二次函数解题技巧专题分类练习（含答案） 2024—2025学年人教版数学九年级上册

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二次函数解题技巧专题分类练习
解题技巧专题：二次函数的最值及函数值的范围
方法点拨：①若没有限定自变量的取值范围，则顶点的纵坐标即为最值；
②若限定了自变量的取值范围，则应根据函数增减性判断，画出草图会更加直观.如右图，当x为任意实数时, ymin=—1;当0≤x≤3时, ymin =—1, ymax=3;当x≥2 时, ymin=0(x=2时,y 值最小).
类型一 没有限定自变量的范围求最值
1.二次函数 的最大值为 .
2.二次函数 8x--1的最小值是 ( )
A.7 B.-7 C.9 D.-9
3.已知函数y=x(2-3x),当x 为何值时,函数有最大值或最小值 并求出该最值.
类型二 限定自变量的取值范围求最值
4.二次函数 在 3≤x≤5范围内 的最小值为 .
5.我们规定:若 则 例如 则 12=14.已知 且--2≤x≤3,则 的最大值是 .
类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围
6.已知二次函数 ,当x≥2时,y的取值范围是 ( )
A. y≥3 B. y≤3 C. y>3 D. y<3
7.二次函数 (m为常数)的图象如图所示,当x=a时,y<0,那么当x=a--1时，函数值 ( )
A. y<0
B.0C. y>m
D. y=m
8.若实数 x,y 满足 设 则 s 的取值范围是 .
类型四 已知函数的最值，求待定系数的值
9.若二次函数 图象的最高点在x 轴上，则k 的值为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
10.当a≤x≤a+1时,函数 的最小值为4，则a 的值为 ( )
A.-2 B.4 C.4 或3 D.-2 或3
11.已知二次函数
(1)若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1 请说明理由；
(2)若b=c-2,y 在-2≤x≤2上的最小值是--3,求b的值.
解题技巧专题：抛物线与三角形的综合
1.如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点(不包括点 A,点 B),求△PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标.
2.已知抛物线 和直线y=-x+b都经过点M(-2,4),点 O 为坐标原点,点 P 为抛物线上的动点,直线y=-x+b 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点.
(1)求m、b的值;
(2)当△PAM 是以 AM 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标.
3.如图①，抛物线 与 x 轴交于点A(—2,0),B(6,0),与 y 轴交于点C,顶点为 D,直线 AD 交y 轴于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,将△AOE 沿直线 AD 平移得到△NMP.
①当点 M 落在抛物线上时，求点 M 的坐标；
②在△NMP 移动过程中,存在点 M 使△MBD 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标.
解题技巧专题：抛物线与四边形的综合
1.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y= 上运动.过点 A 作 AC⊥x 轴于点C,以 AC 为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线 BD 的最小值为 .
2.(如图，在平面直角坐标系中,点 A(2,4)在抛物线 上,过点 A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B，点 C，D 在线段AB 上，分别过点 C，D 作x 轴的垂线交抛物线于E，F 两点.当四边形 CDFE 为正方形时，线段CD 的长为 .
3.如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线 过A,B 两点,点 P 是线段AB 上一动点,过点 P 作PC⊥x 轴于点C,交抛物线于点 D.
(1)设抛物线的顶点为M，其对称轴交 AB 于点 N.求点 M、N 的坐标;
(2)是否存在点 P,使四边形 MNPD 为菱形 并说明理由.
4.如图，在平 面直角 坐标系 中，抛物线 y = 与x 轴正半轴交于点A，且点A 的坐标为(3,0),过点 A 作垂直于x 轴的直线l.P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m,过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q,M 是直线l 上的一点，其纵坐标为 以 PQ,QM 为边作矩形PQMN.
(1)求b 的值;
(2)当点 Q 与点 M 重合时,求 m 的值;
(3)当矩形 PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值.
解题技巧专题：二次函数的最值及函数值的范围
1.-2 2. D
3.解: ∴该抛物线的顶点坐标是 ( , ).∵-3<0，∴该抛物线的开口向下.∴当 时，该函数有最大值，最大值是 .
