山东省威海市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．（2024·威海）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10
【答案】C
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵|10|>|+7|>|-5|>|-3|，
∴最接近标准质量的是C.
故答案为：C.
【分析】比较各数的绝对值的大小，选择绝对值最小值即可求解.
2．（2024·威海）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣8
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：百万分之一=0.000001=1×10-6.
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0数字前面的“0”的个数决定.
3．（2024·威海）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣（﹣2） C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-（-2）=2，
∴，
∴最小的数是-2.
故答案为：A.
【分析】利用“正数大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小”把这几个数从小到大排列，即可求解.
4．（2024·威海）下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10 B．m+n2
C．a6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a5
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算；分式的乘法
【解析】【解答】解：A、x5+x5=2x5，故A错误；
B、，B错误；
C、a6÷a2=a4，C正确；
D、(-a2)3=-a6，D错误.
故答案为：C.
【分析】利用“合并同类项、分式的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方”法则逐项进行计算即可.
5．（2024·威海）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、三视图如下图，A不符合题意；
B、三视图如下图，B不符合题意；
C、三视图如下图，C不符合题意；
D、三视图如下图，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据小正方体组合体的三视图逐项判断即可.
6．（2024·威海）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵CE⊥AO，ED⊥OB，∠AOB=90°，
∴∠OCE=∠ODE=∠AOB=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴，
∴，
∵点C是AO的中点，AO=OE，
∴2CO=OE，
在中，，
∴∠COE=60°，
∴∠BOE=∠AOB-∠COE=90°-60°=30°，
设扇形AOB的半径为r，
∴，，
∴点P落在阴影部分的概率为.
故答案为：B.
【分析】易证四边形OCED是矩形，从而得，求出，接下来利用特殊角的三角函数值求出∠COE=60°，从而得∠BOE=30°，设扇形AOB的半径为r，根据扇形的面积公式求出阴影部分、扇形AOB的面积，最后利用概率公式进行计算即可.
7．（2024·威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3
C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，得3+m=-1，5+n=2，
解得m=-4，n=-3.
故答案为：B.
【分析】根据题意中的运算法则可得3+m=-1，5+n=2，解方程即可.
8．（2024·威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？
若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
9．（2024·威海）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．若，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
A、∵，
∴，
∵∠ECF=∠BCD，
∴，
∴∠CEF=∠CBD，
∴EF∥BD，A正确；
B、∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，
∴AC平分∠BCD，∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACD=∠DAC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
在和中，
，
∴，
∴CE=CF，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴∠OGF=90°，
∴∠OGF=∠AOD，
∴EF∥BD，B正确；
C、∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵EF∥BD，
∴∠CBD=∠CEF，∠CDB=∠CFE，∠AOD=∠OGF，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠OGF=90°，
又∵CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴∠EAC=∠FAC，C正确；
D、∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，
∴要使EF∥BD，则需添加条件CE=CF，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形性质得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC.根据相似三角形的判定定理得，从而有∠CEF=∠CBD，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对A作出判断；根据角平分线的判定定理得AC平分∠BCD，然后结合平行线的性质证出∠ACD=∠DAC，从而有DA=DC，进而得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质有∠AOD=90°，接下来利用证，得CE=CF，从而有AC垂直平分EF，得∠OGF=∠AOD=90°，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对B作出判断；根据等腰三角形性质、平行线性质得∠CBD=∠CDB，∠AOD=∠OGF，从而有CB=CD，证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得∠AOD=∠OGF=90°，从而有AC垂直平分EF，得AE=AF，进而求出∠EAC=∠FAC，可对C作出判断；
先证四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，所以要使EF∥BD，需添加条件”CE=CF“，可对D作出判断.
