辽宁省2024年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024·辽宁）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
3．（2024·辽宁）越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（ ）
A．532×108 B．53.2×109 C．5.32×1010 D．5.32×1011
4．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．（2024·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+a
6．（2024·辽宁）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
7．（2024·辽宁）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·辽宁）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·辽宁）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
10．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024·辽宁）方程的解为 ．
12．（2024·辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A'的坐标为（2，1），则点B的对应点B'的坐标为 ．
13．（2024·辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 ．
14．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
15．（2024·辽宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 （用含a的代数式表示）．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（2024·辽宁）（1）计算：；
（2）计算：．
17．（2024·辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
18．（2024·辽宁）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
19．（2024·辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．
20．（2024·辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
21．（2024·辽宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长．
22．（2024·辽宁）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
23．（2024·辽宁）已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当时，则函数是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝﹣x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2﹣t1的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的俯视图是
故答案为：A
【分析】根据由小正方体组成的组合体的三视图结合题意画出其俯视图即可求解。
2．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意得-415＜-156＜-40＜-28，
∴最低海拔最小的大洲是亚洲
故答案为：A
【分析】根据题意直接比较有理数的大小，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将53200000000用科学记数法表示为5.32×1010
故答案为：C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A．，A不符合题意；
B．，B不符合题意；
C．，C不符合题意；
D．，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算结合题意对选项逐一计算即可求解。
6．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得总共有10个球，
∵事件发生的概率为，
∴该颜色的小球有3个，
∴该小球为红色小球，
故答案为：B
【分析】根据简单事件概率的计算结合题意分析，进而即可求解.
7．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形的定义：绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形，进而对选项逐一分析即可求解.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得，
故答案为：D
【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”结合生活常识即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形OCED的周长为，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，从而即可求出四边形OCED的周长。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点B作轴，垂足为点D，如图所示：
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
由勾股定理得，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故答案为：B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先根据一次函数图象上的点得到点B的坐标，进而根据勾股定理求出BO，从而根据菱形的性质得到轴，再根据平移-点的坐标的变化结合题意即可求解。
11．【答案】x＝3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得5=x+2，
∴x=3，
经检验，x=3为原方程的解，
故答案为：x=3
【分析】先根据题意去分母，进而即可解分式方程，最后检验即可求解。
12．【答案】（1，2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点平移至点，
∴点A向上平移了2个单位得到点，
∴向上平移2个单位后得到点，
故答案为：．
【分析】根据点的平移-坐标的变化结合点A和点A'即可得到点A向上平移了2个单位得到点，进而结合点B的坐标即可得到点B'的坐标。
13．【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12
【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而代入数值即可求出CD.
14．【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据题意将点B和点C代入二次函数解析式，进而即可得到a和b，再令y=0求出x，从而得到点A和点B的横坐标，再相减取绝对值即可求解。
15．【答案】a﹣10
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据作图得到平分，，进而根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，从而等量代换得到，根据运用FD=DA-FA即可求解。
16．【答案】（1）解：
＝16﹣10+23
＝9；
（2）解：
＝1．
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合题意进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算结合题意进行计算即可求解。
