黑龙江省大庆市2024年中考数学试卷

黑龙江省大庆市2024年中考数学试卷
1．（2024·大庆）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|﹣2024|和﹣2024 B．2024和
C．|﹣2024|和2024 D．﹣2024和
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；判断两个数互为相反数；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A、|-2024|=2024，2024+（-2024）=0，∴此选项中的两个数互为相反数，符合题意；
B、，∴此选项中的两个数互为倒数，不符合题意；
C、|-2024|=2024，2024+2024=2048，∴此选项中的两个数不互为相反数，不符合题意；
D、，∴此选项中的两个数互为负倒数，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先根据绝对值的性质将需要化简的数进行化简，再根据和为零的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，乘积为-1的两个数互为负倒数，即可判断得出答案.
2．（2024·大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5
C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000156用科学记数法表示为 1.56×10﹣6 .
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于零而又小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．（2024·大庆）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾 B．有害垃圾
C．其他垃圾 D．可回收物
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
4．（2024·大庆）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项中的几何体是圆台，其主视图和左视图都是等腰梯形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的几何体是圆柱，其主视图是矩形，左视图都是圆，故此选项符合题意；
C、此选项中的几何体是圆锥，其主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的几何体是球体，其主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】从前面向后面看得到的正投影就是主视图，从左面向右面看得到的正投影就是左视图，根据各个选项中几何体的摆放特点，找出其主视图及左视图，即可判断得出答案.
5．（2024·大庆）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个旅游景点分别记为A、B、C、D，由题意画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能得情况数，其中选取的两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的情况数有6种，
∴选取的这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是.
故答案为：D.
【分析】将“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个旅游景点分别记为A、B、C、D，此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知：共有12种等可能得情况数，其中选取的两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的情况数有6种，从而根据概率公式计算可得答案.
6．（2024·大庆）下列说法正确的是（　　）
A．若＞2，则b＞2a
B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；三角形全等的判定-AAS；不等式的性质；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：A、若，当a＞0时，b＞2a，当a＜0时，b＜2a，故此选项错误，不符合题意；
B、设衣服原价为a元，则降价20%后为0.8a元， 又提价20%后为0.96a元，所以这件衣服的价格变便宜了，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°=2 ×360°，解得n=6，即这个多边形是六边形，原说法正确，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】选项A根据不等式的性质分a＞0与a＜0两种情况判断即可；选项B根据百分数的意义解答即可；选项C根据直角三角形全等的判定方法判断即可；选项D根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和等于360°建立方程，求解判断即可.
7．（2024·大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质；邻补角；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：对于纸带①，
∵∠1=∠2=59°，
∴∠ADB=∠1=59°，
∴∠ABD=180°-∠2-∠ADB=62°，
由翻折的性质得∠ABC=∠DBA=62°，
∴∠ABC≠∠2，
∴ AD与CB不平行；
对于纸带②中，由翻折的性质得∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，
又∵ 点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴∠CGH+∠DGH=180°，∠EHG+∠FHG=180°，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH=∠FHG=90°，
∴CD∥EF，
综上纸带①边线不平行，纸带②边线平行.
故答案为：D.
【分析】对于纸带①，根据∠1=∠2=59°，由对顶角相等及三角形的内角和定理可求出∠DBA=62°，再由翻折的性质可得∠ABC=∠DBA=62°，然后根据内错角不相等，两直线不平行，可判断纸带①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，结合平角定义可推出∠CGH=∠FHG=90°，然后根据内错角相等，两直线平行，可得出CD∥EF，综上即可得出答案.
8．（2024·大庆）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，-k＜0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、三、四象限，
函数的图象分布在第一、二象限，故C选项符合题意，D选项不符合题意；
当k＜0时，-k＞0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、二、四象限，
函数的图象分布在第三、四象限，故A、B选项都不符合题意.
故答案为：C.
【分析】对于一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；对于反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、二象限，当k＜0时，图象的两支分布在三、四象限，据此分k为＞0与k＜0两种情况求解即可.
9．（2024·大庆）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　）
A．小庆选出四个数字的方差等于4.25
B．小铁选出四个数字的方差等于2.5
C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D．小萌选出四个数字的极差等于4
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；极差
【解析】【解答】解：假设选出的数据没有1，则选出的数据为2、3、5、6时，方差最大，
此时平均数为，
方差为，
当选出的数据为1、2、5、6时，
此时平均数为，
方差为，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
选出的数据为2、3、4、5时，
此时平均数为，故C选项不符合题意；
当选出的数字为2、4、5、6或2、3、4、6时，极差也是4，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；极差就是一组数据的最大值与最小值的差，据此分别举实例计算后即可判断得出答案.
