湖北省2023-2024学年九年级下学期数学第四次模拟检测
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．（2024·湖北模拟） 下列实数中，比-2 小的数是
A．-3 B．-1 C．0 D．1
2．（2024·湖北模拟） 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（2024·湖北模拟） 实数a，b，c满足a>b且acA． B．
C． D．
4．（2024·湖北模拟） 下列各式计算结果正确的是
A． B． C． D．
5．（2024·湖北模拟） 下列说法正确的是
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．购买一张彩票中奖是随机事件
D．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生
6．（2024·湖北模拟） 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交直线l1， l2于B， C两点， 连结AC， BC. 若∠ABC=70°， 则∠1的大小是
A．30° B．35° C．40° D．70°
7．（2024·湖北模拟） 从不透明的袋子中进行摸球游戏，这些球除颜色外其他都相同，小红根据游戏规则，作出如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是
A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球
C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球
D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3 个球
8．（2024·湖北模拟） 如图，将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·湖北模拟） 如图， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AD⊥AB，以D为圆心， AD为半径的弧恰好与BC相切， 切点为E， 若AB=1， BC=3， 则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖北模拟） 已知二次函数. (a，b为常数).下列命题
①该函数的图象经过点(1，0)；
②该函数的图象经过点 (3，0)；
③该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
④该函数的图象的对称轴为直线x=1.
如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
二、填空题(共5题,每题3分,共15分)
11．（2024·湖北模拟） 计算 的结果是 .
12．（2024·湖北模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每3 人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有 人乘车.
13．（2024·湖北模拟） 若点A(a-1， y1)， B(a+1， y2)在反比例函数 的图象上， 且y1>y2，则a的取值范围是 .
14．（2024·湖北模拟） 如图， 将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， 连接CD. 若∠CDE=78°， 则∠BCD的大小是 .
15．（2024·湖北模拟） 如图， 点D是△ABC的边 BC上的一点， △ADC沿AD翻折， 点C落在点E处， AE与BC相交于 F点， 若EF=4， CF=14， AF=AD， 则FD的长是 .
三、解答题(共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（2024·湖北模拟） 计算：
17．（2024·湖北模拟）如图， 平行四边形ABCD的对角线AC， BD相交于点O， 点E， F在对角线BD上， 且BE=FD， 连接AE， EC， CF， FA.
求证： AE=CF.
18．（2024·湖北模拟） 如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80m，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70m(点A， B， C， P在同一平面内)， 求大楼的高度 BC(结果精确到1m，参考数据：
19．（2024·湖北模拟）在“4·23世界读书日”来临之际，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取a名学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t(单位：分钟)，将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整的统计图表.
平均每天阅读时间统计表 平均每天阅读时间扇形统计图
等级 人数
A (t<20) 5
B (20≤t<30) 10
C (30≤t<40) b
D (40≤t<50) 80
E (t≥50) c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1） 直接写出a， b的值；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 ；
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校学生以2000人计算，估计可评为“阅读达人”的学生人数.
20．（2024·湖北模拟）据媒体报道，近期流感可能进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行“薰药消毒”。已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关.系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）求室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的函数关.系；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，直接写出从消毒开始，师生不能进入教室的时间.
21．（2024·湖北模拟）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
（1） 求证： DE=DB；
（2） 若 求DE 的长.
22．（2024·湖北模拟）某商场用12000元购进A，B两种文具各200个，文具A 比文具B的进价少20元. 在销售过程中发现，文具A每天的销量y1(单位：个)与其销售单价x(单位：元)有如下关系： 文具B每天的销量y2(单位：个)与其销售单价z(单位：元)有如下关系： ，其中x，z均为整数.商场按照每个文具A 和每个文具B的利润率相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价.
（1） 求两种文具的进价；
（2）当文具A的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；
（3）当这两种文具每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时文具A的销售单价.
23．（2024·湖北模拟） 问题背景 如图(1)， 点D是△ABC边BC上一点， 且∠ACB+∠ADB=180°， 则AD=AC.
问题解决 点D， E分别为△ABC中AB边， BC边所在直线上的动点， AB=nBD， AC=mED.