17．【答案】（1）解：设甲池的排水速度是x m3/h．
根据题意，得36﹣3x＝2（36﹣3×8），
解得x＝4，
∴甲池的排水速度是4m3/h．
（2）解：设排水t小时．
根据题意，得36×2﹣（4+8）t≥24，
解得t≤4，
∴最多可以排水4小时．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲池的排水速度是x m3/h，根据“蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍”即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解；
（2）设排水t小时，根据“这两个水池剩余水量的和不少于24m3”即可列出不等式，进而即可求解。
18．【答案】（1）解：样本容量为：12÷40%＝30，
30﹣1﹣12﹣10＝7（人），
即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；
（2）解：所抽取的学生成绩为C等级的人数为85；
（3）解：360120（人），
答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据直方图和扇形统计图即可求出样本容量，进而用总人数减去其他成绩等级的人数即可得到等级C的人数；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
19．【答案】（1）解：由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，
又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），
∴．
∴．
∴所求函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）解：由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，
又销售额是2600元，
∴2600＝﹣x2+100x．
∴x2﹣100x+2600＝0．
∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600
＝10000﹣10400
＝﹣400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）先根据题意得到销售额与x的二次函数关系式，进而根据题意结合一元二次方程根的判别式即可求解。
20．【答案】（1）解：如图2，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6m，
则AB的长为6m；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6m，AC＝3m，
根据勾股定理得：BC3m，
在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.60，1.73，
∴sin∠CDB，即0.60，
∴BD≈8.65m，
∴CE＝BD﹣BA＝8.65﹣6＝2.65≈2.7（m），
则物体上升的高度CE约为2.7m．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BC，进而解直角三角形即可求出BD，再根据CE=BD-BA即可求解。
21．【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵∠CAO是△ACE的一个外角，
∴∠CAO＝∠CEA+∠ACE，
即∠CAD+∠DAB＝∠CEA+∠ACE，
∵∠CEA＝∠CAD．
∴∠DAB＝∠ACE，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ABC+∠OCA＝90°，
∴∠ACE+∠OCA＝90°，
即∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，
设∠DAB＝x，
∵∠CEA＝2∠DAB，
∴∠CEA＝2x，
∵∠CEA＝∠CAD，
∴∠CAD＝2x，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴x+2x+x＝90°，
∴x＝22.5°，
即∠DAB＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝45°，
∵OA＝8，
∴的长为2π．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，先根据三角形外角的性质得到∠CAO＝∠CEA+∠ACE，即∠CAD+∠DAB＝∠CEA+∠ACE，进而等量代换得到∠DAB＝∠ACE，再根据圆得到∠ABC＝∠ACE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，从而结合题意等量代换即可得到∠ACE+∠OCA＝90°，即∠OCE＝90°，再根据切线的判定即可求解；
（2）连接OD，设∠DAB＝x，根据圆周角定理得到∠CEA＝2x，∠CAD＝2x，∠ABC＝∠DAB＝x，∠ABC+∠BAC＝90°，从而代入即可求出x，再结合题意即可得到∠BOD的度数，最后结合已知条件根据弧长的计算公式即可求解。
22．【答案】（1）解：证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC≌△CED（AAS）；
（2）解：PC＝PD，理由如下：
∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠ACF＝∠DCF，
由（1）知，
AC＝CD，△ABC≌△CED，
∴∠A＝∠DCE，
∵CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠DCE，
∴PC＝PD；
（3）解：①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，
∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠DEF，
∴EF＝DF，
∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点；
②解：设CE＝a，BC＝DE＝b，
∴BE＝BC﹣CE＝b﹣a，
由①知，
点F是PD的中点，
∴PFPD，
∵∠ABC＝∠PED＝90°，
∴BF∥DE，
∴△PBF∽△PED，
∴，
∴PE＝2BE＝2（b﹣a），BFDEb，
∴S△CEF，
∵∠PED＝90°，DE＝b，PE＝2（b﹣a），PD＝PC＝PE+CE＝2（b﹣a）+a＝2b﹣a，
∴b2+[2（b﹣a）]2＝（2b﹣a）2，
化简得，
3a2﹣4ab+b2＝0，
∴b＝a或b＝3a，
∵0°＜α＜45°，
∴a＝b舍去，
∴b＝3a，
∴S△CEFab，
∵∠DEC＝90°，
∴a2+b2＝202，
∴a2+（3a）2＝400，
∴a2＝40，
∴S△CEF，
∴△CEF的面积是30．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠DEC＝90°，进而得到∠D+∠DCE＝90°，再等量代换得到∠ABC＝∠DEC，根据旋转的性质得到∠ACD＝90°，AC＝CD，从而结合题意运用三角形全等的判定证明△ABC≌△CED（AAS）即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到∠ACF＝∠DCF，由（1）知，AC＝CD，△ABC≌△CED，进而根据三角形全等的性质得到∠A＝∠DCE，再根据三角形全等的判定与性质证明△ACF≌△DCF（SAS）得到∠A＝∠PDC，从而即可得到∠PDC＝∠DCE，最后根据等腰三角形的性质即可求解；
（3）①先根据折叠的性质得到PF＝EF，∠P＝∠PEF，进而结合题意进行角的运算得到∠PDE＝∠DEF，再根据等腰三角形的性质得到EF＝DF，等量代换得到PF＝DF，从而即可求解；
②设CE＝a，BC＝DE＝b，则BE＝BC﹣CE＝b﹣a，由①知点F是PD的中点，则PFPD，进而结合题意根据平行线的判定证明BF∥DE，从而根据相似三角形判定与性质证明△PBF∽△PED得到，从而结合三角形的面积运用勾股定理即可求解。
23．【答案】（1）解：，图象如图2所示．
（2）解：如图3，
∵，
设，B（m，3）．
因为点B在点A的上方，
当AB＝2时，
解得m＝3．
