21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（含答案） 2024—2025学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程
第 1 课时 传播问题与一元二次方程
A层
知识点一 传播问题
1.有一个人患流感，经过两轮传染后共有 81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人 设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ( )
A.1+2x=81
D.1+x+x(1+x)=81
2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡厂某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每轮传染多少只健康鸡.
知识点二 握手问题
4.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15 场比赛，则八年级班级的个数为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【变式题】单循环→双循环
一次足球比赛采取双循环赛制(即每两队之间都进行两场比赛)，若要比赛 20 场，则共有 个队参加比赛.
5.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为 .
知识点三 数字问题
6.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是( )
A.不存在 B.25
C.36 D.25 或 36
7.两个数的和是14，且它们的积是48，则这两个数分别是 和 .
8.2021 年 7 月 1 日是建党 100 周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为 65，则这个最小数为 .
B层
9.毕业典礼后，九年级(1)班每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，若全班送纪念卡共1190张，则九年级(1)班的人数为 ( )
A.34 B.35
C.36 D.37
10.如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有 2个点……第n行有n 个点，容易发现，三角形点阵中前 4 行的点数和是 10.若三角形点阵中前a 行的点数之和为 300，则a 的值为 .
11.为宣传垃圾分类，某同学写了一份倡议书并在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推.已知经过两轮传播后，共有 421人参与了传播活动，则n 的值为 .
12.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
13.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列
14.阅读下列内容,并答题：
我们知道，n 边形的对角线条数公式为： 如果一个 n 边形共有 20 条对角线，那么可以得到方程
整理得 解得n=8,或n=-5.
∵n≥3,∴n=-5不合题意,舍去.
∴n=8，即该多边形是八边形.
根据以上内容，问：
(1)若一个多边形共有 14 条对角线，则这个多边形的边数是多少
(2)A 同学说：“我求得一个多边形共有 10条对角线.”你认为 A 同学的说法正确吗 为什么
方法归纳
1.传播、裂变问题：若开始一人感染，设每轮传染x 人，n轮后被感染总人数为(1+x)”.
2.握手问题：若设x 为总人数，所有人握手的次数是
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第 2 课时 平均变化率问题与一元二次方程
A层
知识点一 平均变化率问题
1.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是( )
C.16(1-2x)=9 D.9(1+2x)=16
2.2021年7 月教育部出台“双减”政策后，某县基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为 40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4 小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则可列方程为 .
3.2021年下半年由于用电紧张，全国多地实行拉闸限电.某家庭 9 月用电量为 250度，11月用电量为160度，设该家庭用电量的月平均降低率是x，则x= .
4.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7 月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与 9月份的营业额相等.求该商店去年 8、9月份营业额的月增长率.
知识点二 市场营销问题
5.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株 设每盆多植x株，则可以列出的方程是 ( )
A.(3+x)(4-0.5x)=15
B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15
D.(x+1)(4-0.5x)=15
6.某商品的进价为5元/个，当售价为 x 元/个时，此时能销售该商品(x+5)个，此时获利144元，则该商品的售价为 元/个.
7.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元
B层
8.元旦来临前，某商场将一件原价为a 元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了0.16a 元，则这个给定的百分比为( )
A.16% B.36% C.40% D.50%
9.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆125 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆645人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次 并说明理由.
10.适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出 1 支铅笔的利润是 1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x 元(0(1)当x 为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元
(2)该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗 如果能，请求出 x 的值；如果不能，请说明理由.
C层
11.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天 200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高 10 元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20 元/天的维护费用.设每间客房的定价提高了x 元.
(1)填表(不需化简):
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后
若该青年旅社希望每天纯收入为 14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元(纯收入=总收入-总维护费用)
第 3 课时 几何图形与一元二次方程
A层
知识点一 规则图形的面积
1.今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加 1600 m .设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是( )
A. x(x-60)=1600 B. x(x+60)=1600
C.60(x+60)=1600 D.60(x-60)=1600
2.十八世纪，古巴比伦泥板书上有这样一个问题：“一块矩形田地面积为 55，长边比短边多6，问长边多长 ”用一元二次方程知识可求得长边为 .
3.如图,矩形 ABCD 是由三个矩形拼接成的.如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 .
4.如图,某农户准备盖一所小型的矩形鸡场，其中一面靠墙，墙足够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进20米，其中新型材料至少购进8米，若鸡场的面积为42平方米，求新型材料的长度.
知识点二 边框与甬道
5.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积为 300cm ，则原铁皮的边长为 ( )
A.10cm B.13 cm
C.14 cm D.16 cm
6.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是 2: 1.已知镜面玻璃的价格是 120 元/m ,边框的价格是 30元/m，加工费是 60元.如果制作这面镜子共花了 210元，那么这面镜子的长为 m,宽为 m.
7.改善小区环境,争创文明家园.如图，某社区决定在一块长(AD)34m,宽(AB)22m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.要使每一块草坪部分的面积都为100m ，则小路的宽应为多少
B层
8.如图,矩形 ABCD 的周长是20cm,以 AB,AD为边分别作正方形 ABEF 和正方形 ADGH.若正方形 ABEF 和正方形 ADGH 的面积之和68 cm ,则矩形 ABCD 的面积是 ( )
A.21 cm B.16 cm C.24 cm D.9cm
9.如图是一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm 的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.
