22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 同步练习 （含答案）2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.1.4 二次函数 的图象和性质
第 1 课时 二次函数 的图象和性质
A层
知识点一 将二次函数 转化为 的形式
1.将二次函数 化成y=a(x- 的形式为 .
2.将抛物线 向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式 为 .
知识点二 二次函数 的图象和性质
3.已知抛物线 开口向上，且顶点坐标为(5，—3)，则抛物线有( )
A.最大值5 B.最小值5
C.最大值-3 D.最小值-3
4.关于二次函数 下列说法正确的是 ( )
A.图象与 y 轴的交点坐标为(0,1)
B.函数图象的开口向下
C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D.图象的对称轴为直线x=--1
5.若A(--1,y ),B(1,y )为二次函数. 4x-5的图象上的两点，则y ，y 的大小关系是 .
【变式题】已知抛物线 的开口向下，对称轴为直线x=1,若点A(2,y )、B(3,y )是此抛物线上的两点,则 y y (填“>”或“<”).
6.如果抛物线 经过原点，且它的对称轴是直线x=2，那么抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是 .
7.已知二次函数 的图象与直线y=2x-3交于点P(1,b).
(1)求出此二次函数的解析式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数值 y 随x 的增大而减小.
知识点三 二次函数 的图象与系数的关系
8.若二次函数 的图象如图所示，则 ( )
A. b>0,c>0 B. b>0,c<0
C. b<0,c<0 D. b<0,c>0
9.二次函数 (a≠0)的图象如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上,且OP=1,设M=ac(a+b+c),则 M的取值范围为 ( )
A. M<-1 B.-1C. M<0 D. M>0
B层
10.已知抛物线 经过(--2,n)和(4,n)两点,则 n 的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
【变式题】本质相同：先确定对称轴
抛物线 经过点(--1,0),(3,0),且与 y 轴交于点(0,一5),则当x=2时,y的值为 ( )
A.-5 B.-3 C.-1 D.5
11.已知两点 A(--5,y ),B(3,y )均在抛物线 上,点C(x ,y )是该抛物线的顶点.若 y >y ≥y ,则x。的取值范围是 ( )
B. x >-1
12.在平面直角坐标系 xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线.已知抛物线 y= 的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为 N,且 MN=10,那么点 N 的坐标是 .
13.如图，抛物线 经过坐标原点，并与x 轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有一点 B，且S△OAB=3,求点B 的坐标.
14.如图,二次函数y=(x-1)(x-a)(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2.
(1)求a 的值;
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
15.如图，抛物线 与x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点A,B,且 OA =OB，点 G 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标；
(2)点 M,N 为抛物线上两点(点 M 在点 N的左侧)，且到对称轴的距离分别为 3个单位长度和5个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标yQ的取值范围.
第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式
A层
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数的图象经过(--1,0),(2,0),(0,2)三点，则该函数的解析式为 ( )
2.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为 ( )
3.已知二次函数 y= 当x=-5时,y=0;当x=1时，y=0，则函数的解析式为 .
4.下表中的x，y的值都满足二次函数 bx+c.
x -1 0 1 2 3
y 11 8 3 m n
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)求m+n 的值.
知识点二 利用“顶点式”求二次函数的解析式
5.与抛物线 的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为(1，3)的抛物线解析式是
6.已知二次函数，当x=--1时，有最小值-7，且当x=0时，y=-3.求二次函数的解析式.
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
7.抛物线 与x轴的两个交点为(--1,0),(3,0),其开口方向和形状与抛物线 的相同，则. 的函数关系式为 ( )
8.已知抛物线与 x 轴的交点是 A (--3,0),B(1,0),经过点C(0,-3).
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)设该抛物线的顶点为M，求△ABM 的面积.
B层
9.已知一次函数y=kx+4 与二次函数 5ax+4a 的图象交于 y轴上的点 P，则二次函数的解析式为 .
10.如图，已知抛物线 bx+c 的对称轴为直线x=1,且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是 .
11.已知点 P(-1,5)在抛物线 的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，则该抛物线的解析式为 .
【变式题】已知某抛物线的顶点坐标是(2，-1)，且与y 轴的交点到原点的距离为 3，则这个抛物线的解析式为 .
