2023~2024学年吉林长春朝阳区长春市第二中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 2023~2024学年吉林长春朝阳区长春市第二中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-31 22:22:44 | ||
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文档简介
2023~2024学年吉林长春朝阳区长春市第二中学高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设集合 ，则
A.
B.
C.
D.
2、设 ，且 ，则 （ ）
A.
B.10
C.100
D.1000
3、不等式 的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、设 ，则 （ ）
A.0
B.1
C.
D.
5、设 ，则a，b，c的大小顺序为
A.
B.
C.
D.
6、下列函数是偶函数，且在区间 上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、函数y＝ (a>0，且a≠1)的图像可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知定义在R上的连续奇函数 满足 ，且在区间 上单调递增，下列说法正确的个数
为（ ）
①函数 的图象关于直线 对称
②函数 的单调递增区间为
③函数 在区间 上恰有1010 个最值点
④若关于x的方程 在区间 上有根，则所有根的和可能为0或 或
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、设函数 、 的定义域都为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 是偶函数
D. 是奇函数
10、若“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的值可以是（ ）
A.
B.
C.1
D.4
11、下列说法正确的是（ ）
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ，则
D.函数 的最小值是2
12、已知函数 ， ，函数 在区间 上的最大值为9，
最小值为1．函数 与函数 图象在 上有两个不同的交点，则实数k的可能取值为（ ）
A.0
B.
C.
D.1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，则点 的坐标为 ．
14、函数 在 上的值域是 .
15、若 ， ，定义 且 ，则
.
16、已知函数 ， ，若存在 ，对任意 ，总存在唯一
，使得 成立，则a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
计算下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
18、（本小题12分）
已知幂函数 在 上单调递增，函数 .
（1）求 的值；
（2）当 ， 时，记 ， 的值域分别为集合 ， ，设命题 ，命题 ，若命题 是 成
立的必要条件，求实数 的取值范围.
19、（本小题12分）
2020酒驾醉驾处罚标准：醉驾根据《刑法》第一百三十三条规定，处拘役，一到六个月．饮酒后驾驶机动车
的，处暂扣六个月机动车驾驶证，记12分并处一千元以上二千元以下罚款．根据血液酒精含量定性，大于（等
于）0.02mg/mL且小于（等于）0.08mg/mL的为酒驾，大于0.08mg/mL的为醉驾．某驾驶员喝了少量酒后，血液
中酒精含量上升到0.3mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．以 （单位：
mg/mL）表示该驾驶员在停止喝酒 小时后血液中的酒精含量．
（1）将 表示为 的函数；
（2）为了保障交通安全，该 驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶？（精确到1小时）
20、（本小题12分）
已知函数 ，且 ．
（1）求m；
（2）判断并 证明 的奇偶性；
（3）判断函数 在 ，上 是单调递增还是单调递减？并证明．
21、（本小题12分）
设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若 ，求使不等式 恒成立的t的取值范围．
22、（本小题12分）
已知函数 ， .
(1)若 在区间 上单调递增，求m的取值范围；
(2)解关于 不等式 .
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
，故 ，因此正确答案为：B.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
根据题意由 可得 ，
所以 ，
即可得 ，即 .
故选：C
3、
<答 案>:
D
<解析>:
不等式 ，即 ， ，解得 或 ，
故不等式解集为： .
故选：D.
4、
<答 案>:
C
<解析>:
解：因为 ，
所以 .
故选：C.
5、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 单调递增，所以 ，因为 单调递减，所以
， ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，综上：
.故选：A
6、
<答 案>:
D
<解析>:
对于A， 是偶函数，但在区间 上是单调递减，不合题意；
对于B ， 是偶函数，但在区间 上是单调递减，不合题意；
对于C， 是奇函数，不合题意；
对于D， 是偶函数，且在区间 上单调递增，符合题意.
