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【2024年全国各地中考数学真题分类汇编（第02期）】
专题04 分式与分式方程（34题）
一、单选题
1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
3．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
二、填空题
5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
6．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ．
7．（2024·重庆·中考真题）计算：＝ ．
8．（2024·重庆·中考真题）计算： ．
9．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．（2024·青海·中考真题）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程的解为 ．
12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程的解为 ．
13．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算： ．
15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式有意义的x的取值范围是 ．
16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
17．（2024·四川自贡·中考真题）计算： ．
18．（2024·江苏常州·中考真题）计算： ．
19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ．
三、解答题
20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中．
22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：，其中．
27．（2024·四川·中考真题）化简：．
28．（2024·四川雅安·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．
33．（2024·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：，其中．
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【2024年全国各地中考数学真题分类汇编（第02期）】
专题04 分式与分式方程（34题）
一、单选题
1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
2．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．
根据零指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】解：原式．
故选：C．
3．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可．
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得：
．
故选：A．
4．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选C
二、填空题
5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得，
故答案为：．
6．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
先去分母，再解一元一次方程，最后再检验．
【详解】解：，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：，
故答案为：．
7．（2024·重庆·中考真题）计算：＝ ．
【答案】3
【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．
8．（2024·重庆·中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式=2+1=3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于，列不等式求解即可．
【详解】解：分式有意义的条件是分母不能等于，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．
10．（2024·青海·中考真题）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可．
【详解】解：∵式子有意义
∴，解得：．
故答案为：．
11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】解： ，
去分母得：
移项合并同类项得：
经检验，是原方程的解
故答案为
12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解．
【详解】解：
解得：
经检验是原方程的解，
故答案为：．
13．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x≠1
【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1.
故答案为：x≠1．
16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≠1
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】∵分式在实数范围内有意义，
∴x 1≠0，
解得：x≠1
故答案为x≠1．
【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义．
17．（2024·四川自贡·中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式同分母的减法运算，分母不变，分子直接相减，即可作答．
【详解】解：．
故答案为：1．
18．（2024·江苏常州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ．
【答案】1
【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把ab=1代入进行计算即可．
【详解】解：
∵
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
三、解答题
20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，将除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；1
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【答案】该市谷时电价元/度
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得，
，
解得：，经检验是原方程的解，
答：该市谷时电价元/度．
24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】；
【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解．
【详解】解：
∵
∴当时，原式
25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．
【详解】解：原式
∵，
∴原式
26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
∵
∴
∴原式．
27．（2024·四川·中考真题）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解．
【详解】解：
．
28．（2024·四川雅安·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了负整数指数幂，实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）先计算开方、负整数指数幂和绝对值，然后根据有理数的加减法计算即可；
（2）先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式，
当时，原式．
29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
(2)需要更新设备费用为万元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．
【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米
(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天），
根据题意得：，
解得：，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∵与的比是，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是．
32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且且，
∴当时，原式．
33．（2024·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可；
（）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简；
本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
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