10．（2024·威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟
【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：如图，D点表示乙车休息，E点表示两车相遇，F点表示乙车继续行驶，
∴乙车中途休息时间为：3-2=1（h），D错误；
在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，
∴甲车的速度为，C错误；
∴A、C两地相距4×60=240（km），B错误；
设乙车休息前的速度为xkm/h，
∴2×60+（40-20）=2x，
解得x=70km/h，即乙车休息前的速度为70km/h，
设甲车行驶yh与乙车相遇，
∴60y=70×2+20，
解得，A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象得D、E、F三点所包含的信息，从而有乙车休息时间，在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，从而得甲车的速度，进而有A、C两地的距离，设乙车休息前的速度为xkm/h，观察函数图象得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙车休息前的速度，接下来设甲车行驶yh与乙车相遇，观察函数图象，列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得两车相遇的时间.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．（2024·威海）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先利用二次根式的乘法法则进行计算，再进行二次根式的化简，最后合并同类二次根式即可.
12．（2024·威海）因式分解：（x+2）（x+4）+1＝ ．
【答案】（x+3）2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：(x+2）(x+4)+1=x2+6x+9=(x+3)2.
故答案为：(x+3)2.
【分析】先利用整式乘法的运算法则整理算式，最后利用完全平方公式进行因式分解.
13．（2024·威海）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ .
【答案】50°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在正六边形ABCDEF中，，
∵AH∥FG，
∴∠GFA+∠FAH=180°，
∴∠EFG+∠BAI=∠EFA+∠FAB-（∠GFA+∠FAH）=120°+120°-180°=60°，
∵∠EFG=20°，
∴∠BAI=40°，
∵BI⊥AH，
∴∠AIB=90°，
∴∠ABI=90°-40°=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据正多边形的性质、多边形内角和得∠EFA=∠FAB=120°，然后”两直线平行，同旁内角互补“得∠GFA+∠FAH=180°，从而有∠EFG+∠BAI=60°，进而求出∠BAI=40°，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABI的度数.
14．（2024·威海）计算： ．
【答案】-x-2
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：-x-2.
【分析】先通分，再根据分式的加减法法则进行计算即可.
15．（2024·威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ．
【答案】-1≤x＜0或x≥2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵两函数交点为A（-1，m），B（2，-1），
∴满足y1≤y2的x的取值范围是-1≤x<0或x≥2.
故答案为：-1≤x＜0或x≥2.
【分析】根据两函数的图象以及交点横坐标即可得出答案.
16．（2024·威海）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E．若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，则DN＝ ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，
∵BM=3，BC'=4，
∴根据勾股定理得，
∵AC'=3，
∴CD=AB=AC'+BC'=3+4=7，BM=AC'，
∵折叠的性质，
∴∠EC'M=∠C=∠D'=∠D=90°，CM=C'M=5，C'D'=CD=7，DN=D'N，
∴AD=BC=BM+CM=3+5=8，
∵∠EC'M=90°，∠A=90°，
∴∠AC'E+∠BC'M=∠AC'E+∠AEC'=90°，
∴∠BC'M=∠AEC'，
在和中，
，
∴，
∴C'E=C'M=5，AE=BC'=4，
∴D'E=C'D'-C'E=7-5=2，
设DN=D'N=x，
∴EN=AD-AE-DN=8-4-x=4-x，
在中，根据勾股定理得，x2+22=(4-x)2，
解得，即.
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质，利用勾股定理求出CM=C'M=5，AB=CD=C'D'=7，BC=AD=8，∠A=∠B=∠C=∠D=∠EC'M=∠D'=90°，接下来利用”一线三垂直“模型得，从而有C'E=C'M=5，AE=BC'=4，求出D'E=2，设DN=D'N=x，得EN=4-x，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（2024·威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦 时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦 时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦 时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
【答案】解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦 时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦 时，
根据题意得：，
解得：x＝96，
经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，
∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦 时），
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦 时．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦 时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦 时，根据A、B型节能灯的数量相同列出关于x的分式方程，解分式方程，经检验得x的值，从而代入求2x-32的值即可求解.