（1） （2） （3） （4）
（1） 如图(2) ， 若n=1， ∠ACB+∠BDE=180°时， 求证： m=1；
（2） 如图(3)， 若m=n， ∠ACB+∠BDE=180°时， 试探究BD与BE的数量关系， 并证明；
（3） 如图(4) ， 若∠ABC=60°， ∠ACB+∠BDE=180°， n=3， m=1， BD=2， 直接写出AC的长.
24．（2024·湖北模拟） 如图，抛物线 经过(0， 0) 和(-4， 0)两点， 直线AB：y=kx+d交抛物线于A， B两点.
（1） （2）
（1）求抛物线的解析式；
（2） 如图(1) ， 若k<0， d=-4， △AOB的面积是. 求k的值；
（3）如图2，若∠AOB是直角，求原点O到AB距离的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】 ∵-3＜-2＜-1＜0＜1，∴ 比-2 小的数是 -3.
故答案为：A．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】A、 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，A错误；
B、 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，B正确；
C、 是轴对称图形，不是中心对称图形 ，C错误；
D、 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】因为 a>b且acA、不满足c＜0，A错误；
B、不满足a>b，B错误；
C、符合a>b，c＜0，C正确；
D、不满足c＜0，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负，再确定符合条件的对应点的大致位置.
4．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】 A、，A错误；
B、 ，B正确；
C、 ，C错误；
D、 ，D错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查整式的运算.
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；方差
【解析】【解答】 A、了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；
B、 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 说明甲的跳远成绩比乙稳定 ，B错误；
C、 购买一张彩票中奖是随机事件 ，C正确；
D、 可能性是 1%的事件在一次试验中可能会发生 ，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵ 点A为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交直线l1， l2于B， C两点，
∴AC=AB，
∴∠CBA=∠BCA=70°，
∵ l1∥l2 ，
∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°
∴∠1=180°-70°-70°=40°.
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质求解即可.
7．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】观察树状图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球.
故答案为：A．
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，解题关键在于利用树状图进行解答.
8．【答案】D
【知识点】函数的图象
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接DE，DB，
∵BC为切线，BA为切线，
∴BE=AB=1，∠ABD=∠EBD，∠BED=∠CED=90°，
∵ AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠EBD=∠BDC，
∴CD=BC=3，CE=BC-BE=3-1=2，
∴DE=，
∴AD=DE=，
∴ 阴影部分的面积=梯形ABCD的面积- 扇形面积=（1+3）×-π·（）2=.
故答案为：C.
【分析】连接DE，DB，由切线长定理可得BE=AB=1，∠ABD=∠EBD，由平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，即得∠EBD=∠BDC，可得CD=BC=3，CE=BC-BE=2，由勾股定理求出DE的长，可得AD的长，根据阴影部分的面积=梯形ABCD的面积- 扇形面积进行计算即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】假设抛物线的对称轴为直线x = 1，则，解得a =-2，
∵函数的图象经过点(3，0)，
∴3a+b+9=0，
解得b= -3， 故抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
当y = 0时，得x2-2x-3=0，
解得x = 3或x = -1，
故抛物线与x轴的交点为(-1，0)和(3，0)，函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法.
11．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】原式=
=
=.
故答案为：．
【分析】本题主要考查分式的减法法则，解决本题的关键是要熟练掌握分式的减法法则.
12．【答案】39
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】设共有x人，根据题意得：+2=，去分母得：2x+12=3x-27，解得：x=39.
故答案为：39．
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可.
13．【答案】a<-1或a>1
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵a-1＜a+1， 且y1>y2，
∴反比例函数的性质是y随x的增大而减小，
∴反比例函数 的图象分布在一、三象限，
当点A、B在同一象限时，a+1＜0或a-1＞0，解得a＜-1或a＞1，
当点A、B不在同一象限时，y1＜y2，不符合题意.
故答案为：a<-1或a>1．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可.