所以A（3，1）．
（3）解：①因为，
所以A（m，﹣m+4），B（m，﹣m2+4m）．
如果点B与点A重合，那么﹣m+4＝﹣m2+4m．
整理，得m2﹣5m+4＝0．
解得m＝1，或m＝4．
②由①可知，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+4x有两个交点（1，3）和（4，0），
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝2．
因为BC∥x轴，所以B、C两点关于直线x＝2对称．
如图4，当点B在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m﹣2）＝2m﹣4，
如图5，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
由点B在点A的上方，得BA＝（﹣m2+4m）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，
当2＜m＜4时，y＝2[（2m﹣4）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+14m﹣16，
当1＜m＜2时，y＝2[（4﹣2m）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+6m．
综上，y＝2m2+14m﹣16或＝﹣2m2+6m．
③情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度．
当m＝2时，y＝﹣2m2+6m＝4，所以P（2，4）．
当m＝4时，y＝﹣2m2+14m﹣16＝8，所以Q（4，8）．
所以t2﹣t1＝8﹣4＝4．
情形二，如图7（局部，变形处理），
点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点．
由，得，
所以，
所以点F的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，t2﹣t1＝4或3﹣2．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据“升幂函数”的定义结合题意即可得到，进而即可求解；
（2）设，先根据“升幂点”的定义得到，进而根据，在点上方即可得到，从而结合题意即可求解，
（3）①根据，，点与点重合即可得到，进而即可求解；
②先根据结合二次函数的图象与性质得到对称轴为，进而根据、关于对称轴对称结合得到，从而即可得到，，再根据点在点的上方，得到点在点的上方，进而分类讨论：当，当， 再结合题意即可求解；
③根据题意分两种情形讨论：情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度；情形二：如图7（局部，变形处理），点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点，进而结合题意即可求出t2﹣t1.
1 / 1辽宁省2024年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024·辽宁）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的俯视图是
故答案为：A
【分析】根据由小正方体组成的组合体的三视图结合题意画出其俯视图即可求解。
2．（2024·辽宁）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意得-415＜-156＜-40＜-28，
∴最低海拔最小的大洲是亚洲
故答案为：A
【分析】根据题意直接比较有理数的大小，进而即可求解。
3．（2024·辽宁）越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（ ）
A．532×108 B．53.2×109 C．5.32×1010 D．5.32×1011
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将53200000000用科学记数法表示为5.32×1010
故答案为：C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
5．（2024·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+a
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A．，A不符合题意；
B．，B不符合题意；
C．，C不符合题意；
D．，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算结合题意对选项逐一计算即可求解。
6．（2024·辽宁）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得总共有10个球，
∵事件发生的概率为，
∴该颜色的小球有3个，
∴该小球为红色小球，
故答案为：B
【分析】根据简单事件概率的计算结合题意分析，进而即可求解.
7．（2024·辽宁）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形的定义：绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形，进而对选项逐一分析即可求解.
8．（2024·辽宁）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得，
故答案为：D
【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”结合生活常识即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
9．（2024·辽宁）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形OCED的周长为，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，从而即可求出四边形OCED的周长。
10．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6）
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点B作轴，垂足为点D，如图所示：
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
由勾股定理得，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故答案为：B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先根据一次函数图象上的点得到点B的坐标，进而根据勾股定理求出BO，从而根据菱形的性质得到轴，再根据平移-点的坐标的变化结合题意即可求解。
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024·辽宁）方程的解为 ．
【答案】x＝3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得5=x+2，
∴x=3，
经检验，x=3为原方程的解，
故答案为：x=3
【分析】先根据题意去分母，进而即可解分式方程，最后检验即可求解。
12．（2024·辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A'的坐标为（2，1），则点B的对应点B'的坐标为 ．
【答案】（1，2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点平移至点，
∴点A向上平移了2个单位得到点，
∴向上平移2个单位后得到点，
故答案为：．
【分析】根据点的平移-坐标的变化结合点A和点A'即可得到点A向上平移了2个单位得到点，进而结合点B的坐标即可得到点B'的坐标。
13．（2024·辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 ．
【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12
【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而代入数值即可求出CD.