18．（2024·威海）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．
表1：2月份测试成绩统计表
个数 0 1 3 6 8 10
人数 4 8 4 1 2 1
表2：本学期测试成绩统计表
平均数/个 众数/个 中位数/个 合格率
2月 2.6 a 1 20%
3月 3.1 3 4 25%
4月 4 4 5 35%
5月 4.55 5 5 40%
6月 b 8 6 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；
（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
【答案】（1）解：6月测试成绩中，引体向上3个的人数为20-4-1-6-4＝5（人），补充统计图如下：
∴，，
根据表2可得a＝1；
（2）解：本次引体向上训练活动的效果明显，理由如下：
从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，
从中位数看，引体向上个数逐月增加，
从众数看，引体向上的个数越来越大（答案不唯一，合理即可）；
（3）解：400×55%＝220（人），
答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数约220人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）观察图1，用总人数减去引体向上个数不为3个的其他人数，从而求出引体向上3个的人数，进而补充完整图1，利用平均数、众数的定义求出b、a的值，根据题意计算出合格率c；
（2）可从平均数、众数、中位数、合格率入手进行分析；
（3）根据样本估计总体，用样本中的合格率×八年级男生人数即可求解.
19．（2024·威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ▲ ．
【答案】（1）解：需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）解：过点A作AM⊥CB于点M，
∴∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴∠DEC=∠AMB=90°，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴，即，
∴，
∴；
（3）①
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：（3）解：∵，∴按键顺序为2ndF，sin，0， ，8，6，＝，
故答案为：①．
【分析】（1）根据题意，选择需要的数据即可；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，根据垂直的定义得∠DEC=∠AMB=90°，由“同位角相等，两直线平行”得DE∥AM，从而证出△CDE∽△CAM，根据相似三角形的性质得，代入求出，最后根据正弦的定义求出sinα的值即可；
（3）由（2）有，即可确定计算器的按键顺序.
20．（2024·威海）
（1）感悟 如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．
（2）应用 ：
①如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；
②如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BE于点H，
∵AB＝AE，
∴AH平分∠BAE，BH=EH，
∴∠BAH＝∠EAH，
∵BC＝DE，
∴CH=DH，
∴AH垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AH平分∠CAD，
∴∠CAH＝∠DAH，
∴∠BAC＝∠DAE；
（2）解：①如图2，点D，E即为所求；
②如图3，点D，E即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-平行线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的“三线合一”得AH平分∠BAE，BH=EH，从而有∠BAH=∠EAH，CH=DH，进而求出AH垂直平分CD，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”的AH平分∠CAD，利用角平分线的定义得∠CAH＝∠DAH，最后根据角的和差关系即可得证；
（2）①由（1）可知，以A为圆心，AB、AC分别为半径作圆交BC于点E、D即可求解；
②延长AC，在延长线上取一点D，使DC=AC，接下来作∠CDE=∠BAC即可求解.
21．（2024·威海）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．
应用 如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】（1）解：设经过t秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，
根据题意，得：|（-3+t）-（12-2t）|＝3，
解得：t＝4或t＝6，
答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）解：设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，
根据题意，得：y＝|-3+x|+|12-2x|，
当x≤3时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝3-x+12-2x＝-3x+15，
∵-3<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y值最小，为6，
当3＜x<6时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x+12-2x＝-x+9，
当x≥6时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x-12+2x＝3x-15，
∵3>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y值最小，为3，
综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值
【解析】【分析】（1）设经过t秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，根据题意列出关于t的方程，解方程求出t的值即可求解；
（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，先根据题意表示出y，再分类讨论，利用一次函数的增减性求y的最小值.