14．【答案】138°
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】连接BD，如图所示：
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，∠BAD=60°，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADE，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD+∠ADB=120°，
∵∠CDE=78°，
∴∠ADC+∠ADE=∠ABC+∠ADC=78°，
∴∠CDB+∠CBD=120°-78°=42°，
∴∠BCD=180°-42°=138°，
故答案为：138°．
【分析】连接BD，根据旋转的性质可得△ABC=△ADE，旋转角60°，所以△ABD是等边三角形，∠CDE=78°，∠ABC=∠ADE，可得∠CDB+∠CBD=42°，再根据△BCD内角和180°即可得出答案.
15．【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】设AF=AD=y，DF=x，则AE=4+y，由折叠的性质得：DE=CD=14-x，∠ADC=∠ADE，
∵AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∴∠ADC=∠DFE=∠ADE，
∵∠E=∠E，
∴△DFE ∽△ADE ，
∴，
∴，
整理得： 14x-x2=4y，4y+16 =(14-x)2，
∴14x-x2=(14-x)2-16，
即x2-21x+90=0，
解得：x=6或15(舍去)，
∴DF =6.
故答案为：6．
【分析】设AF=AD=y，DF=x，则AE=4+y，由折叠的性质得：DE=CD=14-x，再由AF=AD，可得∠ADC=∠DFE，可证明 △ DFE∽△ADE，从而得到，继而得到关于x的方程，即可求解.
16．【答案】解：原式=2-1+(-2)+1
=0
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】原式=2-1+(-2)+1
=0
【分析】分别计算、、、然后求解即可.
17．【答案】证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF， ∴EO=FO，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AE=CF.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知可证得四边形AECF 是平行四边形，即可求证 AE=CF.
18．【答案】解： 过P作 PH⊥AB于H， 过C作CG⊥PH于Q， 而 CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，∴QH=BC，BH=CQ，……………2分由题意可得： AP=80， ∠PAH=60°， ∠PCQ=30°， AB=70，
，
∴CQ=BH=70-40=30，
∴大楼的高度BC为52m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键.
19．【答案】（1）200，40
（2）D
（3）解：∵统计表中平均每天阅读时间不低于50分钟的学生人数为65人，
∴E级的比例为：=32.5%，
当总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为：32.5%x2000 =650人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】(1)∵D级的人数为80人，占比为40%，
∴40%xa=80，
∴a=200，
∵C级人数的占比为20%，
∴b= 20%x200=40，
∴a=200，b=40；
(2)∵c=200-5-10-40-80=65，
根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级，它们的平均数也在D等级，故答案为：D等级.
【分析】(1)根据样本容量=频数÷所占百分数，合理选择计算即可.
(2)根据中位数的定义计算即可.
(3)利用样本估计总体的思想计算即可.
20．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为 将 (25， 6) 代入解析式得， k=25×6=150，则函数解析式为
将y=10代入解析式得， 故A(15， 10) ，
设正比例函数解析式为y=nx，将A(15，10)代入上式即可求出n的值，
则正比例函数解析式为
（2）解：当y=2时，反比例函数，解得x=75，则师生至少在75分钟内不能进入教室.
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求0≤x≤15和x＞15的解析式即可；
（2）由求出y=2时x值即可.
21．【答案】（1）证明： 连接BE.
∵AE平分∠BAC， BE平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE， ∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠BED=∠DBE.
∴BD=ED.
（2）解： 连接OC， DC， OD， OD交BC于点F.
∵∠BOD=∠COD=∠BAC，
∴BD=DC.
∵OB=OC，∴OD垂直平分BC.
在 Rt△BDF中，
∴BD=10.
∴DE=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接BE，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠EBC，根据圆周角定理得到∠CAD=∠CBD，求得∠BAE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
（2）连接OC， DC， OD， OD交BC于点F，根据等腰三角形的判定定理得到BD=DC，推出OD垂直平分BC，解直角三角形即可得到结论.
22．【答案】（1）设每个文具B 的进价为m元， 则每个文具 A 的进价为(m-20)元.
依题意， 得200(m-20)+200m=12000.
解得， m=40， 则m-20=20.
答：每个文具A的进价为20元，每个文具B的进价为40元.
（2）因为每个文具A，B的利润率相同，所以 化简， 得z=2x.