14．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据题意将点B和点C代入二次函数解析式，进而即可得到a和b，再令y=0求出x，从而得到点A和点B的横坐标，再相减取绝对值即可求解。
15．（2024·辽宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 （用含a的代数式表示）．
【答案】a﹣10
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据作图得到平分，，进而根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，从而等量代换得到，根据运用FD=DA-FA即可求解。
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（2024·辽宁）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：
＝16﹣10+23
＝9；
（2）解：
＝1．
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合题意进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算结合题意进行计算即可求解。
17．（2024·辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
【答案】（1）解：设甲池的排水速度是x m3/h．
根据题意，得36﹣3x＝2（36﹣3×8），
解得x＝4，
∴甲池的排水速度是4m3/h．
（2）解：设排水t小时．
根据题意，得36×2﹣（4+8）t≥24，
解得t≤4，
∴最多可以排水4小时．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲池的排水速度是x m3/h，根据“蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍”即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解；
（2）设排水t小时，根据“这两个水池剩余水量的和不少于24m3”即可列出不等式，进而即可求解。
18．（2024·辽宁）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】（1）解：样本容量为：12÷40%＝30，
30﹣1﹣12﹣10＝7（人），
即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；
（2）解：所抽取的学生成绩为C等级的人数为85；
（3）解：360120（人），
答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据直方图和扇形统计图即可求出样本容量，进而用总人数减去其他成绩等级的人数即可得到等级C的人数；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
19．（2024·辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．
【答案】（1）解：由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，
又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），
∴．
∴．
∴所求函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）解：由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，
又销售额是2600元，
∴2600＝﹣x2+100x．
∴x2﹣100x+2600＝0．
∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600
＝10000﹣10400
＝﹣400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）先根据题意得到销售额与x的二次函数关系式，进而根据题意结合一元二次方程根的判别式即可求解。
20．（2024·辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
【答案】（1）解：如图2，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6m，
则AB的长为6m；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6m，AC＝3m，
根据勾股定理得：BC3m，
在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.60，1.73，
∴sin∠CDB，即0.60，
∴BD≈8.65m，
∴CE＝BD﹣BA＝8.65﹣6＝2.65≈2.7（m），
则物体上升的高度CE约为2.7m．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BC，进而解直角三角形即可求出BD，再根据CE=BD-BA即可求解。
21．（2024·辽宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵∠CAO是△ACE的一个外角，
∴∠CAO＝∠CEA+∠ACE，
即∠CAD+∠DAB＝∠CEA+∠ACE，
∵∠CEA＝∠CAD．
∴∠DAB＝∠ACE，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ABC+∠OCA＝90°，
∴∠ACE+∠OCA＝90°，
即∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，
设∠DAB＝x，
∵∠CEA＝2∠DAB，
∴∠CEA＝2x，
∵∠CEA＝∠CAD，
∴∠CAD＝2x，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴x+2x+x＝90°，
∴x＝22.5°，
即∠DAB＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝45°，
∵OA＝8，
∴的长为2π．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，先根据三角形外角的性质得到∠CAO＝∠CEA+∠ACE，即∠CAD+∠DAB＝∠CEA+∠ACE，进而等量代换得到∠DAB＝∠ACE，再根据圆得到∠ABC＝∠ACE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，从而结合题意等量代换即可得到∠ACE+∠OCA＝90°，即∠OCE＝90°，再根据切线的判定即可求解；