22．（2024·威海）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BC＝CD，
∴，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AF，
∴∠OCE＝∠F，
∵EH平分∠FEG，
∴2∠FEH＝2∠GEH=∠FEG，
∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEG＝∠F+∠BAF，
∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，
∵∠BAF=2∠BAC，
∴2∠H＝∠F，
∵∠H=45°，
∴∠F=90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠BCE＝∠OAC，
∵∠CEB＝∠CEA，
∴△BCE∽△CAE，
∵BE=2，CE=4，
∴，
∴CE2＝BE AE，即16＝2AE，
解得AE＝8，
∴AB＝8-2＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，，
根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即5BC2=36，
解得，
∴，
∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，
∴△FAC∽△CAB，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理得得∠OAC＝∠DAC，从而有OC∥AF，进而得∠OCE＝∠F，根据角平分线的定义、三角形外角的性质得2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，从而有2∠H＝∠F=∠OCE=90°，最后根据切线的判定定理得证；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而得∠ACO=∠BCE，根据等腰三角形的性质得∠ACO＝∠OAC，从而有∠BCE＝∠OAC，根据相似三角形的判定定理证得△BCE∽△CAE，由相似三角形的性质得，从而有CE2＝BE AE，进而求出AE=8，然后求出AB=6，接下来利用勾股定理得5BC2=36，解方程求出BC的长，从而求AC的长，根据相似三角形的判定定理得△FAC∽△CAB，由相似三角形的性质得，最后代入计算出AF即可.
23．（2024·威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．
（1）求证：BE＝EF；
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．
【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCF＝60°，
∵∠DEF=60°，
∴∠DEF=∠DCF，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，
∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF＝∠DCF，
∴∠CDE＝∠CFE，
∴∠CBE＝∠CFE，
∴BE＝EF；
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，
∴∠ENC＝90°，
∵BE＝EF，
∴BF＝2BN，
∵四边形ABCD为菱形，AB=10，
∴ВС＝АВ＝10，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ECN＝60°，ВС＝АВ＝AC=10，
∵CE＝2x，
∴，，
∴BN＝BC-CN＝10-x，
∴BF＝2（10-x），
∴，
∵0＜2x≤10，
∴0＜x≤5，
∴；
（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，
∴DE＝EF，
∵∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF=EF，
∴BE＝DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，
由（2）有△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝10，
∵BE⊥AC，
∴，
∵CE=2x，
∴2x=5，
解得，
∴当时，线段DF的长度最短．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系
24．（2024·威海）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2 x3+x4；②x1﹣x3 x2﹣x4；③x2+x3 x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．
【答案】（1）＝；＜；＞
（2）解：∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2+x1＜4，
∴3＜﹣b＜4，
∴﹣4＜b＜﹣3；
（3）解：抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为，对称轴为直线，
当x＝0时，y＝c，当x＝1时，y＝1+b+c，
∵抛物线开口向上，所以分以下情况讨论：
若不在0≤x≤1 内：
①当x＝0时，y取得最大值，当x＝1时，y取得最小值，有，
解得；
若在0≤x≤1 内：
②当x＝0时，y取得最大值，在顶点取得最小值，
有，
解得（舍去）或；
③当x＝1时，y取得最大值，在顶点取得最小值，
有，
解得（舍去）或，
综上所述，b的值为或或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
∴x1+x2=-b，
∵抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），
∴x3+x4=-b，
∴x1+x2=x3+x4，
∵抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)是由抛物线y=x2+bx+c(b<0)向上平移1个单位得到的，且x1∴x1∴x2-x1>x4-x3，
∴x1-x3x1+x4，
故答案为：=，<，>.
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=x3+x4=-b，根据二次函数的平移规律可知抛物线y1=x2+bx+c+1由抛物线y=x2+bx+c向上平移1个单位得到，接下来利用二次函数的图象性质得x1x4-x3，进而将不等式进行变形即可求解；
（2）根据题意得，3＜x2+x1＜4，由（1）有x1+x2=-b，然后利用不等式的性质即可求解；
（3）先求出抛物线的顶点坐标，对称轴直线，当x=0或1时，y的取值，接下来进行分类讨论：①若不在0≤x≤1 内，则当x＝0时，y取得最大值，当x＝1时，y取得最小值；②若在0≤x≤1 内，则当x＝0时，y取得最大值，在顶点取得最小值；③若在0≤x≤1 内，还存在当x＝1时，y取得最大值，在顶点取得最小值，由这3种情况得关于b的方程，解方程即可求解.