12.已知抛物线 经过点(1,-2),(-2,19).
(1)求a,b的值;
(2)若A(m,p)和B(n,p)是抛物线上不同的两点，且 求 m,n 的值.
13.已知抛物线 的对称轴为直线x=--1，顶点为 A，与 y 轴正半轴交点为B,且 的面积为 1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 在x 轴上,且 PA=PB,求点 P的坐标.
C层
14.已知抛物线 经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).
(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;
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(2)若抛物线 也经过A 点，求a 与t 之间的关系式.
22.1.4 二次函数 的图象和性质
第 1 课时 二次函数 的图象和性质
1. y=(x-2) +1 2. y=(x+1) +2 3. D 4. D
【变式题】> 6.(4,0)
7.解:(1)∵点 P(1,b)在直线y=2x--3上,∴b=2-3=-1.∴P(1,-1).把 P(1,-1)代入 ,得到a=-2.∴二次函数的解析式为
∴顶点坐标为 当 时，y随x的增大而减小.
8. B 9. D 10. C 【变式题】A
11. B 12.(3,一1)或(3,19)
13.解:(1)把(0,0),(2,0)代入 得 解得 抛物线的解析式为
(2)设点 B 的纵坐标为d,则 2|d|=3,解得d=3,或d=-3.∵顶点纵坐标为--1,-3<-1(或 无实数解)，不合题意，. 解得. 点B 的坐标为(3,3)或(-1,3).
14.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a)(a 为常数)知，该抛物线与x 轴的交点坐标是(1，0)和(a,0).∵对称轴为直线 解得a=3.
(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是y= 抛物线向下平移3个单位后经过原点.∴平移后图象所对应的二次函数的解析式是
15.解:(1)∵抛物线 与 y轴正半轴交于点 B，∴点B(0,c).∵OA=OB=c,∴点A(c,0).. 0(舍去).∴抛物线的解析式为 ∴顶点G 的坐标为(1,4).
(2)∵y=--(x--1) +4,∴抛物线的对称轴为直线x=1.由题意知点 M 的横坐标为-2 或 4,点 N 的横坐标为6,∴点M 的坐标为(-2,--5)或(4,--5),点 N 的坐标为(6,—21).∵点 Q 为抛物线上点M,N 之间(含点M，N)的一个动点，结合图象可知，当--2≤xQ≤6时,--21≤yQ≤4;当 4≤x ≤6时,-21≤yɑ≤-5.
第2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1. D 2. B.
4.解：(1)由题意可知，抛物线 经过(0,8),(1,3),得 解得
∴该抛物线的顶点坐标为(-2，12).
(2)当x=2时,y=-4-8+8=-4,则m=-4;当x=3时,y=-9--12+8=-13,则n=-13.∴m+n=-4-13=-17.
6.解：设二次函数的解析式为 把(0,-3)代入得 解得a=4.∴二次函数的解析式为
7. D
8.解:(1)设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).把C(0,-3)代入得-3a=-3,解得a=1.所以该抛物线的解析式为 y=(x+3)(x-1),即.
则顶点M的坐标为(-1,-4),所以 3)×4=8.
10. y=-x +2x+3
或, 解析：根据题意得顶点坐标为(-1,1)或(-1,9),可得 或 9,解得b=-2，c=0或8，则该抛物线的解析式为 或
【变式题】 或
12.解:(1)把点(1,-2),(-2,19)代入 bx+1得 解得
(2)由(1)可得抛物线为 可得其对称轴为直线 ∵A(m,p)和B(n,p)气抛物线上不同的两点,∴m+n= 又.
13.解:(1)∵对称轴为直线 -1.∴a=--1.当x=0时,y=c,∴B(0,c).∵△ABO的面积为1.
∴抛物线的解析式为
∴A(-1,3).设P 点的坐标为(x,0).∵PA=PB,B(0,2),. 解得x=-3,即 P 点的坐标为(-3,0).
14.解:(1)∵顶点为A(1,2),∴设抛物线的解析式为 抛物线经过原点, 抛物线的解析式为
(2)∵抛物线经过原点，∴抛物线的解析式为 顶点 A 的坐标为(h,· 抛物线y=;tx .也经过 A(h,k), -ah .∵h≠0,∴t=-a.