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【2024年全国各地中考数学真题分类汇编（第02期）】
专题10 反比例函数及其应用（26题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
4．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
5．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
6．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．
7．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
三、解答题
8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
9．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集
10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征．
11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
13．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上．
(1)求k与m的值；
(2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
14．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)点B的坐标为______；
(2)求所在直线的解析式．
15．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的的取值范围；
(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
16．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标．
17．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
18．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
19．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．
(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
20．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
21．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标．
22．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
23．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
24．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
25．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
26．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
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【2024年全国各地中考数学真题分类汇编（第02期）】
专题10 反比例函数及其应用（26题）
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
当时，一次函数经过第一、二、三象限，
当时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
2．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故选：C．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
二、填空题
4．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．
【详解】解：根据题意有：，
故答案为：（答案不唯一）
5．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
6．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．
【答案】2或3
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
设平移后点A、B的对应点分别为，
∴，
∵两点恰好都落在函数的图象上，
∴把代入得：，
解得：或．
故答案为：2或3．
7．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答．
【详解】解：如图：连接
∵反比例函数的图象与交于两点，且
∴
设，则
∵
∴
则
∵点在第一象限
∴
把代入得
∴
经检验：都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
三、解答题
8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
9．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键．
（1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可．
（2）根据函数图像即可求解．
【详解】（1）解：把的坐标代入，
得，
解得，
∴反比例函数的解析式为：
把的坐标代入，
得
∴的坐标
把，代入，
得
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方．
∴根据图象，关于的不等式的解集为：或．
10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征．
【答案】(1)
(2)，直线上y随x的增大而增大
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）先求出直线的函数解析式为，进而得出，结合图象可得直线的特征．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴，
把，代入 ：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设直线的函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
联立得：，
解得：（舍去），，
∴，
由图可知：直线上y随x的增大而增大．
11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴；
（3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：，
∵直线与函数图象交于，两点，
∴联立方程组得，，
即，
设、，
∴，
∵点P为的中点，
∴点P的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
把代入得，，
解得，
∴直线与x、y轴交于点、，
∴，，
∴，
∴，
过点O作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；
（2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
∴，
∴,
∴，
∴反比例函数为：；
∴，
解得：，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∴，，
如图，当时，最短；
∴；
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.
13．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上．
(1)求k与m的值；
(2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键．
（1）根据题意将点代入反比例函数即可求解；
（2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：两点在反比例函数的图象上．
∴，
∴，
将点代入得：，解得：；
（2）∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C，
∴，
∵，
设直线所在直线的解析式为，代入得：，
解得：，
∴．
14．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)点B的坐标为______；
(2)求所在直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键．
（1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标；
（2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可．
【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）得，代入，
得，
∴，
∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得，
∴直线的解析式为．
15．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的的取值范围；
(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．
（1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答；
（2）根据函数图像确定不等式的解集即可；
（3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得：
，
一次函数表达式为．
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象可知，当时，或．
（3）解：把时代入中，得，
点坐标为，即，
．
16．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到；再证明，推出，设，则，求出，可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F，
∵直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，
∴，
∴，
∴；
∵轴，点B在反比例函数的图象上，
∵，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴．
17．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积大于12，
∴，即，
当时，则,
解得：，
当时，则，
解得：；
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
18．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)8
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【详解】（1）点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
19．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．
(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可；
（2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
（2）解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，
∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
20．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数：
（1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可；
（2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可．
【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为，
设反比例函数表达式为，
将代入，得：，解得，
因此反比例函数表达式为；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点D，
由图可得，，
设点C的坐标为，则，，
，
矩形直尺对边平行，
，
，
，即，
解得或，
点C在第二象限，
，，
点C坐标为．
21．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．
（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；
（2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可．
【详解】（1）解：将代入得
将代入得
将和代入得
解得
故反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）如图，过作轴于，过作轴于，
即
设，则，
解得（舍去）或
经检验，是原分式方程的解，
．
22．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为
(2)或
(3)
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
（）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
（3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，，
∴
，
即的面积为．
23．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或
【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可；
（2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可；
（3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．
【详解】（1）解∶∵经过，
∴，解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设点C的坐标为，，
①以、为对角线，
则，
解得，
∴，
∴；
②以、为对角线，
则，
解得，
∴，
∴；
③以、为对角线
则，
解得，
∴，
∴；
综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
24．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
【答案】(1)；反比例函数的解析式为
(2)；不等式的解集为
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）把代入求出，得，从而可求出的值；
（2）由平移得直线与直线平行，得，把点代入得，得，代入，求出，得出；由图象得当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，
∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
25．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键．
（）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；
（）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
26．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解；
（３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上，
∴．
∴反比例函数表达式为．
又在反比例函数上，
∴．
∴．
设一次函数表达式为，
∴，
∴，．
∴一次函数的表达式为．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为，
∴，．
∴，，
∴；
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长．
∵与关于y轴对称，
∴为．
又，设的解析式为，
则，解得，
∴直线为．
令，则．
∴．
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