4.4 5.8 6. B
7. C 解析:当x=a 时,y<0,则a 的范围是 又因为对称轴是直线 所以a--1<0.当 时，y 随x 的增大而减小,当x=0时,函数值y是m.因此当x=a-1<0时，函数值y一定大于m.
8. s≥9 解析:由 得 ∴x≤3.代入 得 ∴当x=3时, 故答案为s≥9.
9. D 10. D
11.解:(1)存在.理由如下:若b=c,由y=1得 ∴存在两个实数x，使得相应的y=1.
(2)由b=c-2,则抛物线解析式可化为y= ,其对称轴为直线 x=-b.①当-b≤-2时,则在x=-2时,y取最小值为--3,此时- 解得b=3;②当-b≥2时,则在x=2时,y取最小值为-3，此时 解得 不合题意,舍去;③当-2<-b<2时，则 化简得 0,解得 (不合题意，舍去)，( 综上所述，b=3或
解题技巧专题：抛物线与三角形的综合
1.解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x=--1且经过点A(-3，0)，由抛物线的对称性可知，
抛物线还经过点(1，0).设抛物线的解析式为y=a(x--1)(x+3),把B(0,3)代入得3=-3a,∴a=--1.∴抛物线的解析式为 y=
(2)设直线 AB 的解析式为 y =kx +b.∵A(-3,0),B(0,3), 解得 直线 AB 的解析式为y=x+3.作PQ⊥x 轴于 Q,交直线 AB 于 M.设 P(x, 则.M(x,x+3),∴PM=--x - 当 时,S△PAB最大 = 此时 ∴△PAB 的面积的最大值为2 ，此时点 P 的坐标为
2.解:(1)将M(--2,4)代入 得 4=4m,∴m=1.将M(-2,4)代入y=-x+b,得4=2+b,∴b=2.
(2)由(1)得抛物线的解析式为 直线AB 的解析式为y=-x+2.当y=0时,-x+2=0,解得x=2.∴点A 的坐标为(2,0),OA=2.设点 P 的坐标为(x,x ),则 是以 AM 为底边的等腰三角形， 即 整理，得 解得 点 P的坐标为(-1,1)或(2,4).
3.解:(1)∵抛物线过点 A(-2,0),B(6,0),∴设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6)=ax -4ax-12a.∴-12a=6,解得 故抛物线的解析式为
(2)由(1)易知点 D(2,8).设直线 AD 的解析式为:y=kx+m,则 解得 故直线 AD 的解析式为 y=2x+4.设点 N(n,2n+4).∵MN=OA=2,则点M(n+2,2n+4).①将点 M 的坐标代入抛物线解析式得 解得n= .故点 M 的坐标为( 或
②点 M 的坐标为(--2,--4)或 或 或 解析:点M(n+2,2n+4),点B、D 的坐标分别为(6,0)、(2,8),则. .当∠BMD 为直角时,由勾股定理得( 解得 当∠MBD 为直角时,同理可得 n =--4;当∠MDB 为直角时，同理可得 故点 M 的坐标为(-2,-4)或 或 或
解题技巧专题：抛物线与四边形的综合
1
3.解:(1)如图, ∴顶点 M的坐标为 当 时,y= 则点 N 的坐标为(
(2)不存在.理由如下： 设 P 点坐标为(m,-2m+4),则 4) -2m +4m.∵PD∥MN,∴当PD=MN时,四边形 MNPD 为平行四边形，即 .解得: (舍去), 此时 P 点坐标
为( ∴PN≠MN.∴平行四边形 MNPD 不为菱形.∴不存在点 P,使四边形 MNPD 为菱形.
4.解:(1)把点 A(3,0)代入 ，得到 解得b=1.
(2)∵抛物线的解析式为 ∵M,Q重合， 解得
∴抛物线的顶点坐标为(1，2).由题意矩形 PQMN 是正方形，∴PQ=MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部. 且 解得 (不合题意舍去).