10.有一块长为a 米,宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x 米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪.
(1)已知a=26,b=15,并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米；
(2)已知a:b=2:1,x=2,并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米.
11.如图，用一段77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形篱笆上都有一个1米宽的门，墙的最大可用长度为30米.
(1)如果羊圈的总面积为 300 平方米，求边AB 的长;
(2)羊圈的总面积能为500平方米吗 若能，请求出边 AB 的长；若不能，说明理由.
C层
12.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点 P 从点A 开始沿AB 边向点B以 1 cm/s 的速度移动,同时点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，运动时间为x s(x>0).
(1)几秒后,PQ 的长度等于 5cm
(2)运动过程中，△PQB 的面积能否等于8cm 说明理由.
21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 传播问题与一元二次方程1. D 2. C
3.解：设每只病鸡每轮传染健康鸡x 只，由题意得1+x+x(x+1)=169,整理,得(x+ 解得 (不合题意,舍去).
答：每只病鸡每轮传染健康鸡12 只.
4. B 【变式题】5 5.6
6. D 7.6 8 8.5 9. B10.2411.20
12.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为(5-x).依题意得((10x+5-x)[10(5-x)+x]=736,解得 当x=2时,5-x=3;当x=3时,5-x=2.答：原来的两位数是23 或32.
13.解：设增加了x行，则增加的列数为x，根据题意，得((6+x)(8+x)-6×8=51.整理得 解得 (舍去).
答：增加了3行 3列.
14.解:(1)根据题意得 整理得 解得n=7,或n=-4.∵n≥3,∴n=-4不合题意,舍去.∴n=7,即这个多边形的边数是7.
(2)A 同学的说法不正确.理由如下：当 时，整理得 解得 ∴符合方程 的正整数n 不存在.∴多边形的对角线不可能有10条，即 A 同学的说法不正确.
第 2 课时 平均变化率问题与一元二次方程
1. A 2.40(1+x) =48.4 3.0.2
4.解:(1)450+450×12%=504(万元).
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504 万元.
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意得 解得. 0.2=20%,x =-2.2(不合题意,舍去).
答：该商店去年 8、9月份营业额的月增长率为20%.
5. A 6.13
7.解：设降价后的销售单价为x元，则每天可售出[300 + 5(200 - x)]个.依 题 意,得(x -100)[300+5(200-x)]=32000,整理,得 360x+32400=0.解得 符合题意.
答：这种电子产品降价后的销售单价为 180元时，公司每天可获利32000元.
8. C
9.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得 化简得25x +75x--54=0,∴x =0.6=60%,x =-3.6(舍).
答：进馆人次的月平均增长率为60%.
(2)∵进馆人次的月平均增长率为 60%，∴第四个月的进馆人次为 500.
答：校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次.
10.解:(1)根据题意得(1-x)(100x+30)=40,整理得 解得
答：当x 为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40 元.
(2)根据题意得(1-x)(100x+30)=50,整理得 4×10×2=-31<0,则方程无实数根.
答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元.
11.解:
(2)依题意得 整理得 0,解得 当x=320时,有游客居住的客房数量是 (间);当x=100时，有游客居住的客房数量是 50(间).所以当x=100时，能吸引更多的游客，此时每个房间的定价为200+100=300(元).答：每间客房的定价应为300元.
第3课时 几何图形与一元二次方程
1. A 2.11 3.6
4.解：设木栅栏购进x 米，则新型材料购进(20-x)米.依题意，得 解得. 新型材料至少购进8米，∴20-x≥8.∴x≤12.∴x =14不合题意，舍去.∴x=6,则20-x=14.
答：新型材料的长度为14 米.
5. D 6.1 0.5
7.解：设小路的宽为x m，根据题意得(34-2x)(22-x)=100×6,解得 (不合题意,舍去).∴x=2.
答：小路的宽应为 2m .
8. B 9.2
10.解:(1)四块矩形场地可合成长为(26-x)米,宽为(15--x)米的矩形.依题意得(26-x)(15-x)=312,整理得 解得 (不合题意，舍去).
答：每条道路的宽x 为2米.
(2)四块矩形场地可合成长为(2b-2)米，宽为(b-2)米的矩形.依题意得(2b--2)(b--2)=312,整理得 解得 -11(不合题意,舍去).∴a=2b=28.
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米.
11.解:(1)设 AB 的长为 x 米,由题意可得x(77+3-4x)=300,解得x =5,x =15.当x=5时,80-4x=60>30,故x=5不合题意.当x=15时,80-4x=20<30.∴AB 的长是 15 米.
(2)羊圈的总面积不能为500平方米，理由如下:设AB 的长为x米,由题意可得x(77+ 400-500=--100<0.∴羊圈的总面积不能为500平方米.
12.解:(1)当 PQ=5 cm 时,在 Rt△PBQ 中, 整理得x(x-2)=0.∴x =0(舍去),. ∴当x=2时，即运动2s后，PQ的长度等于 5cm.
(2)设经过x s后△PQB 的面积为 8cm ,依题意得 整理得 5x+8=0.∵△=25--32=--7<0,∴x -5x+8=0无实数解.∴△PQB 的面积不能等于8cm .