文具A 每天的销售利润为： (-x+76)(x-20)， 文具B每天的销售利润为： (-z+80)(z-40).依题意， 得(-x+76)(x-20)=(-z+80)(z-40).
化简，得.
解得， x1=28， x2=20(舍去).
所以x=28.
答：当文具A的销售单价为28元时，两种文具每天销售的总利润相同.
（3）34元.
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(3)由题意可列出每天销售的总利润W=（x-20）（-x+76）+（z-40）（-z+80），由可得2x=z，代入上式得W=-5x2+336x-4720，
∵对称轴为直线x=33.6
∵-5＜0，
∴当x=33.6时，W有最大值，
∵x为整数，且当x=33时，W=923；当x=34时，W=924，
∵923＜924，
∴ 文具A的销售单价为34元.
【分析】（1）设每个文具B 的进价为m元， 则每个文具 A 的进价为(m-20)元.根据购买A文具的费用+购买B文具的费用=12000，列出方程并解之即可；
（2）由每个文具A，B的利润率相同，可得z=2x，则文具A 每天的销售利润为 (-x+76)(x-20)， 文具B每天的销售利润为 (-z+80)(z-40)，根据“ 两种书包每天销售的总利润相同 ”建立方程并解之即可；
（3）由（2）得总利润和为W=（x-20）（-x+76）+（z-40）（-z+80），把z=2x代入得W=-5x2+336x-4720，再利用二次函数的性质求解即可.
23．【答案】（1）证明：过点A作AF | DE交EC的延长线于点F，
∵AF|| DE，
∴∠E=∠F，∠F=∠E，
∵∠ACB+∠E=180°，∠ACB + ∠ACF=180°，
∴∠ACF=∠E=∠F，
∴AC=AF，
∵AB=BD，∠ABF= ∠EBD，
∴△BDE ≌ △BAF
∴DE=AF=AC.
∴m=1.
（2）结论：BE=BD.
证明：过点A作AF |DE交EC的延长线于点F，
∵AF|| DE，
∴AF：DE=AB：BD=m，∠F=∠E，
∵AC：DE=m，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠F
∵∠ACB+ ∠D=180°，∠ACB +∠ACF=180°，
∴∠ACF=∠D=∠F=∠E，
∴BE=BD.
（3）
【知识点】全等三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】(3)在BC上取一点F，使得AF=AC.作FH⊥ AB于H.
∵AF=AC，
∴∠AFC=∠ACF，
∵∠ACF + ∠BDE=180°，∠AFC + ∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠EDB，
∵∠B=∠B，
∴△EDB ≌△AFB，
∴BF=BD=2，
在Rt△BHF中，∵∠B=60°，
∴∠HFB=30°，
∴BH =BF=1，FH =HB =，
∵AB=6，
∴AH=5，
在Rt△AFH中，
AF = =.
∴AC=AF=.
【分析】(1)过点A作AF∥DE交EC的延长线于点F，构造全等三角形证明AC=DE即可解决问题；
(2)结论：BE =BD.过点A作 AF∥DE交EC的延长线于点F，证明∠D=∠E 即可解决问题；
(3)在BC上取一点F，使得AF=AC.作FH⊥AB于H，只要证明BF=BD=2，解直角三角形即可解决问题.
24．【答案】（1）解：将(0， 0) 和(-4， 0) 两点坐标代入 得 解得 ∴抛物线解析式 .
（2）解：如图(1) ， 设直线AB交y轴于点P， 分别过点 A， B 作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为a，b.∵△AOB的面积是
而
联立方程组
.
（3）解：如图(2)，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，
设A，B两点坐标分别为
化简得
联立方程组
∴m+n=2k-4， mn=-2d，
∴d=4k+2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)依据题意，利用待定系数法即可求解；
(2)如图1， 设直线AB交y轴于点P， 分别过点 A， B 作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为a，b. 根据△AOB的面积是 可得，联立方程组 可得，即可求解；
(3)分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，证明，根据相似三角形的性质得，设A，B两点坐标分别为 得到联立方程组 得 由根与系数的关
系得m +n= 2k-4，mn = -2b，进而可得解.
