13.3.1 等腰三角形 同步练习（含答案） 2024—2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.3.1 等腰三角形 同步练习（含答案） 2024—2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 551.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-31 06:40:42 | ||
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文档简介
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13.3.1 等腰三角形
第 1 课时 等腰三角形的性质
A层
知识点一 等边对等角
1.若等腰三角形底角为50°，则该三角形的顶角的度数是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.80°
2.如图,AB∥CD,点 E 在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D 的度数为 ( )
A.85° B.75° C.65° D.30°
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A、B重合)，则∠BCP 的度数可能是 .(写出一个即可)
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,则∠B=
5.如图,在△ABC 中,AB = AC,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点 E、F.求证:△BED≌△CFD.
知识点二 等腰三角形“三线合一”
6.如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD=5,则CD 等于 ( )
A.10 B.5 C.4 D.3
7.如图,AD,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线.若 AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE 的度数是 ( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,BE⊥AC 于点 E.求证:∠CBE =∠BAD.
B层
9.等腰三角形的一个角是 80°，则它的顶角是 ( )
A.50° B.80°
C.50°或80° D.20°或80°
【变式题】本质同：顶角、底角不明确，需分类讨论在等腰△ABC 中,∠A=2∠B,则∠C 的度数为 ( )
A.36° B.45°
C.36°或 45° D.45°或 72°
10.如图,在△ABC中,D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 上的点,且 BD=BF,CF=CE,∠A=62°,则∠DFE的度数为 ( )
A.58° B.59° C.62° D.76°
11.如图,P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点,过点 P 作 PQ∥BC,交 DE 于点 Q,则∠EPQ的度数为 .
12.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 .
13.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,AD= BD, AD = AC,∠BAC = 63°, 求∠DAC 的度数.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD 的度数;
(2)若点 E 在边 AB 上,F 在 AD 的延长线上,且AE=FE.求证:EF∥AC.
C层
15.问题:如图,在△ABD 中,BA=BD,在 BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使 EA =EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC 的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考：
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗 说明理由；
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去 掉, 再 将“∠BAE = 90°”改 为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
第 2 课时等腰三角形的判定
A层
知识点一 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,已知∠B=∠C,则 ( )
A. AB=BC B. AB=AC
C. BC=AC D.∠A=60°
2.在△ABC 中,∠A 和∠B 的度数如下,其中能判定△ABC 是等腰三角形的是 ( )
A.∠A=50°,∠B=70°
B.∠A=70°,∠B=40°
C.∠A=30°,∠B=90°
D.∠A=80°,∠B=60°
3.如图,关于 △ABC,给 出 下 列 四组 条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC 中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC 中,AD⊥BC,AD 平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,BD=CD.其中,能判定△ABC 是等腰三角形的条件共有 ( )
A.1 组
B.2组
C.3 组
D.4 组
4.如图,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点 D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.
知识点二 用尺规作等腰三角形
5.作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明).
已知:线段 a 和∠α(如图),求作△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.
知识点三 等腰三角形的性质与判定的综合运用
6.如图,AC 和 BD 相交于点O,且 AB∥DC,OA=OB,OC=3cm,则OD= cm.
7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC 于点 D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 .
8.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠B =90°,连接 AC,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:AD=DC;
(2)若∠D=120°,求∠ACB 的度数.
B层
9.如图,在等腰△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( )
C. a-b
D. b-a
10.如图,D为△ABC 内 一 点, AD ⊥CD, AD 平 分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果AB=10,AC=6,那么CD= .
11.(易错题)如图,在直角坐标系中,点 A(-2,2)、B(0,1),点 P 在 x 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 个.
12.如图,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC 于点E,∠D=20°.
(1)求∠B 的度数,并判断△ABC 的形状;
(2)若延长线段 DE 恰好过点B,求证:BD 是∠ABC 的平分线.
13.如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC,AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③BE=CD.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)
(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,M,N 分别是AB,AC 边上的点,并且 MN∥BC.
