福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷（含解析）

福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．甲 乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，则甲 乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
3．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4．已知三条不重合的直线a，b，c和平面，下列命题中是真命题的为( )
A.若直线a，b和平面所成的角相等，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
5．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116，785，812，730，134，452，125，689，024，169
334，217，109，361，908，284，044，147，318，027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是( )
A. B. C. D.
6．如图所示，在中，D为BC边上的三等分点，若，，E为AD中点，则( )
A. B. C. D.
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，底面是边长为3的等边三角形.若三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党 知史爱国的热情，某校举办了“学党史 育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的( )
A.a的值为0.005；
B.估计成绩低于60分的有25人
C.估计这组数据的众数为75
D.估计这组数据的第85百分位数为86
10．下列说法正确的是( )
A.已知事件A，B，且，，如果，那么，
B.对于单峰的频率分布直方图而言，若直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数
C.若A，B是两个互斥事件，则
D.若事件A，B，C两两独立，则
11．如图，棱长为1的正方体中中，下列结论正确的是( )
A.异面直线与所成的角为
B.直线与平面所成的角为
C.二面角平面角的正切值为
D.点到平面的距离为
三、填空题
12．在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为____________.
13．设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足A，B，C两两不独立，则______.
四、双空题
14．在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为__________，方差为__________.
五、解答题
15．已知复数是方程的一个虚根（i是虚数单位，）.
（1）求；
（2）复数，若为纯虚数，求实数a的值.
16．已知向量，满足，，.
（1）求向量，的夹角的大小；
（2）设向量，，若，的夹角为锐角，求实数k的取值范围.
17．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）.
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率.
18．已知平面，平面，为等边三角形，，，F为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值.
19．如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知，且，.
（1）求b的值；
（2）求的面积；
（3）设点E，F分别为边，上的动点（含端点），线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
所以该复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D
2．答案：C
解析：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为，所以，又向量，的夹角为，且，
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：D
4．答案：D
解析：对于A，若直线a，b和平面所成的角相等，则直线a，b可以相交或异面或平行，即A错误；
对于B，若，，则直线a，b可以相交或异面或平行，即B错误；
对于C，若，，则可能是，即C错误；
对于D，若，，由线面垂直性质可得，即D正确.
故选：D
5．答案：B
解析：由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：116，812，730，217，109，361，284，147，318，027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B
6．答案：A
解析：
故选：A
7．答案：A
解析：在中，因，由正弦定理可得，
由余弦定理得：，解得，，所以的面积为.
故选：A.
8．答案：A
解析：设球O半径为R，的外心为，
由题意得外接圆半径为，面积为，
所以，
所以最大值，
所以，即，解得，
所以球O的表面积为.
故选:A.
9．答案：ACD
解析：对于A，由，得.故A正确；
对于B，估计成绩低于60分的有人.故B错误；
对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故C正确；
对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则，
解得：，故D正确.
故选：ACD
10．答案：BC
解析：对于A，如果，则，故，，故，故A错误；
对于B，对于单峰的频率分布直方图而言，如果左右对称，则中位数和平均数大致相等，若直方图在右边“拖尾”，则平均数将变大，更远离峰值处，中位数位于单峰附近，
故平均数大于中位数，B正确；
对于C，因为A，B是两个互斥事件，故，
所以，故C正确；
对于D，举例如从1、2、3、4四个数字中随机取一个，即事件“取出的数字为1或2”，事件“取出的数字为1或3”，事件“取出的数字为1或4”，
“取出的数字为1”，
则，，
满足，，，
即事件A，B，C两两独立，但，故D错误，
故选：BC
11．答案：ACD
解析：对于A，连接，，
，，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），
，为等边三角形，，
即异面直线与所成角为，A正确；
对于B，连接，
平面，即为直线与平面所成角，
，，，，
，即直线与平面所成角不是，B错误；
对于C，连接，交于点O，连接，，
四边形为正方形，，O为，中点，
，，
二面角的平面角为，
平面，平面，，
又，，，
，
即二面角的正切值为，C正确；
对于D，连接，，，
，，
，
又，，
设点到平面的距离为d，则，解得：，
即点到平面的距离为，D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：P在平面上的投影是H，因为是正四棱锥，
所以H是正方形对角线的交点，连结，
，，
所以，于是.
故答案为：.
13．答案：13
解析：由题意，，所以，
所以1是A，B，C共同的唯一的样本点，又A，B，C两两不独立，即，，，
可见m，n不可以为4或5，所以m，n为6或7，即.
故答案为：13
14．答案：①.168；②.46.8
解析：易知总样本的平均数为，
代入公式可得总样本的方差为；
因此总样本的平均数为168，方差为46.8；
故答案为：168；46.8.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1），
，
且，，
，则.
（2），
又为纯虚数，且，
.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由，两边平方得，
，，
，解得，
，
，
.
（2）向量，的夹角为锐角，等价于且，方向不同.
所以，解得，
若，方向相同，设，
，
，不共线，
，解得，
综上所述，k的取值范围是.
17．答案：（1），平均分为116.5；
（2）
解析：（1）由频率分布直方图，，，
平均分为；
（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，
抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为a，b，
从这6人中任取2人基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）取的中点G，连接、.
F为的中点，且.
平面，平面，
，.
又，.
四边形为平行四边形，则.
平面，平面，
平面.
（2）为等边三角形，F为的中点，.
平面，平面，.
，所以，，
又，平面，
平面.
平面，平面平面.
（3）在平面内，过F作于H，连接.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
为和平面所成的角.
因，，则，，
在中，，
直线和平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）由，
由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得，
得，且，所以，；
（2）由为边上中线，可得，
则，
由，可得，
则，则，
则，
，
则；
（3）由，可得，
设，，，
由的面积为面积的，可得，
则，则，设，由为中线，可得，
则，由E，F，G共线可得，
，
由可得，
由，可得，则