八年级数学下册试题 9.5 三角形的中位线-苏科版（含解析）

9.5 三角形的中位线
一、单选题
1．如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（ ）
A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米
2．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　）
A．32 B．16 C．8 D．4
4．如图，四边形中，R、P分别是上的点，E、F分别是的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关
二、填空题
5．如图，菱形中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形的各边中点，若，，则四边形 的面积为______．
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥CD，OE∥BC交CD于E，若OC=4，CE=3，则BC的长是__．
7．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，若△DEF的周长为18，则△ABC的周长为________．
8．如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___．
9．如图，中，点 D、E 在边上，的平分线垂直于，垂足为 N，的平分线垂直于，垂足为 M．若，，则的周长为______．
10．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．
三、解答题
11．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
12．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，AC＝10，点 F 是 DE 上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°．
(1)求 EF 的长；
(2)求 BC 的长．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF＝BE；
（2）过点A作AGBC，交DF于点G，求证：AG＝DG．
14．如图，等边中，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若等边的边长为6，求的长．
15．如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若，，求CG的长．
16．如图，在四边形中，点E是线段上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是，，的中点．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，且，判断四边形的形状，并说明理由．
17．如图，在中，平分于点，点是的中点
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：
（2）如图2，探究线段之间的数量关系并证明你的结论．
18．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
（1）【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图①，在中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：，．
证明：如图①，延长DE到点F，使得，连接CF；
请继续完成证明过程．
（2）【问题解决】如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，是等腰直角三角形，，连接CF、CH．求证：．
（3）【思维拓展】如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，，连接BE、CF，直接写出CF与BE的数量关系________．
　　　 　　　
答案
一、单选题
1．B
【分析】
根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可．
【详解】
解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB=6m，BC=8m，AC=9m，
∴EF=BC=4m，BE=AB=3m，CF=AC=4.5m，
∴需要篱笆的长=4+3+4.5+8=19.5m．
故选 B．
2．A
【分析】
利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．
【详解】
解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】
根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．
【详解】
∵AD＝AC，
∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，
∴，
∴E是CD的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴，
故答案为：C．
4．C
【分析】
如图，连接 先证明的长度是定值，再证明 可得的长度是定值，从而可得答案.
【详解】
解：如图，连接
四边形中，R、P分别是上的点，当点P在上从C向D移动而点R不动，
的长度是定值，
E、F分别是的中点，
的长度是定值.
故选：
二、填空题
5．12
【分析】
利用三角形中位线定理，可以证明四边形EFGH和四边形MFNO是平行四边形，同时得到四边形EFGH的边长，再证明四边形MFNO是矩形，∠MFN是直角，则四边形EFGH是矩形，即可求得面积．
【详解】
解：如图，设EF交BD于点M，FG交AC于点N，
∵ E、F、G、H 是菱形的各边中点，
∴EHBD，FGBD，EFAC，GHAC，EH＝FG＝BD＝4，GH＝EF＝AC＝3
∴EHFG，EFGH，FMON，FNOM
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠MON＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∴四边形的面积＝EF×FG＝12
故答案为：12
6．10
【分析】
由平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE∥BC，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD、CD的长．进而解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∵OE∥BC，
∴OE∥AD，
∴OE是△ACD的中位线，
∵CE=3，
∴DC=2OE=2×3=6．
∵CO=4，
∴AC=8，
∵AC⊥CD，
∴AD= =10，
∴BC=AD=10，
故答案为：10．
7．36
【分析】
根据中位线定义得DF=BC,DE=AC,EF=AB,再表示出三角形ABC的周长即可求解.
【详解】
解：∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴DF=BC,DE=AC,EF=AB,（中位线性质）,
∵△DEF的周长为18，即DE+DE+EF=18,
∴△ABC的周长=2（DE+DE+EF）=36.