10．（2024·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（　　）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴АВ∥СD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴ ∠A=∠MGN=90°，
由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，
∴△AMN≌△GMN'（AAS），
∴MG=AM，
∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'，
∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10，
∴ВМ + ВМ' .
故答案为：B.
【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
11．（2024·大庆） =　 　．
【答案】﹣2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： =﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为﹣2的立方是﹣8，所以 的值为﹣2．
12．（2024·大庆）若a+ = ，则a2+ =　 　.
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a+ = ，∴a2+ =（a+ ）2-2=（ ）2-2=3.故答案为3.
【分析】将原式的两边同时平方，然后根据完全平方公式展开即可解答本题.
13．（2024·大庆）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体枳为V1，图柱形盒子的容积为V2，则＝　 　（球体体积公式：V＝．其中r为球体半径）．
【答案】
【知识点】立体图形的初步认识；圆柱的计算
【解析】【解答】解：设球的半径为r，则，
∵ 一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，
∴圆柱的高为2r，底面圆的半径为r，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】设球的半径为r，则圆柱的高为2r，底面圆的半径为r，进而根据球体及圆柱体的体积计算公式分别算出两个几何体的体积，再求比值即可.
14．（2024·大庆）写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 　 　．
【答案】y＝-x+2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可设函数表达式为y=-x+b，
将点（1，1）代入得-1+b=1，
解得b=2，
∴所求函数解析式可以为y＝-x+2.
故答案为：y＝-x+2.
【分析】对于一次函数y=kx+b中，当k＜0时， y的值随着x值增大而减小，故写出符合题意的k中，再根据函数图象经过点（1，1）确定b值即可.
15．（2024·大庆）不等式组的整数解有 　 　个．
【答案】4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2，
由②得x＜3，
∴该不等式组的解集为-2＜x＜3，
∴该不等式组的整数解为-1、0、1、2，共4个.
故答案为：4.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而再找出解集范围内的整数解的个数即可.
16．（2024·大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可得“莱洛三角形”的周长可转化为半径为AB圆心角为180°的弧长，
又∵该“莱洛三角形”的周长为3π，
∴，
解得AB=3，
过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴BM=BC=，
在Rt△ABM中，，
∴该“莱洛三角形”的面积为：.
故答案为：.
【分析】由题意可得“莱洛三角形”的周长可转化为半径为AB圆心角为180°的弧长，据此结合弧长公式建立方程可求出AB的长；过点A作AM⊥BC于点M，根据等边三角形的性质可得BM=BC=，在Rt△ABM中，由勾股定理算出AM的长，进而根据该“莱洛三角形”的面积=半径为AB且圆心角为180°的扇形得面积-2S△ABC，列式计算可得答案.
17．（2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　 　．
【答案】48
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y，
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2，
由题意得：正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边，
∴正方形c的面积为4；
根据勾股定理可得：x2+y2=22=4，
∴正方形a的面积+正方形b的面积=4；
∴：图①中所有正方形的面积和=4+4-8；
同理可得：正方形e的面积+正方形的面积=正方形a的面积，正方形g的面积+正方形h的面积= 正方形b的面积，
∴正方形e的面积+正方形的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.
∴图②中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和+4=12；
即一次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12；
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4，
∴2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16；
∴10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48.
故答案为：48.
【分析】 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和=8+4；同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2 次操作后所有正方形的面积和=8+2×4；……那么可推断10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4.
18．（2024·大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 　 　．
①函数y＝2x+4是“倍值函数”；
②函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）；
③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m＜；
④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为．
【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵y=2x+4中，令y=2x，
∴2x=2x+4，此方程无解，
∴y=2x+4不是“倍值函数”，故①错误；
②∵中，令y=2x，
∴，
解得x1=2，x2=-2，
∴函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4），故②正确；
③ y＝（m﹣1）x2+mx+m中，令y=2x，
∴2x=（m﹣1）x2+mx+m，即（m﹣1）x2+（m-2）x+m=0，
∵关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，
∴方程（m﹣1）x2+（m-2）x+m=0中△=（m-2）2-4（m-1）×m＞0且m-1≠0，
解得m＜且m≠1，故③错误；
④ 关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+中，令y=2x，
∴2x=x2+（m﹣k+2）x+，即x2+（m﹣k）x+=0，
又∵关于x的函数y＝x2+（m﹣k）x+中的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴方程x2+（m﹣k）x+=0中△=（m-k）2-4()=0，
∴n=（m-k）2+2k，
∴n关于m的函数的对称轴是直线m=k，此时最小值为2k，
∵关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，
∴，解得k=0；
，此时无解；
，解得(舍去)，，
综上k的值为0或，故④错误，
综上说法错误的有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】根据“倍值函数”的定义及一次函数的性质可判断①；根据反比例函数的性质及“倍值函数”的定义可判断②；根据二次函数的性质、“倍值函数”的定义、一元二次方程根的判别式的应用及二次函数的最值可判断④.