（2）连接OD，设∠DAB＝x，根据圆周角定理得到∠CEA＝2x，∠CAD＝2x，∠ABC＝∠DAB＝x，∠ABC+∠BAC＝90°，从而代入即可求出x，再结合题意即可得到∠BOD的度数，最后结合已知条件根据弧长的计算公式即可求解。
22．（2024·辽宁）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
【答案】（1）解：证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC≌△CED（AAS）；
（2）解：PC＝PD，理由如下：
∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠ACF＝∠DCF，
由（1）知，
AC＝CD，△ABC≌△CED，
∴∠A＝∠DCE，
∵CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠DCE，
∴PC＝PD；
（3）解：①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，
∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠DEF，
∴EF＝DF，
∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点；
②解：设CE＝a，BC＝DE＝b，
∴BE＝BC﹣CE＝b﹣a，
由①知，
点F是PD的中点，
∴PFPD，
∵∠ABC＝∠PED＝90°，
∴BF∥DE，
∴△PBF∽△PED，
∴，
∴PE＝2BE＝2（b﹣a），BFDEb，
∴S△CEF，
∵∠PED＝90°，DE＝b，PE＝2（b﹣a），PD＝PC＝PE+CE＝2（b﹣a）+a＝2b﹣a，
∴b2+[2（b﹣a）]2＝（2b﹣a）2，
化简得，
3a2﹣4ab+b2＝0，
∴b＝a或b＝3a，
∵0°＜α＜45°，
∴a＝b舍去，
∴b＝3a，
∴S△CEFab，
∵∠DEC＝90°，
∴a2+b2＝202，
∴a2+（3a）2＝400，
∴a2＝40，
∴S△CEF，
∴△CEF的面积是30．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠DEC＝90°，进而得到∠D+∠DCE＝90°，再等量代换得到∠ABC＝∠DEC，根据旋转的性质得到∠ACD＝90°，AC＝CD，从而结合题意运用三角形全等的判定证明△ABC≌△CED（AAS）即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到∠ACF＝∠DCF，由（1）知，AC＝CD，△ABC≌△CED，进而根据三角形全等的性质得到∠A＝∠DCE，再根据三角形全等的判定与性质证明△ACF≌△DCF（SAS）得到∠A＝∠PDC，从而即可得到∠PDC＝∠DCE，最后根据等腰三角形的性质即可求解；
（3）①先根据折叠的性质得到PF＝EF，∠P＝∠PEF，进而结合题意进行角的运算得到∠PDE＝∠DEF，再根据等腰三角形的性质得到EF＝DF，等量代换得到PF＝DF，从而即可求解；
②设CE＝a，BC＝DE＝b，则BE＝BC﹣CE＝b﹣a，由①知点F是PD的中点，则PFPD，进而结合题意根据平行线的判定证明BF∥DE，从而根据相似三角形判定与性质证明△PBF∽△PED得到，从而结合三角形的面积运用勾股定理即可求解。
23．（2024·辽宁）已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当时，则函数是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝﹣x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2﹣t1的值．
【答案】（1）解：，图象如图2所示．
（2）解：如图3，
∵，
设，B（m，3）．
因为点B在点A的上方，
当AB＝2时，
解得m＝3．
所以A（3，1）．
（3）解：①因为，
所以A（m，﹣m+4），B（m，﹣m2+4m）．
如果点B与点A重合，那么﹣m+4＝﹣m2+4m．
整理，得m2﹣5m+4＝0．
解得m＝1，或m＝4．
②由①可知，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+4x有两个交点（1，3）和（4，0），
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝2．
因为BC∥x轴，所以B、C两点关于直线x＝2对称．
如图4，当点B在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m﹣2）＝2m﹣4，
如图5，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
由点B在点A的上方，得BA＝（﹣m2+4m）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，
当2＜m＜4时，y＝2[（2m﹣4）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+14m﹣16，
当1＜m＜2时，y＝2[（4﹣2m）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+6m．
综上，y＝2m2+14m﹣16或＝﹣2m2+6m．
③情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度．
当m＝2时，y＝﹣2m2+6m＝4，所以P（2，4）．
当m＝4时，y＝﹣2m2+14m﹣16＝8，所以Q（4，8）．
所以t2﹣t1＝8﹣4＝4．
情形二，如图7（局部，变形处理），
点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点．
由，得，
所以，
所以点F的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，t2﹣t1＝4或3﹣2．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据“升幂函数”的定义结合题意即可得到，进而即可求解；
（2）设，先根据“升幂点”的定义得到，进而根据，在点上方即可得到，从而结合题意即可求解，
（3）①根据，，点与点重合即可得到，进而即可求解；
②先根据结合二次函数的图象与性质得到对称轴为，进而根据、关于对称轴对称结合得到，从而即可得到，，再根据点在点的上方，得到点在点的上方，进而分类讨论：当，当， 再结合题意即可求解；
③根据题意分两种情形讨论：情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度；情形二：如图7（局部，变形处理），点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点，进而结合题意即可求出t2﹣t1.
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