1 / 1湖北省2023-2024学年九年级下学期数学第四次模拟检测
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．（2024·湖北模拟） 下列实数中，比-2 小的数是
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】 ∵-3＜-2＜-1＜0＜1，∴ 比-2 小的数是 -3.
故答案为：A．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可.
2．（2024·湖北模拟） 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】A、 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，A错误；
B、 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，B正确；
C、 是轴对称图形，不是中心对称图形 ，C错误；
D、 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.
3．（2024·湖北模拟） 实数a，b，c满足a>b且acA． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】因为 a>b且acA、不满足c＜0，A错误；
B、不满足a>b，B错误；
C、符合a>b，c＜0，C正确；
D、不满足c＜0，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负，再确定符合条件的对应点的大致位置.
4．（2024·湖北模拟） 下列各式计算结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】 A、，A错误；
B、 ，B正确；
C、 ，C错误；
D、 ，D错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查整式的运算.
5．（2024·湖北模拟） 下列说法正确的是
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．购买一张彩票中奖是随机事件
D．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；方差
【解析】【解答】 A、了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；
B、 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 说明甲的跳远成绩比乙稳定 ，B错误；
C、 购买一张彩票中奖是随机事件 ，C正确；
D、 可能性是 1%的事件在一次试验中可能会发生 ，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键.
6．（2024·湖北模拟） 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交直线l1， l2于B， C两点， 连结AC， BC. 若∠ABC=70°， 则∠1的大小是
A．30° B．35° C．40° D．70°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵ 点A为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交直线l1， l2于B， C两点，
∴AC=AB，
∴∠CBA=∠BCA=70°，
∵ l1∥l2 ，
∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°
∴∠1=180°-70°-70°=40°.
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质求解即可.
7．（2024·湖北模拟） 从不透明的袋子中进行摸球游戏，这些球除颜色外其他都相同，小红根据游戏规则，作出如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是
A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球
C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球
D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3 个球
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】观察树状图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球.
故答案为：A．
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，解题关键在于利用树状图进行解答.
8．（2024·湖北模拟） 如图，将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
9．（2024·湖北模拟） 如图， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AD⊥AB，以D为圆心， AD为半径的弧恰好与BC相切， 切点为E， 若AB=1， BC=3， 则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接DE，DB，
∵BC为切线，BA为切线，
∴BE=AB=1，∠ABD=∠EBD，∠BED=∠CED=90°，
∵ AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠EBD=∠BDC，
∴CD=BC=3，CE=BC-BE=3-1=2，
∴DE=，
∴AD=DE=，
∴ 阴影部分的面积=梯形ABCD的面积- 扇形面积=（1+3）×-π·（）2=.
故答案为：C.
【分析】连接DE，DB，由切线长定理可得BE=AB=1，∠ABD=∠EBD，由平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，即得∠EBD=∠BDC，可得CD=BC=3，CE=BC-BE=2，由勾股定理求出DE的长，可得AD的长，根据阴影部分的面积=梯形ABCD的面积- 扇形面积进行计算即可.
10．（2024·湖北模拟） 已知二次函数. (a，b为常数).下列命题
①该函数的图象经过点(1，0)；
②该函数的图象经过点 (3，0)；
③该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
④该函数的图象的对称轴为直线x=1.
如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】假设抛物线的对称轴为直线x = 1，则，解得a =-2，
∵函数的图象经过点(3，0)，
∴3a+b+9=0，
解得b= -3， 故抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
当y = 0时，得x2-2x-3=0，
解得x = 3或x = -1，
故抛物线与x轴的交点为(-1，0)和(3，0)，函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法.
二、填空题(共5题,每题3分,共15分)
11．（2024·湖北模拟） 计算 的结果是 .
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】原式=
=
=.
故答案为：．
【分析】本题主要考查分式的减法法则，解决本题的关键是要熟练掌握分式的减法法则.
12．（2024·湖北模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每3 人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有 人乘车.
【答案】39
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】设共有x人，根据题意得：+2=，去分母得：2x+12=3x-27，解得：x=39.
