2023-2024学年上海师大附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海师大附中高二（下）期末数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.函数的定义域为______．
2.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
3.若，则不同的有序集合组共有______种
4.若函数的定义域与值域都是，则实数 ______．
5.已知函数，若满足，则 ______．
6.纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点和，其中点从线段的端点向运动，点从射线的端点出发向运动，其中的长为的长无限大若的长度满足在第秒时，的长度满足在第秒时，记，，则是关于的一个对数函数根据以上定义，当时，则 ______．
7.如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 ______．
8.已知，，且，，则的取值范围是______．
9.已知满足方程：，满足方程：，则 ______．
10.已知正数，满足，则的最大值是______．
11.用模型拟合一组数据，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则______．
12.对于定义在非空集上的函数，若对任意的，，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是______．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13.人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14.若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是( )
A. B. C. D.
15.已知两个连续型随机变量，满足条件，且服从标准正态分布设函数，则的图像大致为( )
A. B.
C. D.
16.已知定义在上的严格递增函数满足：任意，有，，则下列两个命题的真假情况是( )
命题甲：存在非零实数，使得任意，；
命题乙：存在非零实数，使得任意，．
A. 甲真乙假 B. 甲假乙真 C. 甲真乙真 D. 甲假乙假
三、解答题（本大题共5小题，共78分）
17.（14分）设，函数．
若，解不等式；
求所有的，使得在区间上单调递增．
18.（14分）已知关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，，且，求实数的值．
设，是方程的两个实根，，是方程的两个实根，若，求实数的取值范围．
19.（14分）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式马尔科夫不等式的形式如下：
设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设的分布列为，，，，，其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有
根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立．
某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为现随机选择了名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
20.（18分）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
若，，求和；
试证明：“”是“”的充要条件；
若集合是有限集，将集合的元素个数记为已知，且存在实数满足对任意恒成立求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件．
21.（18分）给定函数与，若为严格递减函数且值域为为常数，则称对于具有“”．
证明：函数对于不具有“”；
判断函数对于是否具有“”；
若函数对于具有“”，求实数的值．
参考答案
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17.解：若，则．
由；得；得．
得或
即或．
得或或．
即不等式的解集为．
若判别式，即，二次函数的对称轴为，
当时，在区间上单调递增．；
若，即或，
当，得；
当，得；
明显符合，所以此时都满足条件
综上，．
18.解：根据韦达定理可得，
又因为，
所以，．
所以，
解得，．
又因为，且，是两个正实数根，
所以，
所以．
由韦达定理，得，，，．
前后两式分别相除，得．
因为，所以、同号．
若，
则，，矛盾．
若，则，，矛盾．
所以、、、同号，且有，即．
又因为，得，
所以．
结合，得，
即，结合，可知实数的取值范围为．
19.解：证明：法一：对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式，
有．
法二：设的分布列为
，，，，，
其中，
记，则对任意，
．
设在名患者中治愈的人数为假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下，，，．
由切比雪夫不等式，有．
即在假设下，名患者中治愈人数不超过人的概率不超过，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
20.解：由题意可得：，，，，，，
，，，，，．
若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的必要条件；
若，对任意，均有，
即对任意，，均有，，
由任意性可知，，则，
所以“”是“”的充分条件；
综上所述：“”是“”的充要条件．
设，
则，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围．
若取到最大值，则，即，
可得，即，
所以，．
21.解：证明：设，，
则函数对 不具有“”；
函数对于具有“”；
设，
当时，易得为减函数，
且，
即值域为
故函数对于具有“”；
令，
根据“确界保持性”定义可知在上单调递减，
故，即的值域为；
由于，
可以看到，若，即时，
则，可化简为，
且在上均单调递减，
故先证明符合题意，
当时，，
先证明在上单调递减，
设，，，则
，
当，时，，，，
故，，
，，
则，
即，
故即，
所以在上单调递减，
故，
，
当趋向于无限大时，，均无限接近于，且大于，即，且无限接近于，
故的值域为，故函数，
对于具有“”，
当时，，
取，则，
不满足函数值域为，
此时不符合题意，舍去；
当时，
则，
取，则，
不满足函数值域为，
此时不符合题意，舍去，
综上，当时，函数对于具有“”．
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