数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2 奇偶性 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念.
2.了解奇偶性的几何意义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
偶函数
画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？












可以发现，这两个函数都关于y轴对称.也就是说，当自变量取互为相反数的
两个数时，函数值是相等的，即


对于 ，有


对于 ，有


常见的偶函数有 ， 等等
偶函数
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数
是偶函数吗？










【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所
以不一定是偶函数.


【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ，
且 ，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)
偶函数
【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
偶函数
偶函数


图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：



画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？
奇函数









可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为
相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即

对于 ，有
对于 ，有





【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ，
且 ，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
奇函数
常见的偶函数有 ， , 等等
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个
函数是奇函数吗？









【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，
所以不一定是奇函数.




奇函数
要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)
【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是偶函数
奇函数
奇函数


图像关于原点对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：



如果奇函数在
处有定义，则：


如何证明
这个结论？
函数奇偶性的判断
【例题】判断下列函数的奇偶性.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：





所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：

所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断：


所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断：


所以此函数是偶函数.
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
④ 既是奇函数，又是偶函数.
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法：
【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下
去的必要.
【2】二看等式：满足第一点之后，判断 与 的关系：
函数
既是奇函数，又是偶函数


① 是偶函数；

② 是奇函数；

③ 是非奇非偶函数；



奇(偶)函数的性质及应用
【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数
的定义域为R，且有
所以此
函数是奇函数.

（2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？






(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.


奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调减函数.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑 和 的情况；
中需 ， .
偶
偶
偶
偶
奇


奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇





【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称；
把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.










即时巩固
随堂小测
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
√
2.函数f(x)＝x(－1A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
√
3.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于
A.x＋1 B.x－1
C.－x－1 D.－x＋1
√
4.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0
√
5.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝___.
5
解析　函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等.
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
6.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝___.
5
解析　函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等.
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
7.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝___.
－2
8.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是___.
2
解析　∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)
＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.
课堂小结
1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)
f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f(x)为偶函数.
2.两个性质：函数为奇函数 它的图象关于原点对称；函数为偶函数 它的图象关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.
4.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.
5.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.
6.具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.