故答案为：39．
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可.
13．（2024·湖北模拟） 若点A(a-1， y1)， B(a+1， y2)在反比例函数 的图象上， 且y1>y2，则a的取值范围是 .
【答案】a<-1或a>1
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵a-1＜a+1， 且y1>y2，
∴反比例函数的性质是y随x的增大而减小，
∴反比例函数 的图象分布在一、三象限，
当点A、B在同一象限时，a+1＜0或a-1＞0，解得a＜-1或a＞1，
当点A、B不在同一象限时，y1＜y2，不符合题意.
故答案为：a<-1或a>1．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可.
14．（2024·湖北模拟） 如图， 将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， 连接CD. 若∠CDE=78°， 则∠BCD的大小是 .
【答案】138°
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】连接BD，如图所示：
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，∠BAD=60°，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADE，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD+∠ADB=120°，
∵∠CDE=78°，
∴∠ADC+∠ADE=∠ABC+∠ADC=78°，
∴∠CDB+∠CBD=120°-78°=42°，
∴∠BCD=180°-42°=138°，
故答案为：138°．
【分析】连接BD，根据旋转的性质可得△ABC=△ADE，旋转角60°，所以△ABD是等边三角形，∠CDE=78°，∠ABC=∠ADE，可得∠CDB+∠CBD=42°，再根据△BCD内角和180°即可得出答案.
15．（2024·湖北模拟） 如图， 点D是△ABC的边 BC上的一点， △ADC沿AD翻折， 点C落在点E处， AE与BC相交于 F点， 若EF=4， CF=14， AF=AD， 则FD的长是 .
【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】设AF=AD=y，DF=x，则AE=4+y，由折叠的性质得：DE=CD=14-x，∠ADC=∠ADE，
∵AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∴∠ADC=∠DFE=∠ADE，
∵∠E=∠E，
∴△DFE ∽△ADE ，
∴，
∴，
整理得： 14x-x2=4y，4y+16 =(14-x)2，
∴14x-x2=(14-x)2-16，
即x2-21x+90=0，
解得：x=6或15(舍去)，
∴DF =6.
故答案为：6．
【分析】设AF=AD=y，DF=x，则AE=4+y，由折叠的性质得：DE=CD=14-x，再由AF=AD，可得∠ADC=∠DFE，可证明 △ DFE∽△ADE，从而得到，继而得到关于x的方程，即可求解.
三、解答题(共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（2024·湖北模拟） 计算：
【答案】解：原式=2-1+(-2)+1
=0
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】原式=2-1+(-2)+1
=0
【分析】分别计算、、、然后求解即可.
17．（2024·湖北模拟）如图， 平行四边形ABCD的对角线AC， BD相交于点O， 点E， F在对角线BD上， 且BE=FD， 连接AE， EC， CF， FA.
求证： AE=CF.
【答案】证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF， ∴EO=FO，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AE=CF.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知可证得四边形AECF 是平行四边形，即可求证 AE=CF.
18．（2024·湖北模拟） 如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80m，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70m(点A， B， C， P在同一平面内)， 求大楼的高度 BC(结果精确到1m，参考数据：
【答案】解： 过P作 PH⊥AB于H， 过C作CG⊥PH于Q， 而 CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，∴QH=BC，BH=CQ，……………2分由题意可得： AP=80， ∠PAH=60°， ∠PCQ=30°， AB=70，
，
∴CQ=BH=70-40=30，
∴大楼的高度BC为52m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键.
19．（2024·湖北模拟）在“4·23世界读书日”来临之际，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取a名学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t(单位：分钟)，将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整的统计图表.
平均每天阅读时间统计表 平均每天阅读时间扇形统计图
等级 人数
A (t<20) 5
B (20≤t<30) 10
C (30≤t<40) b
D (40≤t<50) 80
E (t≥50) c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1） 直接写出a， b的值；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 ；
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校学生以2000人计算，估计可评为“阅读达人”的学生人数.