1 / 1山东省威海市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．（2024·威海）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10
2．（2024·威海）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣8
3．（2024·威海）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣（﹣2） C． D．
4．（2024·威海）下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10 B．m+n2
C．a6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a5
5．（2024·威海）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·威海）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3
C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
8．（2024·威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？
若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·威海）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．若，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
10．（2024·威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．（2024·威海）计算： ．
12．（2024·威海）因式分解：（x+2）（x+4）+1＝ ．
13．（2024·威海）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ .
14．（2024·威海）计算： ．
15．（2024·威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ．
16．（2024·威海）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E．若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，则DN＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（2024·威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦 时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦 时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦 时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
18．（2024·威海）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．
表1：2月份测试成绩统计表
个数 0 1 3 6 8 10
人数 4 8 4 1 2 1
表2：本学期测试成绩统计表
平均数/个 众数/个 中位数/个 合格率
2月 2.6 a 1 20%
3月 3.1 3 4 25%
4月 4 4 5 35%
5月 4.55 5 5 40%
6月 b 8 6 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；
（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
19．（2024·威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ▲ ．
20．（2024·威海）
（1）感悟 如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．
（2）应用 ：
①如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；
②如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．
21．（2024·威海）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．
应用 如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
22．（2024·威海）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
23．（2024·威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．
（1）求证：BE＝EF；
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．
24．（2024·威海）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2 x3+x4；②x1﹣x3 x2﹣x4；③x2+x3 x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵|10|>|+7|>|-5|>|-3|，
∴最接近标准质量的是C.
故答案为：C.
【分析】比较各数的绝对值的大小，选择绝对值最小值即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：百万分之一=0.000001=1×10-6.
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0数字前面的“0”的个数决定.
3．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-（-2）=2，
∴，
∴最小的数是-2.
故答案为：A.
【分析】利用“正数大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小”把这几个数从小到大排列，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算；分式的乘法
【解析】【解答】解：A、x5+x5=2x5，故A错误；
B、，B错误；
C、a6÷a2=a4，C正确；
D、(-a2)3=-a6，D错误.
故答案为：C.
【分析】利用“合并同类项、分式的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方”法则逐项进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、三视图如下图，A不符合题意；
B、三视图如下图，B不符合题意；
C、三视图如下图，C不符合题意；
D、三视图如下图，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据小正方体组合体的三视图逐项判断即可.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵CE⊥AO，ED⊥OB，∠AOB=90°，
∴∠OCE=∠ODE=∠AOB=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴，
∴，
∵点C是AO的中点，AO=OE，
∴2CO=OE，
在中，，
∴∠COE=60°，
∴∠BOE=∠AOB-∠COE=90°-60°=30°，
设扇形AOB的半径为r，
∴，，
∴点P落在阴影部分的概率为.
故答案为：B.
【分析】易证四边形OCED是矩形，从而得，求出，接下来利用特殊角的三角函数值求出∠COE=60°，从而得∠BOE=30°，设扇形AOB的半径为r，根据扇形的面积公式求出阴影部分、扇形AOB的面积，最后利用概率公式进行计算即可.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，得3+m=-1，5+n=2，
解得m=-4，n=-3.
故答案为：B.
【分析】根据题意中的运算法则可得3+m=-1，5+n=2，解方程即可.