19．（2024·大庆）求值：|﹣2|﹣（2024+π）0+tan60°．
【答案】解：原式＝2﹣﹣1+
＝1．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值性质、零指数幂的性质及特殊锐角三角函数值分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
20．（2024·大庆）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别利用平方差公式和完全平方公式分解因式后约分化简，进而根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，接着计算分式乘法得出最简结果，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
21．（2024·大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【答案】解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，
根据题意得：，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元/度．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，根据总价除以单价等于数量并结合“ 峰时用电量与谷时用电量相等 ”列出方程，求解即可.
22．（2024·大庆）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
【答案】解：分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，易得四边形MNDC是矩形，
在Rt△CBM中，
，
所以，
在Rt中，
，
所以，
则，
所以(米)，所以(米).
在中，，
所以，
所以米，
则(米)，
故大桥CD的长为548米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，在Rt△CBM中，由∠CBM的正切函数可得，在Rt中，由∠A的正切函数并结合特殊锐角三角函数值建立方程可求出BM的长，从而得出CM的长，由矩形性质可得出DN的长，在Rt△DBN中由∠DBN的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出BN，最后根据CD=MN=BN-BM可算出答案.
23．（2024·大庆）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ▲ 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
【答案】（1）解：①18
②第一小组中，得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），
补全条形统计图如下：

（2）5；3.5；3
（3）解：4200×＝1260（名），
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）①360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）
＝360°×5%
＝18°，
故答案为：18；
（2）由条形统计图可得第一组学生得分为5分的人数最多，有8人，故第一小组成绩的众数为a=5；
第二小组成绩的平均数为：，即b=3.5；
将第三小组成绩按从低到高排列后，排第10与11位的成绩都是3分，
∴第三小组的中位数c=（3+3）÷2=3；
故答案为：5；3.5；3；
【分析】（1）①用360°×扇形统计图中“得分为1分”这一项所对应的百分比可求出扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角度数；
②根据各组频数之和等于各小组的总人数20人可求出得分为4分的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数所占的百分比即可估算出该校4200名学生中竞赛成绩不低于90分的人数.
24．（2024·大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝，
∴S△CDF＝DF CH＝×2×＝，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝DF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行，对角相等得AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠AEB＝∠BCF，由同位角相等，两直线平行，得AE∥CF，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形AECF是平行四边形；
（2）过点C作CH⊥AD于点H，由平行四边形邻角互补及角平分线的定义推出∠ADC＝∠DCF＝60°，由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△CDF是等边三角形，由等边三角形的性质得CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，在Rt△CHD中，由勾股定理算出CH的长，由三角形的面积计算方法算出△CDF的面积；由平行于三角形一边得直线，截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DGF∽△EGC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出，最后根据同高三角形的面积之比就等于底之比可求出△GDF的面积.
25．（2024·大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价为y（元/千克），当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z（千克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）．
（1）k＝　 　，b＝　 　；
（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
【答案】（1）-1；30
（2）解：由题意，当1≤x≤20时，由（1）得y＝﹣x+30，
∴M＝（x+10）（﹣x+30）＝﹣x2+20x+300．
当20≤x≤30时，M＝15（x+10）＝15x+150．
（3）解：由题意，当1≤x≤20时，M＝﹣x2+20x+300＝﹣（x﹣10）2+400．
∵﹣1＜0，
∴当x＝10时，M取最大值为400．
∴此时销售额不超过500元．
当20＜x≤30时，令M＝15x+150＞500，
∴x＞23．
∴共有7天销售额超过500元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1） ∵当1≤x≤20时，y＝kx+b，且第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，
∴，
解得，
故答案为：-1；30；
【分析】（1）将x=10，y=20与x=15，y=15分别代入y＝kx+b可得关于字母k、b的方程组，求解可得出k、b的值；
（2）当1≤x≤20时，由（1）得y＝﹣x+30，然后根据每天的销售额=每天的销售数量乘销售单价，分当1≤x≤20时与当20≤x≤30时两种情况分别求出M关于x的函数解析式；
（3）分当1≤x≤20时与当20≤x≤30时两种情况进行判断即可计算得解.