故选：D
7、
<答 案>:
D
<解析>:
解：因为 （ 且 ），即 ，
当 时， ，函数在定义域上单调递增，且与 轴的交点位于 之间，故排除A、B；
当 时， ，函数在定义域上单调递减，且与 轴的交点位于 轴负半轴，故排除C；
故选：D
8、
<答 案>:
C
<解析>:
因为定义在R上的连续奇函数 满足 ，
所以 ，即 ，
所以 是以8为周期的函数， （ 且 ）也是其周期 ，
又 ，则 ，即 ，
所以函数 的一条对称轴为 ，又 （ 且 ）是 的周期，
所以 ，则 为函数的对称轴，所以
也是函数的对称轴，故①正确；
可画出函数的模拟图象如下：
由图可知，函数 的单调递减区间为 ，故②错误；
由图可知， 在一个周期内有两个最值点，在区间 上有505个 完整周期，有1010个最值点，在
区间 和 上无最值点，故在区间 上有1010个最值点，故③正确；
由图中 五条直线可知，关于 的方程 在区间 上有根，则所有根的 和可能
为0或 或 ，故④正确.
综上，正确的个数为3个.
故选：C.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B
<解析>:
是奇函数， 是偶函数， ， ，
，故 是奇函数，A正确；
，故 为偶函数，B正确；
，故 是奇函数，C错误 ；
，故 为偶函数，D错误.
故选：AB．
10、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
解：因为“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，
所以 或
所以 或 ，
即 或 .
故选：ACD.
11、
<答案 >:
B;C
<解析>:
对于A选项，取 ， ， ，则 ，故 错误；
对于B选项， ， ， ， ，故B无误；
对于C选项， ， ， ， ，故 C无误；
对于D选项，函数 ，令 ，
由函数 在 上单调递增， ，故D有误.
因此正确答案为：BC
12、
<答案 >:
B;C
<解析>:
令 ，
则 ，且 的值域即为 的值域.
由 ，则 的图象开口向上，且对称轴为 ，
则 在 单调递增，
故 ， ，
解得， ，
故 ，
因为函数 与函数 图 象在 上有两个不同的交点，
则方程 ，即 在 有两个 不等的实数根，
，则 ，
即关于 的方程 在 有两个不等的实数根，
令 ，则图象开口向上，对称轴为 ，
且 ，
则有 ，解得 ，
故选：BC.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
令 ，即 ，则 ，
所以定点 为 ，
故答案为： ．
14、
<答案 >:
<解析>:
解：当 时，函数 在 上是增函数，
故当 时，函数取得最小值为1，
又 ，故函数 的值域为 ，
因此正确答案为： ．
15、
<答案 >:
<解析>:
由 ，
由 ， ，
因此 ，
因为 且 ，
所以 ，
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的值域是 ，
所以对任意 ，总存 在唯一 ，使得 成立，
当 ，即 时，有 ，解得 ；
当 ，即 时，有 ，解得 ；
当 ，即 时，有 或 ，
解得 .
综上，所以a的取值范围为 或 .
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1) / 0.5
(2)
<解析>:
（1）
（2）
=
=
=
=
18、
<答案 >:
（1）0；（2） .
<解析>:
（1）通过题意得： ， 或 ，
当 时， 在 上单调递减，
与题设矛盾，舍去，
.
（2）由（ 1）得： ，
当 ， 时， ， ，即 ， ，
当 ， 时， ， ，即 ， ，
若命题 是 成立的必要条件，则 ，
则 ，即 ，
解得： .
19、
<答案 >:
（1） ；（2）至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆．
<解析>:
解：（1）1小时候驾驶员血液中的酒精含量为 ． mg/mL，
2 小时候驾驶员血液中的酒精含量为 ． mg/mL，即 ． mg/mL，
小时后其血液中酒精含量为 ． mg/mL，
所以 ．
（2）通过题意可知 ，即
采用估算法， 时 ； 时 ， 时 ，
时 ，由于 是减函数，所以满足要求的 的最小值为4，
故至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆．
20、
<答案 >:
（1） ；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
<解析>:
（1）通过题意，函数 ，且 ，
则 ，解得 ；
（2）由（1）可知 ，其定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，
所以 是奇函数；
（3） 在 上是单调递增函数．
证明如下：
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ， ，则 ，即 ，
所以 在 上是单调递增函数．
21、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 ，
可得 ，解得
（2）由 可知 ，又因为 ，所以可得 ；
由指数函数性质可知，当 时， 在定义域 上单调递增；
不等式 可转化为 ，
即可得 恒成立，即 ，
由二次函数性质可得 在 处取得最大值， ，所以可得 ，
即t的取值范围为 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)答案见解析
<解析>:
（1）解：①当 时，函数 在区间 上单调递增，合乎题意；
②当 时，若函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 或 ，此时， ；
③当 时，若函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
（2）解：由 可得 .