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
A、∵，
∴，
∵∠ECF=∠BCD，
∴，
∴∠CEF=∠CBD，
∴EF∥BD，A正确；
B、∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，
∴AC平分∠BCD，∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACD=∠DAC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
在和中，
，
∴，
∴CE=CF，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴∠OGF=90°，
∴∠OGF=∠AOD，
∴EF∥BD，B正确；
C、∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵EF∥BD，
∴∠CBD=∠CEF，∠CDB=∠CFE，∠AOD=∠OGF，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠OGF=90°，
又∵CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴∠EAC=∠FAC，C正确；
D、∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，
∴要使EF∥BD，则需添加条件CE=CF，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形性质得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC.根据相似三角形的判定定理得，从而有∠CEF=∠CBD，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对A作出判断；根据角平分线的判定定理得AC平分∠BCD，然后结合平行线的性质证出∠ACD=∠DAC，从而有DA=DC，进而得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质有∠AOD=90°，接下来利用证，得CE=CF，从而有AC垂直平分EF，得∠OGF=∠AOD=90°，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对B作出判断；根据等腰三角形性质、平行线性质得∠CBD=∠CDB，∠AOD=∠OGF，从而有CB=CD，证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得∠AOD=∠OGF=90°，从而有AC垂直平分EF，得AE=AF，进而求出∠EAC=∠FAC，可对C作出判断；
先证四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，所以要使EF∥BD，需添加条件”CE=CF“，可对D作出判断.
10．【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：如图，D点表示乙车休息，E点表示两车相遇，F点表示乙车继续行驶，
∴乙车中途休息时间为：3-2=1（h），D错误；
在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，
∴甲车的速度为，C错误；
∴A、C两地相距4×60=240（km），B错误；
设乙车休息前的速度为xkm/h，
∴2×60+（40-20）=2x，
解得x=70km/h，即乙车休息前的速度为70km/h，
设甲车行驶yh与乙车相遇，
∴60y=70×2+20，
解得，A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象得D、E、F三点所包含的信息，从而有乙车休息时间，在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，从而得甲车的速度，进而有A、C两地的距离，设乙车休息前的速度为xkm/h，观察函数图象得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙车休息前的速度，接下来设甲车行驶yh与乙车相遇，观察函数图象，列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得两车相遇的时间.
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先利用二次根式的乘法法则进行计算，再进行二次根式的化简，最后合并同类二次根式即可.
12．【答案】（x+3）2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：(x+2）(x+4)+1=x2+6x+9=(x+3)2.
故答案为：(x+3)2.
【分析】先利用整式乘法的运算法则整理算式，最后利用完全平方公式进行因式分解.
13．【答案】50°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在正六边形ABCDEF中，，
∵AH∥FG，
∴∠GFA+∠FAH=180°，
∴∠EFG+∠BAI=∠EFA+∠FAB-（∠GFA+∠FAH）=120°+120°-180°=60°，
∵∠EFG=20°，
∴∠BAI=40°，
∵BI⊥AH，
∴∠AIB=90°，
∴∠ABI=90°-40°=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据正多边形的性质、多边形内角和得∠EFA=∠FAB=120°，然后”两直线平行，同旁内角互补“得∠GFA+∠FAH=180°，从而有∠EFG+∠BAI=60°，进而求出∠BAI=40°，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABI的度数.
14．【答案】-x-2
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：-x-2.
【分析】先通分，再根据分式的加减法法则进行计算即可.
15．【答案】-1≤x＜0或x≥2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵两函数交点为A（-1，m），B（2，-1），
∴满足y1≤y2的x的取值范围是-1≤x<0或x≥2.
故答案为：-1≤x＜0或x≥2.
【分析】根据两函数的图象以及交点横坐标即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，
∵BM=3，BC'=4，
∴根据勾股定理得，
∵AC'=3，
∴CD=AB=AC'+BC'=3+4=7，BM=AC'，
∵折叠的性质，
∴∠EC'M=∠C=∠D'=∠D=90°，CM=C'M=5，C'D'=CD=7，DN=D'N，
∴AD=BC=BM+CM=3+5=8，
∵∠EC'M=90°，∠A=90°，
∴∠AC'E+∠BC'M=∠AC'E+∠AEC'=90°，
∴∠BC'M=∠AEC'，
在和中，
，
∴，
∴C'E=C'M=5，AE=BC'=4，
∴D'E=C'D'-C'E=7-5=2，
设DN=D'N=x，
∴EN=AD-AE-DN=8-4-x=4-x，
在中，根据勾股定理得，x2+22=(4-x)2，
解得，即.