(1)△AMN 是否是等腰三角形 说明理由；
(2)点 P 是 MN 上的一点,并且 BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB.
①求证:△BPM 是等腰三角形;
②若△ABC 的周长为a,BC=b(a>2b),求△AMN 的周长(用含u,b的式子表示).
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第 1课时 等腰三角形的性质
1. D 2. B 3.45°(答案不唯一) 4.54°
5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED =∠CFD = 90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BED 和 △CFD 中, ∴△BED≌△CFD(AAS).
6. B 7. B
8.证明:∵AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,∴∠CAD=∠BAD,AD⊥BC.又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.
9. D 【变式题】D 10. B 11.36°12.36°或45° 解析:如图①,AD=BD,AC=DC,可求得∠B=∠C=36°;如图②,AD=BD=DC,可求得∠B=∠C=45°.
13.解:∵AD = BD,AD = AC,∴∠B =∠BAD,∠ADC = ∠C.又∵∠ADC =∠B+∠BAD=2∠B,∴∠C=2∠B.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,即 在△ACD 中,. 180°-2∠C=24°.
14.(1)解:∵AB = AC,AD⊥BC 于点 D,∴∠BAD= ∠CAD, ∠ADC = 90°.又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-
(2) 证 明: 由 (1) 知∠BAD = ∠CAD.∵AE = FE,∴∠BAD=∠F.∴∠F =∠CAD.∴EF∥AC.
15.解:(1)∠DAC 的度数不会改变.理由如下:∵EA=EC,∴∠CAE=∠C.∴∠AED =2∠C.∵ ∠BAE = 90°, ∴ ∠B = 90°-∠AED = 90°- 2 ∠C. ∵ BA = BD, ∠BDA-∠C=45°.
(2)设∠B =m°,则
第 2 课时 等腰三角形的判定
1. B 2. B 3. D
4.证 明: 如图, ∵ DE ∥ AC,∴∠1= ∠3. ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵ AD ⊥ BD,∴∠2+∠B= 90°, ∠3+ ∠BDE = 90°. ∴∠B=∠BDE.∴BE=DE.∴△BDE是等腰三角形.
5.解:△ABC 如图所示.
6.3 7.20
8.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.∵∠DAC =∠BAC,∴∠DAC =∠DCA.∴AD=DC.
(2)解:∵AB∥CD,∴∠B+∠DCB=180°.∵∠B=90°,∴∠DCB=90°.∵AD=DC,∠D = 120°,∴∠ACD = 30°.∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=60°.
9. C 10.2 11.4
12.(1)解:∵DE⊥AC 于点 E,∠D =20°,∴∠CAD= 70°.∵AD ∥BC, ∴∠C =∠CAD=70°.∵∠BAC=70°,∴∠B=40°,∠BAC=∠C.∴AB=BC.∴△ABC是等腰三角形.
(2)证明:∵延长线段 DE 恰好过点 B,DE⊥AC,∴BD⊥AC.∵△ABC是等腰三角形且AB=BC,∴BD是∠ABC的平分线.
13.解:(1)由①③和②③都可以判定△ABC 是等腰三角形.
(2)如选择①③,证明如下:在△BOE 和△COD 中 △COD(AAS).∴BO= CO.∴∠OBC =∠OCB.∴∠1+∠OBC=∠2+∠OCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC 是等腰三角形.
14.(1)解:△AMN 是等腰三角形,理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵MN∥BC, ∴ ∠AMN = ∠ABC, ∠ANM =∠ACB.∴∠AMN = ∠ANM.∴ AM =AN.∴△AMN是等腰三角形.
(2)①证明:∵BP 平分∠ABC,∴∠PBM=∠PBC.∵MN∥ BC,∴∠MPB=∠PBC.∴∠PBM=∠MPB.∴MB=MP.∴△BPM是等腰三角形.
②解:由①知 MB=MP,同理可得 NC=NP.∴△AMN 的周长 = AM + MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC.∵△ABC的周长为a,BC=b,∴AB+AC=a-b.∴△AMN 的周长=a-b.