26．（2024·大庆）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y＝图象上，求平行四边形OABC的面积；
（3）如图3，将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y＝（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【答案】（1）解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，即BC∥x轴，
∵点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
∴C（2，3），
∵点C（2，3）在反比例函数y＝图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）解：设点A坐标为（m，0），
∵C（2，3），
∴OC＝＝，
∵OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝，
∵点D是AB边的中点，点B的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为，
∵点D在反比例函数y＝图象上，
∴D（4，），
由中点坐标公式可得点B坐标为（8﹣m，3）
∴AB2＝（8﹣m﹣m）2+32＝13，
解得m＝3或m＝5（舍去），
∴S OABC＝3×3＝9．
（3）解：P（4，3），
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）解：∵将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，
∴l2解析式为y＝﹣x+6，
设直线l2与y轴交于点E，则E（0，6），
如图3，作OF⊥l1交l2于点F，
∵M1N⊥l1，
∴M1N＝OF，
在函数y＝﹣x+6中，当y＝0时，x＝8，
∴G（8，0），
∴OE＝6，OG＝8，
在中，由勾股定理得，
由三角形面积公式可得：，
列函数联立方程组得，
解得，，
，
点为的中点，
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得BC∥x轴，然后根据点的坐标与图形的性质得C（2，3），然后利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）设点A坐标为（m，0），由平面直角坐标系中两点间的距离公式及平行四边形的对边相等得AB＝OC＝，根据中点坐标公式可得点D的纵坐标为，进而根据反比例函数图象上点的坐标特点得D（4，），由中点坐标公式得B坐标为（8﹣m，3），然后根据平行四边形的对边相等，由AB=OC建立方程可求出m的值，再根据平行四边形面积计算公式可算出平行四边形OABC的面积；
（3）根据一次函数图象的平移规律可得l2解析式为y＝﹣x+6，设直线l2与y轴交于点E，与x轴交于点G，由直线与坐标轴交点的坐标特点得E（0，6），G（8，0），作OF⊥l1交l2于点F，根据平行线间的距离相等得M1N＝OF，在Rt△EOG中，利用勾股定理可算出EG的长，由三角形的面积公式建立方程可求出OF的长，联立直线l2与反比例函数的解析式可求出M1与M2的坐标，然后根据中点坐标公式可求出点P的坐标，由两点间的距离公式算出OP的长，从而即可求出两线段的比值.
27．（2024·大庆）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值．
【答案】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，
∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∵，即PA2＝PG PB；
（3）解：，
设，则，
由折叠可得，
在Rt中，，
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；已知正弦值求边长；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得AB⊥CD，由切线的性质得AG⊥AB，从而根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥CD；
（2）由切线的性质、圆周角定理及同角的余角相等得∠ABD＝∠GAD，由折叠得∠ABD＝∠ABC，由圆内接四边形性质及同角的补角相等推出∠PAG＝∠ABD，再结合∠APG＝∠BPA，可推出△APG∽△BPA，由相似三角形的对应边成比例可得结论；
（3）由∠APD的正弦函数值可设AD=a，AP=3a，用勾股定理表示出PA，然后根据正切函数的定义可求出∠APD的正切值，由折叠性质及线段和差推出PC=4a，在Rt△PCB中，由∠CPB的正切函数可得出BD=CB=a，由同角的余角相等得∠AGB=∠DAB，最后根据等角的同名三角函数值相等可求解.
28．（2024·大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，
﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，
∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CG＝QG，
设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q2+2q＝q，
解得：q＝0（舍去）或q＝1，
∴Q（1，4）；
（3）解：①证明：点F与点C重合，则F（0，3），
∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），
解得：
联立，
解得：或，
∴D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②解：△ABP的面积为16是定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②设D（x1，y1），F（x2，y2），
∵D，E，F三点共线，E（1，0）
∴设DF的解析式y＝k（x﹣1），
联立，
消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），
联立
解得：
而不为定值，
∴P在直线y＝8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，
∴△ABP的面积为是定值．
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值可得点B的坐标，进而可判断出△OBC是等腰直角三角形；过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，易得△GCQ是等腰直角三角形，根据点的坐标与图形性质设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），根据两点间的距离公式表示出CG、GQ，然后根据CG＝QG建立方程，求解得出q的值，从而求出点Q的坐标；
（3）①点F与点C重合，则F（0，3），由中点坐标公式得E（1，0），利用待定系数法可求出直线EF的解析式，联立直线EF与抛物线的解析式，求解可得点D的坐标在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②设D（x1，y1），F（x2，y2），设DF的解析式y＝k（x﹣1），联立直线DF与抛物线的解析式，可得﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，由根与系数的关系得x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），联立AD与BF的解析式求解可表示出点P的坐标，得出，而不为定值，则P在直线y＝8上运动，P到x轴的距离为定值8，根据直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，从而根据三角形面积计算公式得出面积定值的△ABP得面积.
