2.1.1 正切同步学案（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角形函数
第1课时 正切
列清单·划重点
知识点① 正切的定义
如图，在 中, 的
的__________与__________的比叫做的正切,记作tanA, 即
注意
(1)正切是在直角三角形中定义的，它实质上是两条线段长度的比，即某角的正切只是一个数值，没有单位，其大小只与这个角的大小有关.
(2)tanA 是一个完整的符号,不能写成 tan·A.
(3)由于直角三角形的各边都为正数，所以
知识点② 梯子的倾斜程度与 tanA 的关系
判断梯子的倾斜程度，可以计算 的正切值. tanA的值越大，梯子越_________.
如图所示是甲、乙两个自动扶梯的示意图，由图中的数据可知甲扶梯中 _______，乙扶梯中 因为,所以_________扶梯陡.
知识点③ 坡度与坡角
斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的____________与___________的比叫做坡度(或坡比).
坡面与水平面的夹角叫做____________.坡度是坡角的____________.
说明
坡度表示的是斜坡的倾斜程度，坡度越大，坡角越大，坡面越陡.习惯上坡度用字母i表示.
明考点 识方法
考点① 求锐角的正切值
典例1 如图所示,在Rt△ABC中, ∠ACB =90°, CD⊥AB 于点 D,AB=10,AC=8.
(1)求 tanA 的值;
(2)设∠BCD=∠α,求 tanα的值.
思路导析 (1)先用勾股定理求出 BC的长，再根据正切的定义求出 tanA 的值;(2)先证∠α=∠A,再得 tanα=tanA.
变式 如图,在Rt△ABC中,则tanB= ( )
B.3
考点② 利用正切值求线段长
典例2 在 中, 则 AB的长为___________.
思路导析 本题考查正切的定义，由 可求得AC的长.然后利用勾股定理求出AB的长.
变式 已知在 中, 2. 则
考点③ 与坡度有关的问题
典例3 在种植树木时，负责人员要求株距(相邻两树间的水平距离)为 4m .如图,若在坡比为1:2 的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为( )
B.4 m C.8 m
思路导析 本题考查正切的应用——坡度问题，由题目的已知条件，结合图形，添加适当的辅助线是解题的关键.过斜坡上的第一棵树树根处向水平面做垂线，构造出直角三角形，利用坡比和勾股定理进行计算，即可解答.
变式 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高 坡面 AB的坡度为 则AB 的长度为 ( )
A.10 m C.5 m
当堂测 夯基础
1.在 中，各边都扩大到原来的5倍，则锐角 A的正切函数值 ( )
A.不变 B.扩大为原来的5倍 C.缩小到原来的 D.不能确定
2.在 中,若 则 tanB的值为 ( )
B.2
3.由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为 ( )
第3题图 第4题图
4.如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm,深为 30cm,拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为C,现设计斜坡的坡度 i=1: 5,则 AC的长度是 ( )
A.200 cm B.210 cm C.240 cm D.300 cm
5.如图是一个自动扶梯的示意图,则tanβ=______________.
6.在 Rt△ABC 中,那么BC=____________.
7.如图，在四边形ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,AD 中点,若EF=6,BC=13,CD=5,则 tanC
等于______________.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1
对边 BC 邻边AC
知识点 2
陡
知识点 3
铅直高度 水平宽度 坡角 正切值
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)∵在 中,
变式 A
典例 2 10
变式 20
典例 3 A
变式 A
【当堂测·夯基础】
1. A 2. A 3. C 4. C
6.10
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第二章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角形函数
第1课时 正切
列清单·划重点
知识点① 正切的定义
如图，在 中, 的
的__________与__________的比叫做的正切,记作tanA, 即
注意
(1)正切是在直角三角形中定义的，它实质上是两条线段长度的比，即某角的正切只是一个数值，没有单位，其大小只与这个角的大小有关.
(2)tanA 是一个完整的符号,不能写成 tan·A.
(3)由于直角三角形的各边都为正数，所以
知识点② 梯子的倾斜程度与 tanA 的关系
判断梯子的倾斜程度，可以计算 的正切值. tanA的值越大，梯子越_________.
如图所示是甲、乙两个自动扶梯的示意图，由图中的数据可知甲扶梯中 _______，乙扶梯中 因为,所以_________扶梯陡.
知识点③ 坡度与坡角
斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的____________与___________的比叫做坡度(或坡比).
坡面与水平面的夹角叫做____________.坡度是坡角的____________.
说明
坡度表示的是斜坡的倾斜程度，坡度越大，坡角越大，坡面越陡.习惯上坡度用字母i表示.
明考点 识方法
考点① 求锐角的正切值
典例1 如图所示,在Rt△ABC中, ∠ACB =90°, CD⊥AB 于点 D,AB=10,AC=8.
(1)求 tanA 的值;
(2)设∠BCD=∠α,求 tanα的值.
思路导析 (1)先用勾股定理求出 BC的长，再根据正切的定义求出 tanA 的值;(2)先证∠α=∠A,再得 tanα=tanA.
变式 如图,在Rt△ABC中,则tanB= ( )
B.3
考点② 利用正切值求线段长
典例2 在 中, 则 AB的长为___________.
思路导析 本题考查正切的定义，由 可求得AC的长.然后利用勾股定理求出AB的长.
变式 已知在 中, 2. 则
考点③ 与坡度有关的问题
典例3 在种植树木时，负责人员要求株距(相邻两树间的水平距离)为 4m .如图,若在坡比为1:2 的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为( )
B.4 m C.8 m
思路导析 本题考查正切的应用——坡度问题，由题目的已知条件，结合图形，添加适当的辅助线是解题的关键.过斜坡上的第一棵树树根处向水平面做垂线，构造出直角三角形，利用坡比和勾股定理进行计算，即可解答.
变式 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高 坡面 AB的坡度为 则AB 的长度为 ( )
A.10 m C.5 m
当堂测 夯基础
1.在 中，各边都扩大到原来的5倍，则锐角 A的正切函数值 ( )
A.不变 B.扩大为原来的5倍 C.缩小到原来的 D.不能确定
2.在 中,若 则 tanB的值为 ( )
B.2
3.由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为 ( )
第3题图 第4题图
4.如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm,深为 30cm,拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为C,现设计斜坡的坡度 i=1: 5,则 AC的长度是 ( )
A.200 cm B.210 cm C.240 cm D.300 cm
5.如图是一个自动扶梯的示意图,则tanβ=______________.
6.在 Rt△ABC 中,那么BC=____________.
7.如图，在四边形ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,AD 中点,若EF=6,BC=13,CD=5,则 tanC
等于______________.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1
对边 BC 邻边AC
知识点 2
陡
知识点 3
铅直高度 水平宽度 坡角 正切值
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)∵在 中,
变式 A
典例 2 10
变式 20
典例 3 A
变式 A
【当堂测·夯基础】
1. A 2. A 3. C 4. C
6.10
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