【答案】（1）200，40
（2）D
（3）解：∵统计表中平均每天阅读时间不低于50分钟的学生人数为65人，
∴E级的比例为：=32.5%，
当总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为：32.5%x2000 =650人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】(1)∵D级的人数为80人，占比为40%，
∴40%xa=80，
∴a=200，
∵C级人数的占比为20%，
∴b= 20%x200=40，
∴a=200，b=40；
(2)∵c=200-5-10-40-80=65，
根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级，它们的平均数也在D等级，故答案为：D等级.
【分析】(1)根据样本容量=频数÷所占百分数，合理选择计算即可.
(2)根据中位数的定义计算即可.
(3)利用样本估计总体的思想计算即可.
20．（2024·湖北模拟）据媒体报道，近期流感可能进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行“薰药消毒”。已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关.系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）求室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的函数关.系；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，直接写出从消毒开始，师生不能进入教室的时间.
【答案】（1）解：设反比例函数解析式为 将 (25， 6) 代入解析式得， k=25×6=150，则函数解析式为
将y=10代入解析式得， 故A(15， 10) ，
设正比例函数解析式为y=nx，将A(15，10)代入上式即可求出n的值，
则正比例函数解析式为
（2）解：当y=2时，反比例函数，解得x=75，则师生至少在75分钟内不能进入教室.
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求0≤x≤15和x＞15的解析式即可；
（2）由求出y=2时x值即可.
21．（2024·湖北模拟）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
（1） 求证： DE=DB；
（2） 若 求DE 的长.
【答案】（1）证明： 连接BE.
∵AE平分∠BAC， BE平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE， ∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠BED=∠DBE.
∴BD=ED.
（2）解： 连接OC， DC， OD， OD交BC于点F.
∵∠BOD=∠COD=∠BAC，
∴BD=DC.
∵OB=OC，∴OD垂直平分BC.
在 Rt△BDF中，
∴BD=10.
∴DE=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接BE，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠EBC，根据圆周角定理得到∠CAD=∠CBD，求得∠BAE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
（2）连接OC， DC， OD， OD交BC于点F，根据等腰三角形的判定定理得到BD=DC，推出OD垂直平分BC，解直角三角形即可得到结论.
22．（2024·湖北模拟）某商场用12000元购进A，B两种文具各200个，文具A 比文具B的进价少20元. 在销售过程中发现，文具A每天的销量y1(单位：个)与其销售单价x(单位：元)有如下关系： 文具B每天的销量y2(单位：个)与其销售单价z(单位：元)有如下关系： ，其中x，z均为整数.商场按照每个文具A 和每个文具B的利润率相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价.
（1） 求两种文具的进价；
（2）当文具A的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；
（3）当这两种文具每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时文具A的销售单价.
【答案】（1）设每个文具B 的进价为m元， 则每个文具 A 的进价为(m-20)元.
依题意， 得200(m-20)+200m=12000.
解得， m=40， 则m-20=20.
答：每个文具A的进价为20元，每个文具B的进价为40元.
（2）因为每个文具A，B的利润率相同，所以 化简， 得z=2x.
文具A 每天的销售利润为： (-x+76)(x-20)， 文具B每天的销售利润为： (-z+80)(z-40).依题意， 得(-x+76)(x-20)=(-z+80)(z-40).
化简，得.
解得， x1=28， x2=20(舍去).
所以x=28.
答：当文具A的销售单价为28元时，两种文具每天销售的总利润相同.
（3）34元.
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(3)由题意可列出每天销售的总利润W=（x-20）（-x+76）+（z-40）（-z+80），由可得2x=z，代入上式得W=-5x2+336x-4720，
∵对称轴为直线x=33.6
∵-5＜0，
∴当x=33.6时，W有最大值，
∵x为整数，且当x=33时，W=923；当x=34时，W=924，
∵923＜924，
∴ 文具A的销售单价为34元.
【分析】（1）设每个文具B 的进价为m元， 则每个文具 A 的进价为(m-20)元.根据购买A文具的费用+购买B文具的费用=12000，列出方程并解之即可；
（2）由每个文具A，B的利润率相同，可得z=2x，则文具A 每天的销售利润为 (-x+76)(x-20)， 文具B每天的销售利润为 (-z+80)(z-40)，根据“ 两种书包每天销售的总利润相同 ”建立方程并解之即可；
（3）由（2）得总利润和为W=（x-20）（-x+76）+（z-40）（-z+80），把z=2x代入得W=-5x2+336x-4720，再利用二次函数的性质求解即可.
