数学：第二章《小结（4）》教案（新人教a版必修2）

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第二章小结—— 空间距离
一、教学目的
1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。
2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；
3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；
二、教学过程
1．基本知识：
（1）空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。
（2）求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（3）点到平面的距离
平面外一点P 在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；
求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。
（4）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；
（5）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：
①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
2、举例分析
例1、正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCFE所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 。
解析：过M作MO⊥EF，交EF于O，则MO⊥平面BCFE.
如图所示，作ON⊥BC，设OM=x，又tanMBO=，∴BO=2x
又S△MBE=BE·MB·sinMBE=BE·ME S△MBC=BC·MB·sinMBC=BC·MN
∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=。
点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。
点面距离
例2．如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2。△ABD为等腰直角三角形。
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离。
解：(1)证明：连结OC。
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。
在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。
而AC=2，∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即AO⊥OC。∴AB平面BCD。
（Ⅱ）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC。
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。
在△OME中，
是直角△AOC斜边AC上的中线，∴ ∴
∴异面直线AB与CD所成角为
（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h. , ∴·S△ACD =·AO·S△CDE.
在△ACD中，CA=CD=2,AD=, ∴S△ACD=
而AO=1, S△CDE=∴h=
∴点E到平面ACD的距离为。
点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
3、小结
（1）空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．
（2）求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．
（3）求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：
①求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。
②求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。
作业：把例1、例2做本子上。
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