1 / 1黑龙江省大庆市2024年中考数学试卷
1．（2024·大庆）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|﹣2024|和﹣2024 B．2024和
C．|﹣2024|和2024 D．﹣2024和
2．（2024·大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5
C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7
3．（2024·大庆）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾 B．有害垃圾
C．其他垃圾 D．可回收物
4．（2024·大庆）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·大庆）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·大庆）下列说法正确的是（　　）
A．若＞2，则b＞2a
B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
7．（2024·大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
8．（2024·大庆）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·大庆）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　）
A．小庆选出四个数字的方差等于4.25
B．小铁选出四个数字的方差等于2.5
C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D．小萌选出四个数字的极差等于4
10．（2024·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（　　）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
11．（2024·大庆） =　 　．
12．（2024·大庆）若a+ = ，则a2+ =　 　.
13．（2024·大庆）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体枳为V1，图柱形盒子的容积为V2，则＝　 　（球体体积公式：V＝．其中r为球体半径）．
14．（2024·大庆）写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 　 　．
15．（2024·大庆）不等式组的整数解有 　 　个．
16．（2024·大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 　 　．
17．（2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　 　．
18．（2024·大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 　 　．
①函数y＝2x+4是“倍值函数”；
②函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）；
③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m＜；
④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为．
19．（2024·大庆）求值：|﹣2|﹣（2024+π）0+tan60°．
20．（2024·大庆）先化简，再求值：，其中.
21．（2024·大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
22．（2024·大庆）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
23．（2024·大庆）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ▲ 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
24．（2024·大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
25．（2024·大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价为y（元/千克），当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z（千克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）．
（1）k＝　 　，b＝　 　；
（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
26．（2024·大庆）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y＝图象上，求平行四边形OABC的面积；
（3）如图3，将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y＝（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．
27．（2024·大庆）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值．
28．（2024·大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；判断两个数互为相反数；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A、|-2024|=2024，2024+（-2024）=0，∴此选项中的两个数互为相反数，符合题意；
B、，∴此选项中的两个数互为倒数，不符合题意；
C、|-2024|=2024，2024+2024=2048，∴此选项中的两个数不互为相反数，不符合题意；
D、，∴此选项中的两个数互为负倒数，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先根据绝对值的性质将需要化简的数进行化简，再根据和为零的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，乘积为-1的两个数互为负倒数，即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000156用科学记数法表示为 1.56×10﹣6 .
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于零而又小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项中的几何体是圆台，其主视图和左视图都是等腰梯形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的几何体是圆柱，其主视图是矩形，左视图都是圆，故此选项符合题意；
C、此选项中的几何体是圆锥，其主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的几何体是球体，其主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】从前面向后面看得到的正投影就是主视图，从左面向右面看得到的正投影就是左视图，根据各个选项中几何体的摆放特点，找出其主视图及左视图，即可判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个旅游景点分别记为A、B、C、D，由题意画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能得情况数，其中选取的两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的情况数有6种，
∴选取的这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是.
故答案为：D.
【分析】将“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个旅游景点分别记为A、B、C、D，此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知：共有12种等可能得情况数，其中选取的两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的情况数有6种，从而根据概率公式计算可得答案.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；三角形全等的判定-AAS；不等式的性质；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：A、若，当a＞0时，b＞2a，当a＜0时，b＜2a，故此选项错误，不符合题意；
B、设衣服原价为a元，则降价20%后为0.8a元， 又提价20%后为0.96a元，所以这件衣服的价格变便宜了，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°=2 ×360°，解得n=6，即这个多边形是六边形，原说法正确，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】选项A根据不等式的性质分a＞0与a＜0两种情况判断即可；选项B根据百分数的意义解答即可；选项C根据直角三角形全等的判定方法判断即可；选项D根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和等于360°建立方程，求解判断即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质；邻补角；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：对于纸带①，
∵∠1=∠2=59°，
∴∠ADB=∠1=59°，
∴∠ABD=180°-∠2-∠ADB=62°，
由翻折的性质得∠ABC=∠DBA=62°，
∴∠ABC≠∠2，
∴ AD与CB不平行；
对于纸带②中，由翻折的性质得∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，
又∵ 点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴∠CGH+∠DGH=180°，∠EHG+∠FHG=180°，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH=∠FHG=90°，
∴CD∥EF，
综上纸带①边线不平行，纸带②边线平行.
故答案为：D.
