蕴含的道理是
8.如图,已知 AB=AC,DB=DC,E 是 AD 延长线上的一点，则 BE 与 CE 相等吗 请说明理由.
B层
9.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 ( )
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三边的垂直平分线的交点
10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为 D,EF垂直平分AC,交 AC 于点F,交 BC 于点E,BD=DE.若△ABC 的周长为26 cm,AF=5cm,则 DC 的长为 ( )
A.8cm B.7 cm C.10cm D.9cm
11.如图,线段 AB、BC 的垂直平分线l 、l 相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC= .
12.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E,连接CE.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA 的度数;
(2)求证：直线AD 是线段CE 的垂直平分线.
13.如图,AB=CD,线段 AC 的垂直平分线与线段 BD 的垂直平分线相交于点 E.求证：∠ABE=∠CDE.
C层
14.在△ABC中,边AB、AC 的垂直平分线分别交 BC于 D、E.
(1)如图①,若 BC=6,求△ADE 的周长;
(2)如图②,若△ADE 的周长为 12,BC 的长为8,求 DE 的长.
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第2 课时 线段的垂直平分线的有关作图
A层
知识点一 尺规作图(作线段的垂直平分线)
1.如图所示的尺规作图是作 ( )
A.线段的垂直平分线 B.一个半径为定值的圆
C.角的平分线 D.一个角等于已知角
2.如图，分别以线段 AB 的端点 A、B 为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N,连接 MN,MN 与 AB 交于点 O,则 AO= ,AM= .
3.某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB 的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等，请在图中确定休息点 M 的位置.
知识点二 对称轴及对称轴的确定
4.下列图形中，哪些是轴对称图形 是轴对称图形的，画出它的所有对称轴.
5.利用图形中的对称点，画出图形的对称轴.
B层
6.如图,在△ABC 中,AC=BC,AB=16,用尺规作图作出 CF,交 AB 于点G.若 CG=4,则△ACG 的面积为 ( )
A.64 B.32 C.16 D.8
7.如图,在△ABC 中,分别以点 A 和点C 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N，直线 MN 与AC、BC 分别相交于 E 和 D,连接 AD.若AE= 3 cm,△ABC 的周长为 13 cm,则△ABD 的周长是 ( )
A.7cm B.10cm C.16cm D.19cm
8.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B=∠D,画出四边形ABCD 的对称轴m;
(2)如图②,四边形 ABCD 中,AB =DC,∠A=∠D,画出 BC 边的垂直平分线n.
13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定1. B 2. C 【变式题】4 3.18 4.30°
5.证明：∵直线 l 是线段AB 的垂直平分线，∴CA=CB.∴AP=CA+CP=CB+CP>PB,即 PA>PB.
6. C
7.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
8.解:BE=CE.理由如下:连接BC.∵AB=AC,∴点 A在线段 BC 的垂直平分线上.同理，点D 也在线段 BC 的垂直平分线上.∵两点确定一条直线，∴AD 是线段 BC 的垂直平分线.∵E 是AD 延长线上的一点,∴BE=CE.
9. D 10. A
11.78° 解析:如图,连接OB.∵线段 AB、BC 的垂直平分线 l 、l 相 交 于 点 O,∴AO= OB = OC. 易 证△AOD≌ △BOD, △BOE ≌ △COE,
∴∠AOD= ∠BOD,∠BOE = ∠COE.
∵ ∠DOE + ∠1 = 180°, ∠1 = 39°,
∴∠DOE=141°,即∠BOD+∠BOE=141°.
∴ ∠AOD + ∠COE = 141°. ∴∠AOC=360°——(∠BOD +∠BOE)—(∠AOD +∠COE)=78°.
12.(1)解:∵∠BAC=50°,AD 平分∠BAC, ∴∠AED=90°.∴∠EDA=90°-25°=65°.
(2)证明:∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠ACB.又∵AD 平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC.∵AD=AD,∴△AED≌△ACD(AAS).∴AE=AC,ED=CD.∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
13.证明:如图,连接 AE,CE.∵线段 AC 的垂直平分线与BD 的垂直平分线相交于点E,∴AE=CE,BE=DE.在△ABE 和△CDE
中,
∴∠ABE=∠CDE.
14.解:(1)在△ABC 中,边 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E,∴DB=DA,EA=EC.又∵BC=6,∴△ADE 的周长=AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=6.(2)∵△ADE 的周长为 12,∴AE+DE+AD=12.由垂直平分线的性质可得AE=CE,AD=DB,∴CE+ED+DB=12,即CE+BE + 2DE = 12.∴BC+ 2DE = 12.∵BC=8,∴DE=2.
第2课时 线段的垂直平分线的有关作图
1. A 2. BO(或 AB) BM
3.解:如图,作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 M,则点 M 即为所求.
4.解:(2)(3)是轴对称图形,画图略.
5.解:如图,l ,l 即为所求.
6. C 7. A
8.解:(1)如图①,直线m 即为所求.
(2)如图②,直线n 即为所求.