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质，利用勾股定理求出CM=C'M=5，AB=CD=C'D'=7，BC=AD=8，∠A=∠B=∠C=∠D=∠EC'M=∠D'=90°，接下来利用”一线三垂直“模型得，从而有C'E=C'M=5，AE=BC'=4，求出D'E=2，设DN=D'N=x，得EN=4-x，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
17．【答案】解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦 时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦 时，
根据题意得：，
解得：x＝96，
经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，
∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦 时），
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦 时．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦 时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦 时，根据A、B型节能灯的数量相同列出关于x的分式方程，解分式方程，经检验得x的值，从而代入求2x-32的值即可求解.
18．【答案】（1）解：6月测试成绩中，引体向上3个的人数为20-4-1-6-4＝5（人），补充统计图如下：
∴，，
根据表2可得a＝1；
（2）解：本次引体向上训练活动的效果明显，理由如下：
从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，
从中位数看，引体向上个数逐月增加，
从众数看，引体向上的个数越来越大（答案不唯一，合理即可）；
（3）解：400×55%＝220（人），
答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数约220人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）观察图1，用总人数减去引体向上个数不为3个的其他人数，从而求出引体向上3个的人数，进而补充完整图1，利用平均数、众数的定义求出b、a的值，根据题意计算出合格率c；
（2）可从平均数、众数、中位数、合格率入手进行分析；
（3）根据样本估计总体，用样本中的合格率×八年级男生人数即可求解.
19．【答案】（1）解：需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）解：过点A作AM⊥CB于点M，
∴∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴∠DEC=∠AMB=90°，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴，即，
∴，
∴；
（3）①
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：（3）解：∵，∴按键顺序为2ndF，sin，0， ，8，6，＝，
故答案为：①．
【分析】（1）根据题意，选择需要的数据即可；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，根据垂直的定义得∠DEC=∠AMB=90°，由“同位角相等，两直线平行”得DE∥AM，从而证出△CDE∽△CAM，根据相似三角形的性质得，代入求出，最后根据正弦的定义求出sinα的值即可；
（3）由（2）有，即可确定计算器的按键顺序.
20．【答案】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BE于点H，
∵AB＝AE，
∴AH平分∠BAE，BH=EH，
∴∠BAH＝∠EAH，
∵BC＝DE，
∴CH=DH，
∴AH垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AH平分∠CAD，
∴∠CAH＝∠DAH，
∴∠BAC＝∠DAE；
（2）解：①如图2，点D，E即为所求；
②如图3，点D，E即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-平行线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的“三线合一”得AH平分∠BAE，BH=EH，从而有∠BAH=∠EAH，CH=DH，进而求出AH垂直平分CD，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”的AH平分∠CAD，利用角平分线的定义得∠CAH＝∠DAH，最后根据角的和差关系即可得证；
（2）①由（1）可知，以A为圆心，AB、AC分别为半径作圆交BC于点E、D即可求解；
②延长AC，在延长线上取一点D，使DC=AC，接下来作∠CDE=∠BAC即可求解.
21．【答案】（1）解：设经过t秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，
根据题意，得：|（-3+t）-（12-2t）|＝3，
解得：t＝4或t＝6，
答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）解：设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，
根据题意，得：y＝|-3+x|+|12-2x|，
当x≤3时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝3-x+12-2x＝-3x+15，
∵-3<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y值最小，为6，
当3＜x<6时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x+12-2x＝-x+9，
当x≥6时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x-12+2x＝3x-15，
∵3>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y值最小，为3，
综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值
【解析】【分析】（1）设经过t秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，根据题意列出关于t的方程，解方程求出t的值即可求解；
（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，先根据题意表示出y，再分类讨论，利用一次函数的增减性求y的最小值.