【分析】对于纸带①，根据∠1=∠2=59°，由对顶角相等及三角形的内角和定理可求出∠DBA=62°，再由翻折的性质可得∠ABC=∠DBA=62°，然后根据内错角不相等，两直线不平行，可判断纸带①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，结合平角定义可推出∠CGH=∠FHG=90°，然后根据内错角相等，两直线平行，可得出CD∥EF，综上即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，-k＜0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、三、四象限，
函数的图象分布在第一、二象限，故C选项符合题意，D选项不符合题意；
当k＜0时，-k＞0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、二、四象限，
函数的图象分布在第三、四象限，故A、B选项都不符合题意.
故答案为：C.
【分析】对于一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；对于反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、二象限，当k＜0时，图象的两支分布在三、四象限，据此分k为＞0与k＜0两种情况求解即可.
9．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；极差
【解析】【解答】解：假设选出的数据没有1，则选出的数据为2、3、5、6时，方差最大，
此时平均数为，
方差为，
当选出的数据为1、2、5、6时，
此时平均数为，
方差为，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
选出的数据为2、3、4、5时，
此时平均数为，故C选项不符合题意；
当选出的数字为2、4、5、6或2、3、4、6时，极差也是4，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；极差就是一组数据的最大值与最小值的差，据此分别举实例计算后即可判断得出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴АВ∥СD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴ ∠A=∠MGN=90°，
由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，
∴△AMN≌△GMN'（AAS），
∴MG=AM，
∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'，
∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10，
∴ВМ + ВМ' .
故答案为：B.
【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
11．【答案】﹣2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： =﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为﹣2的立方是﹣8，所以 的值为﹣2．
12．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a+ = ，∴a2+ =（a+ ）2-2=（ ）2-2=3.故答案为3.
【分析】将原式的两边同时平方，然后根据完全平方公式展开即可解答本题.
13．【答案】
【知识点】立体图形的初步认识；圆柱的计算
【解析】【解答】解：设球的半径为r，则，
∵ 一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，
∴圆柱的高为2r，底面圆的半径为r，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】设球的半径为r，则圆柱的高为2r，底面圆的半径为r，进而根据球体及圆柱体的体积计算公式分别算出两个几何体的体积，再求比值即可.
14．【答案】y＝-x+2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可设函数表达式为y=-x+b，
将点（1，1）代入得-1+b=1，
解得b=2，
∴所求函数解析式可以为y＝-x+2.
故答案为：y＝-x+2.
【分析】对于一次函数y=kx+b中，当k＜0时， y的值随着x值增大而减小，故写出符合题意的k中，再根据函数图象经过点（1，1）确定b值即可.
15．【答案】4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2，
由②得x＜3，
∴该不等式组的解集为-2＜x＜3，
∴该不等式组的整数解为-1、0、1、2，共4个.
故答案为：4.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而再找出解集范围内的整数解的个数即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可得“莱洛三角形”的周长可转化为半径为AB圆心角为180°的弧长，
又∵该“莱洛三角形”的周长为3π，
∴，
解得AB=3，
过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴BM=BC=，
在Rt△ABM中，，
∴该“莱洛三角形”的面积为：.
故答案为：.
【分析】由题意可得“莱洛三角形”的周长可转化为半径为AB圆心角为180°的弧长，据此结合弧长公式建立方程可求出AB的长；过点A作AM⊥BC于点M，根据等边三角形的性质可得BM=BC=，在Rt△ABM中，由勾股定理算出AM的长，进而根据该“莱洛三角形”的面积=半径为AB且圆心角为180°的扇形得面积-2S△ABC，列式计算可得答案.
17．【答案】48
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y，
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2，
由题意得：正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边，
∴正方形c的面积为4；
根据勾股定理可得：x2+y2=22=4，
∴正方形a的面积+正方形b的面积=4；
∴：图①中所有正方形的面积和=4+4-8；
同理可得：正方形e的面积+正方形的面积=正方形a的面积，正方形g的面积+正方形h的面积= 正方形b的面积，
∴正方形e的面积+正方形的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.
∴图②中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和+4=12；
即一次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12；
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4，
∴2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16；
∴10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48.
故答案为：48.
【分析】 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和=8+4；同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2 次操作后所有正方形的面积和=8+2×4；……那么可推断10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4.
