15.3 分式方程
第 1 课时 分式方程及其解法
知识点一 分式方程的概念
1.下列是分式方程的是 ( )
2.下列关于x、y 的方程: 其中是分式方程的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点二 解分式方程
3.解分式方程 时,去分母变形正确的是 ( )
A.-1+x=-1-2(x-2)
B.1-x=1-2(x-2)
C.-1+x=1+2(2-x)
D.1-x=-1-2(x-2)
4.方程 的解为( )
A. x=-6 B. x=-2 C. x=2 D. x=6
5.已知x=2是分式方程 的解,那么实数 k 的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(1)若式子 的值为零,则y= ;
(2)当x= 时,式子 的值为--1.
7.解下列方程:
(1)
(2)
8.小明解方程 的过程如图所示,请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
解:方程两边同乘x 得1-(x-2)=1.
………………………………………①
去括号得1-x-2=1.…………②
合并同类项得-x-1=1.………③
移项得-x=2.………………………④
解得x=-2.………………………⑤
∴原方程的解为x=-2.………⑥
9.分式方程 的解为 .
10.若关于x 的方程 的解是正数,则m 的取值范围为
11.若关于x的方程 无解,则m的值为 .
【变式题】条件类似,结论不同(需考虑周全)
若关于 x 的方程 无解,则m的值为 .
12.解方程:
13.是否存在实数 x,使得式子 与式子 的值相等 若存在,请求出 x的值;若不存在,请说明理由.
14.解方程:
的解为x= ;
②的解为x= ;
的解为x= ;
的解为x= ;
……
(1)请根据发现的规律直接写出第⑤,⑥个方程及它们的解;
(2)请你用一个含正整数n 的式子表示上述规律,并求出它的解.
第2 课时 分式方程的应用
知识点 分式方程的应用
1.自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯,用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同,已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多 15 元.设甲种水杯的单价为x元,则列出方程正确的是( )
2.珊珊同学在学校阅览室借了一本书,共 240页,管理员要求在两周内归还,当她读了这本书的一半时,发现每天要多读5页才能正好在借期内读完,问:前一半她每天读多少页 若设前一半她每天读x 页,则下列方程正确的是( )
3.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x人,则可列方程为 .
4.目前,步行已成为人们最喜爱的健身方式之一,通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现:小琼步行 13500 步与小刚步行 9000步消耗的能量相同,若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步,则小刚每消耗1千卡能量需要行走 步.
5.某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍,用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2 小时,则这台机器每小时生产 个零件.
6.马小虎的家距离学校 1800米,一天马小虎从家去上学,出发 10分钟后,爸爸发现他的数学课本忘记拿了,立即带上课本去追他,在距离学校200米的地方追上了他,已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍,则马小虎的速度为 .
7为了进一步丰富校园文体活动,学校准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25 元,用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍,问每个篮球和足球的进价各多少元
小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书,小江清点完600本图书比小杰清点完 540 本图书少用了 5 min.已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍,求两名同学平均每分钟清点图书各多少本.
9.为响应“绿色出行”的号召,小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点 18km,他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km.他从家出发到上班地点,乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的 .小王乘公交车上班平均每小时行驶 ( )
A.30km B.36 km C.40km D.46 km
10.如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟,求该汽车行驶在高速公路上的平均速度.
11.如图是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
甲、乙两个工程队修路,甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等,乙队每天比甲队多修20米.求甲队每天修路的长度.
根据以上信息,解答下列问题.
(1)冰冰同学所列方程中的 x 表示 ,庆庆同学所列方程中的y 表示 ;
(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;
(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.
12.在我市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为3600m 的区域进行绿化,经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,如果两队各自独立完成面积为600 m 区域的绿化时,甲队比乙队少用 6 天.