13.3.1 等腰三角形
第 1 课时 等腰三角形的性质
A层
知识点一 等边对等角
1.若等腰三角形底角为50°，则该三角形的顶角的度数是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.80°
2.如图,AB∥CD,点 E 在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D 的度数为 ( )
A.85° B.75° C.65° D.30°
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A、B重合)，则∠BCP 的度数可能是 .(写出一个即可)
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,则∠B=
5.如图,在△ABC 中,AB = AC,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点 E、F.求证:△BED≌△CFD.
知识点二 等腰三角形“三线合一”
6.如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD=5,则CD 等于 ( )
A.10 B.5 C.4 D.3
7.如图,AD,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线.若 AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE 的度数是 ( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,BE⊥AC 于点 E.求证:∠CBE =∠BAD.
B层
9.等腰三角形的一个角是 80°，则它的顶角是 ( )
A.50° B.80°
C.50°或80° D.20°或80°
【变式题】本质同：顶角、底角不明确，需分类讨论在等腰△ABC 中,∠A=2∠B,则∠C 的度数为 ( )
A.36° B.45°
C.36°或 45° D.45°或 72°
10.如图,在△ABC中,D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 上的点,且 BD=BF,CF=CE,∠A=62°,则∠DFE的度数为 ( )
A.58° B.59° C.62° D.76°
11.如图,P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点,过点 P 作 PQ∥BC,交 DE 于点 Q,则∠EPQ的度数为 .
12.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 .
13.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,AD= BD, AD = AC,∠BAC = 63°, 求∠DAC 的度数.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD 的度数;
(2)若点 E 在边 AB 上,F 在 AD 的延长线上,且AE=FE.求证:EF∥AC.
C层
15.问题:如图,在△ABD 中,BA=BD,在 BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使 EA =EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC 的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考：
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗 说明理由；
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去 掉, 再 将“∠BAE = 90°”改 为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
第 2 课时等腰三角形的判定
A层
知识点一 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,已知∠B=∠C,则 ( )
A. AB=BC B. AB=AC
C. BC=AC D.∠A=60°
2.在△ABC 中,∠A 和∠B 的度数如下,其中能判定△ABC 是等腰三角形的是 ( )
A.∠A=50°,∠B=70°
B.∠A=70°,∠B=40°
C.∠A=30°,∠B=90°
D.∠A=80°,∠B=60°
3.如图,关于 △ABC,给 出 下 列 四组 条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC 中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC 中,AD⊥BC,AD 平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,BD=CD.其中,能判定△ABC 是等腰三角形的条件共有 ( )
A.1 组
B.2组
C.3 组
D.4 组
4.如图,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点 D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.
知识点二 用尺规作等腰三角形
5.作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明).
已知:线段 a 和∠α(如图),求作△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.
知识点三 等腰三角形的性质与判定的综合运用
6.如图,AC 和 BD 相交于点O,且 AB∥DC,OA=OB,OC=3cm,则OD= cm.
7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC 于点 D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 .
8.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠B =90°,连接 AC,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:AD=DC;
(2)若∠D=120°,求∠ACB 的度数.
B层
9.如图,在等腰△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( )
C. a-b
D. b-a
10.如图,D为△ABC 内 一 点, AD ⊥CD, AD 平 分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果AB=10,AC=6,那么CD= .
11.(易错题)如图,在直角坐标系中,点 A(-2,2)、B(0,1),点 P 在 x 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 个.
12.如图,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC 于点E,∠D=20°.
(1)求∠B 的度数,并判断△ABC 的形状;
(2)若延长线段 DE 恰好过点B,求证:BD 是∠ABC 的平分线.
13.如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC,AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③BE=CD.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)
(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,M,N 分别是AB,AC 边上的点,并且 MN∥BC.
(1)△AMN 是否是等腰三角形 说明理由；
(2)点 P 是 MN 上的一点,并且 BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB.