18．【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵y=2x+4中，令y=2x，
∴2x=2x+4，此方程无解，
∴y=2x+4不是“倍值函数”，故①错误；
②∵中，令y=2x，
∴，
解得x1=2，x2=-2，
∴函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4），故②正确；
③ y＝（m﹣1）x2+mx+m中，令y=2x，
∴2x=（m﹣1）x2+mx+m，即（m﹣1）x2+（m-2）x+m=0，
∵关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，
∴方程（m﹣1）x2+（m-2）x+m=0中△=（m-2）2-4（m-1）×m＞0且m-1≠0，
解得m＜且m≠1，故③错误；
④ 关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+中，令y=2x，
∴2x=x2+（m﹣k+2）x+，即x2+（m﹣k）x+=0，
又∵关于x的函数y＝x2+（m﹣k）x+中的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴方程x2+（m﹣k）x+=0中△=（m-k）2-4()=0，
∴n=（m-k）2+2k，
∴n关于m的函数的对称轴是直线m=k，此时最小值为2k，
∵关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，
∴，解得k=0；
，此时无解；
，解得(舍去)，，
综上k的值为0或，故④错误，
综上说法错误的有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】根据“倍值函数”的定义及一次函数的性质可判断①；根据反比例函数的性质及“倍值函数”的定义可判断②；根据二次函数的性质、“倍值函数”的定义、一元二次方程根的判别式的应用及二次函数的最值可判断④.
19．【答案】解：原式＝2﹣﹣1+
＝1．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值性质、零指数幂的性质及特殊锐角三角函数值分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
20．【答案】解：原式
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别利用平方差公式和完全平方公式分解因式后约分化简，进而根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，接着计算分式乘法得出最简结果，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
21．【答案】解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，
根据题意得：，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元/度．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，根据总价除以单价等于数量并结合“ 峰时用电量与谷时用电量相等 ”列出方程，求解即可.
22．【答案】解：分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，易得四边形MNDC是矩形，
在Rt△CBM中，
，
所以，
在Rt中，
，
所以，
则，
所以(米)，所以(米).
在中，，
所以，
所以米，
则(米)，
故大桥CD的长为548米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，在Rt△CBM中，由∠CBM的正切函数可得，在Rt中，由∠A的正切函数并结合特殊锐角三角函数值建立方程可求出BM的长，从而得出CM的长，由矩形性质可得出DN的长，在Rt△DBN中由∠DBN的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出BN，最后根据CD=MN=BN-BM可算出答案.
23．【答案】（1）解：①18
②第一小组中，得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），
补全条形统计图如下：

（2）5；3.5；3
（3）解：4200×＝1260（名），
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）①360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）
＝360°×5%
＝18°，
故答案为：18；
（2）由条形统计图可得第一组学生得分为5分的人数最多，有8人，故第一小组成绩的众数为a=5；
第二小组成绩的平均数为：，即b=3.5；
将第三小组成绩按从低到高排列后，排第10与11位的成绩都是3分，
∴第三小组的中位数c=（3+3）÷2=3；
故答案为：5；3.5；3；
【分析】（1）①用360°×扇形统计图中“得分为1分”这一项所对应的百分比可求出扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角度数；
②根据各组频数之和等于各小组的总人数20人可求出得分为4分的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数所占的百分比即可估算出该校4200名学生中竞赛成绩不低于90分的人数.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝，
∴S△CDF＝DF CH＝×2×＝，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝DF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行，对角相等得AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠AEB＝∠BCF，由同位角相等，两直线平行，得AE∥CF，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形AECF是平行四边形；
（2）过点C作CH⊥AD于点H，由平行四边形邻角互补及角平分线的定义推出∠ADC＝∠DCF＝60°，由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△CDF是等边三角形，由等边三角形的性质得CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，在Rt△CHD中，由勾股定理算出CH的长，由三角形的面积计算方法算出△CDF的面积；由平行于三角形一边得直线，截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DGF∽△EGC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出，最后根据同高三角形的面积之比就等于底之比可求出△GDF的面积.
25．【答案】（1）-1；30
（2）解：由题意，当1≤x≤20时，由（1）得y＝﹣x+30，
∴M＝（x+10）（﹣x+30）＝﹣x2+20x+300．
当20≤x≤30时，M＝15（x+10）＝15x+150．
（3）解：由题意，当1≤x≤20时，M＝﹣x2+20x+300＝﹣（x﹣10）2+400．
∵﹣1＜0，
∴当x＝10时，M取最大值为400．
∴此时销售额不超过500元．
当20＜x≤30时，令M＝15x+150＞500，
∴x＞23．
∴共有7天销售额超过500元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1） ∵当1≤x≤20时，y＝kx+b，且第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，
∴，
解得，
故答案为：-1；30；
【分析】（1）将x=10，y=20与x=15，y=15分别代入y＝kx+b可得关于字母k、b的方程组，求解可得出k、b的值；
（2）当1≤x≤20时，由（1）得y＝﹣x+30，然后根据每天的销售额=每天的销售数量乘销售单价，分当1≤x≤20时与当20≤x≤30时两种情况分别求出M关于x的函数解析式；
（3）分当1≤x≤20时与当20≤x≤30时两种情况进行判断即可计算得解.
