2.2 30°，45°，60°角的三角函数值同步学案（含答案）

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第二章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60°角的三角函数值
列清单·划重点
知识点 30°, 45°, 60°角的三角函数值表
三角函数 函数值 角度 正弦sinα 余弦cosα 正切 tanα
30°
45°
60°
规律总结 当α在0～90°之间变化时,随着α的增大, sinα逐渐_________, cosα逐渐 _________,tanα逐渐__________
明考点·识方法
考点① 求特殊角的三角函数值
典例1 已知α是锐角，则 sinα的值为___________.
思路导析 本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键。首先利用特殊角的三角函数值得到α-15°的值，然后求出α，最后利用α的正弦值求解即可.
变式 定义一种运算：
例如:当α=45°,β=30°时, 则 的值
为____________.
考点② 已知特殊角的三角函数值，求锐角的大小
典例2 如果 0,则 的形状是_________.
思路导析 本题考查特殊角的三角函数值以及非负数的性质，由 得 进而求得cosA,tanB，再由特殊角的三角函数值求得 可以判断三角形的形状.
变式 在 中，若则 是_________.
考点③ 特殊角的三角函数值的混合运算
典 例 3 计算:
思路导析 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键.将特殊角三角代入后根据实数的运算求解即可.
变式 计算：
考点4 特殊角的三角函数的实际应用
典例4 如图，海中有一小岛A，在B 处测得小岛 A 在北偏东 方向上，渔船从 B 处出发由西向东航行10海里到达C处，在C处测得小岛A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A的距离为 ( )
海里 海里 C.20海里 海里
思路导析 本题考查三角函数的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.首先由题意,得AC⊥BC,然后在 Rt△ABC中,利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.
变式1 某校安装了红外线体温检测仪(如图1)，其红外线探测点 O 可以在垂直于地面的支杆OP 上自由调节(如图2)，已知最大探测角最小探测角 该设备的安装高度OC 为 2.5米，则AB的长为 ( )
变式2 在 中,已知 为锐角,且 tanA,cosB恰为一元二次方程 的两个实数根.求 m 的值并判断 的形状.
当堂测·夯基础
1.下列三角函数的值是 的是 ( )
A. cos30° B. tan30° C. cos60° D. sin45°
2.在 中，若这个三角形一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.若锐角α满足 且 则α的范围是 ( )
4.如图,钓鱼竿 AC 长8m,露在水面上的鱼线 BC 长钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'长度是( )
5.已知实数,则下列说法正确的是 ( )
6.已知α是锐角,且求 的值.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 增大 减小 增大
【明考点·识方法】
典例
变式
典例2 等边三角形
变式 等腰直角三角形
典例3 解：原式
变式 解：原式
典例 4 D
变式 1 D
变式2 解:
把 代入方程 得解得
则原方程为 解方程，得
即 即 是直角三角形.
【当堂测·夯基础】
1. A 2. B 3. B 4. D 5. A
6.解: 且α是锐角，
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