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化;
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(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元,乙队每天绿化费用为0.5万元,社区要使这次绿化的总费用不超过 40 万元,则至少应安排乙工程队绿化多少天
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
1. B 2. B 3. D 4. D 5. B 6.(1)0 (2)2
7.解:(1)方程两边同乘(2x—3),得 x—5=4(2x--3),去括号得x-5=8x-12,移项、合并同类项得--7x=-7,解得x=1.检验:当x=1时,2x-3≠0.所以x=1 是原分式方程的解.
(2)方程两边都乘以(x+1)(x--1)得(x-1) -3=(x+1)(x-1),去括号得 移项、合并同类项得-2x=1,解得 检验:当 时,(x+1)(x-1)≠0.所以 是原分式方程的解.
8.解:小明的解法有三处错误,步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥缺少检验.正确解法为:方程两边同乘x,得1一(x-2)=x.去括号得1-x+2=x.移项得-x-x=-1-2.合并同类项得-2x=-3.解得 经检验, 是原分式方程的解.∴原分式方程的解为
9. x=3 10. m>-7且m≠-3
11.--5 解析:方程去分母得3x--2=2x+2+m,解得x=m+4.由分式方程无解,得x+1=0,即x=--1,∴m+4=--1.解得m=-5.
【变式题】-1 或 5 或 解析:去分母得x+4+m(x--4)=m+3,则(m+1)x=5m--1.当m+1=0时,一元一次方程无解,此时m=-1;当m+1≠0时,则当 ±4时,原分式方程无解,解得 m=5 或 综上所述,m=-1或5或
12.解:(1)去分母得2x+2-x+3=6x,解得x=1.经检验,x=1是分式方程的解.∴原方程的解为x=1.
(2)原方程可变 形为 去分母得x+1=3(2x-1)-2(2x+1).解得x=6.经检验,x=6是原分式方程的解.∴原方程的解是x=6.
13.解:由题意可得方程 解得x=-2.∵当x=--2时, 4=0,∴原方程无解.∴不存在实数 x 使两式子的值相等.
14.解:①0 ②1 ③2 ④3
(1)第⑤个方程为 解为x=4;第⑥个方程为 解为x=5.
(2)第n个方程为 去分母,得n=2n--(x+1).解得x=n--1.经检验,x=n--1是原方程的解.∴原方程的解为x=n-1.
第2 课时 分式方程的应用
1. A 2. D
4.30 5.15 6.80米/分钟
7.解:设每个足球的进价是x 元,则每个篮球的进价是(x+25)元,依题意得 解得x=75.经检验,x=75是原方程的解,且符合题意,∴x+25=75+25=100.
答:每个足球的进价是75元,每个篮球的进价是 100元.
8.解:设小杰平均每分钟清点图书x本,则小江平均每分钟清点图书1.25x 本,依题意得 解得x=12.经检验,x=12是原方程的解,且符合题意.∴1.25x =1.25×12=15.
答:小杰平均每分钟清点图书12本,小江平均每分钟清点图书15 本.
9. C
10.解:设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x 千米/时,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x 千米/时.由题意,得 解得x=60.经检验,x=60是所列方程的根,且符合题意.所以 1.8x =108(千米/时).
答:汽车行驶在高速公路上的平均速度是108 千米/时.
11.解:(1)甲队每天修路的长度 甲队修400米路所用的时间(或乙队修600米路所用的时间)
(2)冰冰用的等量关系是:甲队修400米路所用的时间=乙队修600米路所用的时间;庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度一甲队每天修路的长度=20米(选择一个即可).
(3)选冰冰的方程: 解得x=40.经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.
答:甲队每天修路的长度为40米.
选庆庆的方程: 解得 y=10.经检验,y=10是原分式方程的解,且符合题意 (米).
答:甲队每天修路的长度为40米.
12.解:(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm .根据题意得 解得x=50.经检验,x=50是原方程的解,则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m ).
答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m 、50m .
(2)设甲工程队绿化a 天,乙工程队绿化b天刚好完成绿化任务.由题意得 100a +50b=3600,则 根据题意得 1.2× 解得b≥32.
答:至少应安排乙工程队绿化 32 天