26．【答案】（1）解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，即BC∥x轴，
∵点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
∴C（2，3），
∵点C（2，3）在反比例函数y＝图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）解：设点A坐标为（m，0），
∵C（2，3），
∴OC＝＝，
∵OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝，
∵点D是AB边的中点，点B的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为，
∵点D在反比例函数y＝图象上，
∴D（4，），
由中点坐标公式可得点B坐标为（8﹣m，3）
∴AB2＝（8﹣m﹣m）2+32＝13，
解得m＝3或m＝5（舍去），
∴S OABC＝3×3＝9．
（3）解：P（4，3），
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）解：∵将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，
∴l2解析式为y＝﹣x+6，
设直线l2与y轴交于点E，则E（0，6），
如图3，作OF⊥l1交l2于点F，
∵M1N⊥l1，
∴M1N＝OF，
在函数y＝﹣x+6中，当y＝0时，x＝8，
∴G（8，0），
∴OE＝6，OG＝8，
在中，由勾股定理得，
由三角形面积公式可得：，
列函数联立方程组得，
解得，，
，
点为的中点，
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得BC∥x轴，然后根据点的坐标与图形的性质得C（2，3），然后利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）设点A坐标为（m，0），由平面直角坐标系中两点间的距离公式及平行四边形的对边相等得AB＝OC＝，根据中点坐标公式可得点D的纵坐标为，进而根据反比例函数图象上点的坐标特点得D（4，），由中点坐标公式得B坐标为（8﹣m，3），然后根据平行四边形的对边相等，由AB=OC建立方程可求出m的值，再根据平行四边形面积计算公式可算出平行四边形OABC的面积；
（3）根据一次函数图象的平移规律可得l2解析式为y＝﹣x+6，设直线l2与y轴交于点E，与x轴交于点G，由直线与坐标轴交点的坐标特点得E（0，6），G（8，0），作OF⊥l1交l2于点F，根据平行线间的距离相等得M1N＝OF，在Rt△EOG中，利用勾股定理可算出EG的长，由三角形的面积公式建立方程可求出OF的长，联立直线l2与反比例函数的解析式可求出M1与M2的坐标，然后根据中点坐标公式可求出点P的坐标，由两点间的距离公式算出OP的长，从而即可求出两线段的比值.
27．【答案】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，
∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∵，即PA2＝PG PB；
（3）解：，
设，则，
由折叠可得，
在Rt中，，
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；已知正弦值求边长；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得AB⊥CD，由切线的性质得AG⊥AB，从而根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥CD；
（2）由切线的性质、圆周角定理及同角的余角相等得∠ABD＝∠GAD，由折叠得∠ABD＝∠ABC，由圆内接四边形性质及同角的补角相等推出∠PAG＝∠ABD，再结合∠APG＝∠BPA，可推出△APG∽△BPA，由相似三角形的对应边成比例可得结论；
（3）由∠APD的正弦函数值可设AD=a，AP=3a，用勾股定理表示出PA，然后根据正切函数的定义可求出∠APD的正切值，由折叠性质及线段和差推出PC=4a，在Rt△PCB中，由∠CPB的正切函数可得出BD=CB=a，由同角的余角相等得∠AGB=∠DAB，最后根据等角的同名三角函数值相等可求解.
28．【答案】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，
﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，
∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CG＝QG，
设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q2+2q＝q，
解得：q＝0（舍去）或q＝1，
∴Q（1，4）；
（3）解：①证明：点F与点C重合，则F（0，3），
∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），
解得：
联立，
解得：或，
∴D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②解：△ABP的面积为16是定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②设D（x1，y1），F（x2，y2），
∵D，E，F三点共线，E（1，0）
∴设DF的解析式y＝k（x﹣1），
联立，
消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），
联立
解得：
而不为定值，
∴P在直线y＝8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，
∴△ABP的面积为是定值．
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值可得点B的坐标，进而可判断出△OBC是等腰直角三角形；过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，易得△GCQ是等腰直角三角形，根据点的坐标与图形性质设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），根据两点间的距离公式表示出CG、GQ，然后根据CG＝QG建立方程，求解得出q的值，从而求出点Q的坐标；
（3）①点F与点C重合，则F（0，3），由中点坐标公式得E（1，0），利用待定系数法可求出直线EF的解析式，联立直线EF与抛物线的解析式，求解可得点D的坐标在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②设D（x1，y1），F（x2，y2），设DF的解析式y＝k（x﹣1），联立直线DF与抛物线的解析式，可得﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，由根与系数的关系得x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），联立AD与BF的解析式求解可表示出点P的坐标，得出，而不为定值，则P在直线y＝8上运动，P到x轴的距离为定值8，根据直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，从而根据三角形面积计算公式得出面积定值的△ABP得面积.
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