23．（2024·湖北模拟） 问题背景 如图(1)， 点D是△ABC边BC上一点， 且∠ACB+∠ADB=180°， 则AD=AC.
问题解决 点D， E分别为△ABC中AB边， BC边所在直线上的动点， AB=nBD， AC=mED.
（1） （2） （3） （4）
（1） 如图(2) ， 若n=1， ∠ACB+∠BDE=180°时， 求证： m=1；
（2） 如图(3)， 若m=n， ∠ACB+∠BDE=180°时， 试探究BD与BE的数量关系， 并证明；
（3） 如图(4) ， 若∠ABC=60°， ∠ACB+∠BDE=180°， n=3， m=1， BD=2， 直接写出AC的长.
【答案】（1）证明：过点A作AF | DE交EC的延长线于点F，
∵AF|| DE，
∴∠E=∠F，∠F=∠E，
∵∠ACB+∠E=180°，∠ACB + ∠ACF=180°，
∴∠ACF=∠E=∠F，
∴AC=AF，
∵AB=BD，∠ABF= ∠EBD，
∴△BDE ≌ △BAF
∴DE=AF=AC.
∴m=1.
（2）结论：BE=BD.
证明：过点A作AF |DE交EC的延长线于点F，
∵AF|| DE，
∴AF：DE=AB：BD=m，∠F=∠E，
∵AC：DE=m，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠F
∵∠ACB+ ∠D=180°，∠ACB +∠ACF=180°，
∴∠ACF=∠D=∠F=∠E，
∴BE=BD.
（3）
【知识点】全等三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】(3)在BC上取一点F，使得AF=AC.作FH⊥ AB于H.
∵AF=AC，
∴∠AFC=∠ACF，
∵∠ACF + ∠BDE=180°，∠AFC + ∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠EDB，
∵∠B=∠B，
∴△EDB ≌△AFB，
∴BF=BD=2，
在Rt△BHF中，∵∠B=60°，
∴∠HFB=30°，
∴BH =BF=1，FH =HB =，
∵AB=6，
∴AH=5，
在Rt△AFH中，
AF = =.
∴AC=AF=.
【分析】(1)过点A作AF∥DE交EC的延长线于点F，构造全等三角形证明AC=DE即可解决问题；
(2)结论：BE =BD.过点A作 AF∥DE交EC的延长线于点F，证明∠D=∠E 即可解决问题；
(3)在BC上取一点F，使得AF=AC.作FH⊥AB于H，只要证明BF=BD=2，解直角三角形即可解决问题.
24．（2024·湖北模拟） 如图，抛物线 经过(0， 0) 和(-4， 0)两点， 直线AB：y=kx+d交抛物线于A， B两点.
（1） （2）
（1）求抛物线的解析式；
（2） 如图(1) ， 若k<0， d=-4， △AOB的面积是. 求k的值；
（3）如图2，若∠AOB是直角，求原点O到AB距离的最大值.
【答案】（1）解：将(0， 0) 和(-4， 0) 两点坐标代入 得 解得 ∴抛物线解析式 .
（2）解：如图(1) ， 设直线AB交y轴于点P， 分别过点 A， B 作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为a，b.∵△AOB的面积是
而
联立方程组
.
（3）解：如图(2)，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，
设A，B两点坐标分别为
化简得
联立方程组
∴m+n=2k-4， mn=-2d，
∴d=4k+2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)依据题意，利用待定系数法即可求解；
(2)如图1， 设直线AB交y轴于点P， 分别过点 A， B 作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为a，b. 根据△AOB的面积是 可得，联立方程组 可得，即可求解；
(3)分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，证明，根据相似三角形的性质得，设A，B两点坐标分别为 得到联立方程组 得 由根与系数的关
系得m +n= 2k-4，mn = -2b，进而可得解.
1 / 1