22．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BC＝CD，
∴，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AF，
∴∠OCE＝∠F，
∵EH平分∠FEG，
∴2∠FEH＝2∠GEH=∠FEG，
∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEG＝∠F+∠BAF，
∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，
∵∠BAF=2∠BAC，
∴2∠H＝∠F，
∵∠H=45°，
∴∠F=90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠BCE＝∠OAC，
∵∠CEB＝∠CEA，
∴△BCE∽△CAE，
∵BE=2，CE=4，
∴，
∴CE2＝BE AE，即16＝2AE，
解得AE＝8，
∴AB＝8-2＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，，
根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即5BC2=36，
解得，
∴，
∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，
∴△FAC∽△CAB，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理得得∠OAC＝∠DAC，从而有OC∥AF，进而得∠OCE＝∠F，根据角平分线的定义、三角形外角的性质得2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，从而有2∠H＝∠F=∠OCE=90°，最后根据切线的判定定理得证；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而得∠ACO=∠BCE，根据等腰三角形的性质得∠ACO＝∠OAC，从而有∠BCE＝∠OAC，根据相似三角形的判定定理证得△BCE∽△CAE，由相似三角形的性质得，从而有CE2＝BE AE，进而求出AE=8，然后求出AB=6，接下来利用勾股定理得5BC2=36，解方程求出BC的长，从而求AC的长，根据相似三角形的判定定理得△FAC∽△CAB，由相似三角形的性质得，最后代入计算出AF即可.
23．【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCF＝60°，
∵∠DEF=60°，
∴∠DEF=∠DCF，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，
∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF＝∠DCF，
∴∠CDE＝∠CFE，
∴∠CBE＝∠CFE，
∴BE＝EF；
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，
∴∠ENC＝90°，
∵BE＝EF，
∴BF＝2BN，
∵四边形ABCD为菱形，AB=10，
∴ВС＝АВ＝10，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ECN＝60°，ВС＝АВ＝AC=10，
∵CE＝2x，
∴，，
∴BN＝BC-CN＝10-x，
∴BF＝2（10-x），
∴，
∵0＜2x≤10，
∴0＜x≤5，
∴；
（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，
∴DE＝EF，
∵∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF=EF，
∴BE＝DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，
由（2）有△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝10，
∵BE⊥AC，
∴，
∵CE=2x，
∴2x=5，
解得，
∴当时，线段DF的长度最短．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系
24．【答案】（1）＝；＜；＞
（2）解：∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2+x1＜4，
∴3＜﹣b＜4，
∴﹣4＜b＜﹣3；
（3）解：抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为，对称轴为直线，
当x＝0时，y＝c，当x＝1时，y＝1+b+c，
∵抛物线开口向上，所以分以下情况讨论：
若不在0≤x≤1 内：
①当x＝0时，y取得最大值，当x＝1时，y取得最小值，有，
解得；
若在0≤x≤1 内：
②当x＝0时，y取得最大值，在顶点取得最小值，
有，
解得（舍去）或；
③当x＝1时，y取得最大值，在顶点取得最小值，
有，
解得（舍去）或，
综上所述，b的值为或或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
∴x1+x2=-b，
∵抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），
∴x3+x4=-b，
∴x1+x2=x3+x4，
∵抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)是由抛物线y=x2+bx+c(b<0)向上平移1个单位得到的，且x1∴x1∴x2-x1>x4-x3，
∴x1-x3x1+x4，
故答案为：=，<，>.
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=x3+x4=-b，根据二次函数的平移规律可知抛物线y1=x2+bx+c+1由抛物线y=x2+bx+c向上平移1个单位得到，接下来利用二次函数的图象性质得x1x4-x3，进而将不等式进行变形即可求解；
（2）根据题意得，3＜x2+x1＜4，由（1）有x1+x2=-b，然后利用不等式的性质即可求解；
（3）先求出抛物线的顶点坐标，对称轴直线，当x=0或1时，y的取值，接下来进行分类讨论：①若不在0≤x≤1 内，则当x＝0时，y取得最大值，当x＝1时，y取得最小值；②若在0≤x≤1 内，则当x＝0时，y取得最大值，在顶点取得最小值；③若在0≤x≤1 内，还存在当x＝1时，y取得最大值，在顶点取得最小值，由这3种情况得关于b的方程，解方程即可求解.
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