①求证:△BPM 是等腰三角形;
②若△ABC 的周长为a,BC=b(a>2b),求△AMN 的周长(用含u,b的式子表示).
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第 1课时 等腰三角形的性质
1. D 2. B 3.45°(答案不唯一) 4.54°
5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED =∠CFD = 90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BED 和 △CFD 中, ∴△BED≌△CFD(AAS).
6. B 7. B
8.证明:∵AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,∴∠CAD=∠BAD,AD⊥BC.又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.
9. D 【变式题】D 10. B 11.36°12.36°或45° 解析:如图①,AD=BD,AC=DC,可求得∠B=∠C=36°;如图②,AD=BD=DC,可求得∠B=∠C=45°.
13.解:∵AD = BD,AD = AC,∴∠B =∠BAD,∠ADC = ∠C.又∵∠ADC =∠B+∠BAD=2∠B,∴∠C=2∠B.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,即 在△ACD 中,. 180°-2∠C=24°.
14.(1)解:∵AB = AC,AD⊥BC 于点 D,∴∠BAD= ∠CAD, ∠ADC = 90°.又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-
(2) 证 明: 由 (1) 知∠BAD = ∠CAD.∵AE = FE,∴∠BAD=∠F.∴∠F =∠CAD.∴EF∥AC.
15.解:(1)∠DAC 的度数不会改变.理由如下:∵EA=EC,∴∠CAE=∠C.∴∠AED =2∠C.∵ ∠BAE = 90°, ∴ ∠B = 90°-∠AED = 90°- 2 ∠C. ∵ BA = BD, ∠BDA-∠C=45°.
(2)设∠B =m°,则
第 2 课时 等腰三角形的判定
1. B 2. B 3. D
4.证 明: 如图, ∵ DE ∥ AC,∴∠1= ∠3. ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵ AD ⊥ BD,∴∠2+∠B= 90°, ∠3+ ∠BDE = 90°. ∴∠B=∠BDE.∴BE=DE.∴△BDE是等腰三角形.
5.解:△ABC 如图所示.
6.3 7.20
8.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.∵∠DAC =∠BAC,∴∠DAC =∠DCA.∴AD=DC.
(2)解:∵AB∥CD,∴∠B+∠DCB=180°.∵∠B=90°,∴∠DCB=90°.∵AD=DC,∠D = 120°,∴∠ACD = 30°.∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=60°.
9. C 10.2 11.4
12.(1)解:∵DE⊥AC 于点 E,∠D =20°,∴∠CAD= 70°.∵AD ∥BC, ∴∠C =∠CAD=70°.∵∠BAC=70°,∴∠B=40°,∠BAC=∠C.∴AB=BC.∴△ABC是等腰三角形.
(2)证明:∵延长线段 DE 恰好过点 B,DE⊥AC,∴BD⊥AC.∵△ABC是等腰三角形且AB=BC,∴BD是∠ABC的平分线.
13.解:(1)由①③和②③都可以判定△ABC 是等腰三角形.
(2)如选择①③,证明如下:在△BOE 和△COD 中 △COD(AAS).∴BO= CO.∴∠OBC =∠OCB.∴∠1+∠OBC=∠2+∠OCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC 是等腰三角形.
14.(1)解:△AMN 是等腰三角形,理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵MN∥BC, ∴ ∠AMN = ∠ABC, ∠ANM =∠ACB.∴∠AMN = ∠ANM.∴ AM =AN.∴△AMN是等腰三角形.
(2)①证明:∵BP 平分∠ABC,∴∠PBM=∠PBC.∵MN∥ BC,∴∠MPB=∠PBC.∴∠PBM=∠MPB.∴MB=MP.∴△BPM是等腰三角形.
②解:由①知 MB=MP,同理可得 NC=NP.∴△AMN 的周长 = AM + MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC.∵△ABC的周长为a,BC=b,∴AB+AC=a-b.∴△AMN 的周长=a-b.