8．4
【分析】
由三角形的中位线定理可得BC＝2MN＝6，由平行四边形的性质可得AD＝6，由线段关系可求解．
【详解】
解：∵M、N分别是BE、CE的中点，
∴BC＝2MN＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵AE＝2ED，
∴ ，
故答案为：4．
9．24
【分析】
根据角平分线及垂线定义易证明△ABN≌△EBN，得到AB=BE，AN=EN，同理易证△ACM≌△DCM，得到AC=DC，AM=MD．由此得到MN是△ADE的中位线，即可求出DE的长，从而可求出AB、AC和BC的长，即可求出△ABC的周长．
【详解】
∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN．
∵BN⊥AE，
∴∠ANB=∠ENB=90°．
∵BN=BN，
∴△ABN≌△EBN(ASA)，
∴AB=BE，AN=EN．
同理可证△ACM≌△DCM(ASA)，
∴AC=DC，AM=MD，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE=2MN=4，
∴BE=BD+DE=2+4=6，DC=DE+EC=4+4=8，BC= BD+DE+EC=2+4+4=10，
∴AB=6，AC=8，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+8+10=24．
故答案为：24．
10．2.5
【分析】
延长CF交AB于H，证明△AFH≌△AFC，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH，求出HB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：延长CF交AB于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAF=∠CAF,
在△AFH和△AFC中，
，
∴△AFH≌△AFC（ASA），
∴AH=AC，CF=FH，
∵AB=13，AC=8，
∴AH=AC=8，
∴HB=AB-AH=13-8=5，
∵CF=FH，CD=DB，
∴DF=HB=2.5，
故答案为：2.5．
三、解答题
11．
四边形EFGH是平行四边形，
证明：连接AC，如图．
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC，
同理HG∥AC，且HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
12．(1)
解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=10，
∴EF=AC=×10=5；
∴EF 的长为5；
(2)
解：∵DF=1，
∴DE=DF+EF=6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12．
∴BC 的长为12．
13．
证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，
∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，
∴AH＝BH＝AB，EF∥AB．
∵AD＝AB，
∴AD＝AH．
∵CA⊥AB，
∴CA是DH的中垂线．
∴DF＝FH．
∵FH∥BC，EF∥AB，
∴四边形HFEB是平行四边形．
∴FH＝BE．
∴BE＝FD．
（2）由（1）知BE＝FD，
又∵EF∥AD，
∵EF＜BD，
∴四边形DBEF是等腰梯形．
∴∠B＝∠D．
∵AG∥BC，∠B＝∠DAG，
∴∠D＝∠DAG．
∴AG＝DG．
14．
（1）∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵CF=BC，
∴DE=CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形DCFE是平行四边形；
（2）∵四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=DC，
在等边△ABC中，D为AB的中点，
∴CD⊥AB且BD==，
∴在Rt△BCD中，BC=，
∴，
∴EF=DC=．
15．(1)
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DEAC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EFDG
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
(2)
解：∵AD⊥BC交BC于D点，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
∴△ADB是直角三角形
∵E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE＝5
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，
由勾股定理得：
AF＝ ．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
16．解：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GFEC且GF=EC．
又∵H是EC的中点，EH=EC，
∴GFEH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接GH，EF．
∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GHBC且GH=BC．
又∵EF⊥BC且EF=BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，
∴GHBC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．
17．解：（1）证明∶如图1，
∵
∴
∴，
∵平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
∴
（2）结论∶．
理由∶如图2，延长交的延长线于．
∵，
∴，
∴，，
∵平分∠BAC，
∴∠BAE=∠PAE，
∴，
∴
∵，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
∴．
18．(1) ∵AE=CE, DE=EF,∠AED=∠CEF，
∴，
∴AD=CF，EF=DE，∠ADF=∠F，
∴ BD// CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF=BC，DF// BC，
即 ，
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠ABE+∠CBE=90°
∵△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=， ∠BEH=∠BHE=45°，∠EBH=90°，即∠CBH+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠CBH，
∴在△ABE和△CBH中，
∴△ABE≌△CBH (SAS) ，
∴ AE=CH，∠AEB=∠CHB，
∴∠CHE=∠CHB -∠BHE=∠CHB-45°=∠AEB-45°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴EF=HC，∠FEH=360°-∠AEF -∠AEB -∠BEH=225°-∠AEB，
∴∠CHE+∠FEH=∠AEB-45°+225°-∠AEB= 180°,
∴EF// HC且EF=HC，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF=EH=BE；
(3) CF=BE，
如图：
过点B作BH，使∠EBH=120°，且BH=BE，
连接EH、CH，
则∠BHE=∠BEH=30°，
∵∠ABC=∠EBH=120°，
∴∠ABE=∠CBH，
∵ AB=BC，BE=BH，
∴△AEB≌△CHB(SAS)
∴CH=AE=EF，∠CHB=∠AEB，
∵∠CHE=∠CHB -∠BHE=∠AEB-30°，
∠FEH=360°-∠AEF -∠AEB -∠BEH=210°-∠AEB，
∴∠CHE+∠FEH=180°，
∴CH // EF且CH=EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF=EH，
过B作BN⊥EH于N，
在△EBH中，∠EBH=120°， BH=BE，
∴∠BEN=30°，EH=2EN，
∴EN=BE，
∴EH=BE，
∴CF=EH=BE