甘肃省酒泉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

甘肃省酒泉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则( )
A.平均分变大，方差变大 B.平均分变小，方差变小
C.平均分变小，方差变大 D.平均分不变，方差变小
2．已知i是虚数单位，则复数( )
A.-1 B.i C. D.1
3．已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.6
4．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则( )
A.若，，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
5．三人被邀请参加一个晚会,若晚会必须有人去,去几人自行决定,则恰有一人参加晚会的概率为( )
A. B. C. D.
6．若正方体的内切球的表面积为，则此正方体最多可容纳半径为1的小球的个数为( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
7．已知，则( )
A. B. C. D.
8．如图，点O是的重心，点D是边上一点，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图，有一张长方形球台，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为( )
A. B. C. D.
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.丙与丁相互独立 D.乙与丙不相互独立
11．如图，在棱长为2的正方体中，P在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有( )
A.
B.
C.直线与平面所成角的最大值是
D.的最小值为
三、填空题
12．已知复数z的模为2，则的最大值为________.
13．某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为________.
14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度________米.
四、解答题
15．已知，，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当k为何值时，？
16．本学期初，某校对全校高一学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计该校高一学生数学成绩的平均数和分位数；
（2）为进一步了解学困生的学习情况，从上述数学成绩低于70分的学生中，分层抽样抽出6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.
17．（1）叙述并证明平面与平面平行的性质定理；
（2）设，是两个不同的平面，m，n是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出一个正确的命题，并证明.
18．已知向量，，函数.
（1）若，，求的值；
（2）若，，，，求的值；
（3）设中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且锐角B满足，求的取值范围.
19．如图，在六面体中，，正方形的边长为2，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线EF与平面所成角的正切值；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（4）求多面体的体积.
参考答案
1．答案：D
解析：设7个打分中除了一个最高分10分和一个最低分9分之外的数据为，，，，，
因为，
故可得，
则去掉一个最高分10分和一个最低分9分之后的平均分为；
因为去掉一个最高分和最低分后，数据更加集中，故方差变小.
故选：D.
2．答案：A
解析：.
故选：A
3．答案：A
解析：已知向量，，，
所以，解得.
故选：A.
4．答案：B
解析：对于选项A，如图1，当，满足，，，，时，l与可以斜交，故选项A错误，
对于选项B，因为，，所以，因为，则由线面垂直的判定定理得，故选项B正确，
对于选项C，因为，，所以，因为，所以，故选项C错误，
对于选项D，若，，，则l与m可以相交、平行或异面，如图2，满足，，，而l与m异面，故选项D错误，
故选：B.
5．答案：B
解析：设三人为A,B,C,则参加晚会的情况有A,B,C,AB,AC,BC,ABC,共7种情况,其中恰有一人参加晚会的情况有3种,故所求的概率为.
6．答案：B
解析：设正方体的棱长为a，则其内切球的直径为a，
由题意，解得，即正方体的棱长为4，半径为1的两个球的直径和为4，
故正方体内最多可以放8个半径为1的球.
故选：B
7．答案：B
解析：展开得，
两边同时平方有，
即，解得，
故选：B.
8．答案：C
解析：如图所示，延长交于E，
由已知O为的重心，则点E为的中点，可得，且，
又由，可得D是的四等分点，
则，
因为，所以，，所以.
故选：C.
9．答案：BC
解析：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：
，，由反射的性质，得，关于对称，，关于对称，
即G，E为的三等分点，因此，C正确；
第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：
，，由反射的性质，得，关于对称，，关于对称，
即G，F为的三等分点，因此，B正确.
故选：BC
10．答案：BD
解析：两次取出的球的数字之和为8，有，，，，，共5种情况，
所以；两次取出的球的数字之和为7，有，，，，，，共6种情况，
所以；；
对于A，，故甲与丙不相互独立，错误；
对于B，，故甲与丁相互独立，正确；
对于C，，故丙与丁不相互独立，错误.
对于D，，故乙与丙不相互独立，正确；
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对于选项A，由正方体性质，易得，，
因为，平面，
所以平面.
因为平面，所以，故A正确；
对于选项B，当P与B重合，则此时与夹角为，故B错误；
对于选项C，如图连接交于H，
因为平面，平面，所以.
因为，，平面，
所以平面，即平面，
所以为直线与平面所成角，所以.
所以当最小时最大，即时，最小.
由，可得，
此时，故的最大值为，
直线与平面所成角的最大值是，故C正确；
对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内
由题意，，，，，，
从而，，故为平行四边形.
又，故为矩形.
从而当P为与交点时，最小，此时，故D正确.
故选:ACD.
12．答案：3
解析：复数z的模为2，表示复数z在复平面内对应的点Z到原点O的距离为2，
则点Z的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，
而是圆O上的点到点的距离，
所以.
故答案为：3
13．答案：
解析：记事件“甲专家独立解决”，事件“乙专家独立解决”，
则，，而A，B相互独立，即，
所以，即问题被解决的概率为.
故答案为：
14．答案：
解析：设，因为，，，
所以，，，.
在中，，
即①.，
在中，，
即②，
因为，
所以①②两式相加可得：，解得：，
则，
故答案为：.
15．答案：（1），；
（2）.
解析：（1），，与的夹角是，
，
；
（2）由题意，，
即，
解得，
即时，.
16．答案：（1），平均数75.5，分位数88
（2）
解析：（1）由，
解得；
该校高一学生数学成绩的平均数为.
前3组的频率和为，
所以分位数为；
（2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为1，2，
的有人，记为3，4，5，6，
从6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，
其中2人分数都在的有34，35，36，45，46，56共6种，
所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.
17．答案：（1）答案见解析；
（2）答案见解析
解析：（1）两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
已知：如图，已知，，，求证：.
证明：因为，所以与没有公共点，
又，，所以，，
所以a与b没有公共点，
又，，
；
（2）命题一：若，，，则（②③④①）.
证明：过平面和平面外一点P，作，交于A，作，交于B，
则，，，
显然与不平行，设，则、，所以，，
因为，平面，所以平面，
延展平面交l于点M，连接，，平面，
所以，，
则是二面角的一个平面角，
因为，，所以，同理有，
又，所以四边形为矩形，则，
则平面和平面形成的二面角的平面角直二面角，故，
命题二：若，，，则（①③④②）.
证明：因为，，，
设，在平面内作直线，根据面面垂直的性质定理可得，
又因为，所以，
因为，，所以，所以.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）依题意，，
由，得，由，得，则，
则.
（2）由，得，由，得，
则，
由，，得，
则
由，得，
所以的值为.
（3）由，得，而，即，解得，即，则，设，，，，
由正弦定理得，则，，
于是，
所以的取值范围是.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）；
（4）.
解析：（1）由，平面，平面，得平面，
由正方形，得，又平面，平面，得平面，而，平面，
所以平面平面.
（2）连接，在正方形中，，则，而，，，
即有，，于是，，
而，平面，则平面，由，
得平面，因此在平面内的射影是，
令直线与平面所成的角为，在直角梯形中，，
所以直线EF与平面所成角的正切值为.
（3）延长与的延长线交于点G，连接，则平面平面，
由（2）知，平面，平面，则，
由，，得，取的中点O，连接，，
由，得，而，平面，
则平面，又平面，则，
因此是二面角的平面角，在中，，
而，，则，，
所以平面与平面所成二面角的余弦值是.
（4）由（2）知，平面，而平面，则，又，，平面，于是平面，
四棱锥的体积，
由平面，得三棱锥的体积，
所以多面体的体积.