①当 时，原不等式即为 ，解得 ，此时，原不等式的解集为 ；
②当 时，解方程 可得 或 .
（i）当 时， ，此时，原不等式的解集为 或 ；
（ii）当 时， ，此时，原不等式的解集为 ；
（iii）当 时， ，此时，原不等式的解集为 ；
（iv）当 时， ，此时，原不等式的解集为 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设集合 ，则
A.
B.
C.
D.
2、设 ，且 ，则 （ ）
A.
B.10
C.100
D.1000
3、不等式 的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、设 ，则 （ ）
A.0
B.1
C.
D.
5、设 ，则a，b，c的大小顺序为
A.
B.
C.
D.
6、下列函数是偶函数，且在区间 上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、函数y＝ (a>0，且a≠1)的图像可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知定义在R上的连续奇函数 满足 ，且在区间 上单调递增，下列说法正确的个数
为（ ）
①函数 的图象关于直线 对称
②函数 的单调递增区间为
③函数 在区间 上恰有1010 个最值点
④若关于x的方程 在区间 上有根，则所有根的和可能为0或 或
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、设函数 、 的定义域都为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 是偶函数
D. 是奇函数
10、若“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的值可以是（ ）
A.
B.
C.1
D.4
11、下列说法正确的是（ ）
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ，则
D.函数 的最小值是2
12、已知函数 ， ，函数 在区间 上的最大值为9，
最小值为1．函数 与函数 图象在 上有两个不同的交点，则实数k的可能取值为（ ）
A.0
B.
C.
D.1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，则点 的坐标为 ．
14、函数 在 上的值域是 .
15、若 ， ，定义 且 ，则
.
16、已知函数 ， ，若存在 ，对任意 ，总存在唯一
，使得 成立，则a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
计算下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
18、（本小题12分）
已知幂函数 在 上单调递增，函数 .
（1）求 的值；
（2）当 ， 时，记 ， 的值域分别为集合 ， ，设命题 ，命题 ，若命题 是 成
立的必要条件，求实数 的取值范围.
19、（本小题12分）
2020酒驾醉驾处罚标准：醉驾根据《刑法》第一百三十三条规定，处拘役，一到六个月．饮酒后驾驶机动车
的，处暂扣六个月机动车驾驶证，记12分并处一千元以上二千元以下罚款．根据血液酒精含量定性，大于（等
于）0.02mg/mL且小于（等于）0.08mg/mL的为酒驾，大于0.08mg/mL的为醉驾．某驾驶员喝了少量酒后，血液
中酒精含量上升到0.3mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．以 （单位：
mg/mL）表示该驾驶员在停止喝酒 小时后血液中的酒精含量．
（1）将 表示为 的函数；
（2）为了保障交通安全，该 驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶？（精确到1小时）
20、（本小题12分）
已知函数 ，且 ．
（1）求m；
（2）判断并 证明 的奇偶性；
（3）判断函数 在 ，上 是单调递增还是单调递减？并证明．
21、（本小题12分）
设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若 ，求使不等式 恒成立的t的取值范围．
22、（本小题12分）
已知函数 ， .
(1)若 在区间 上单调递增，求m的取值范围；
(2)解关于 不等式 .
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
，故 ，因此正确答案为：B.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
根据题意由 可得 ，
所以 ，
即可得 ，即 .
故选：C
3、
<答 案>:
D
<解析>:
不等式 ，即 ， ，解得 或 ，
故不等式解集为： .
故选：D.
4、
<答 案>:
C
<解析>:
解：因为 ，
所以 .
故选：C.
5、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 单调递增，所以 ，因为 单调递减，所以
， ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，综上：
.故选：A
6、
<答 案>:
D
<解析>:
对于A， 是偶函数，但在区间 上是单调递减，不合题意；
对于B ， 是偶函数，但在区间 上是单调递减，不合题意；
对于C， 是奇函数，不合题意；
对于D， 是偶函数，且在区间 上单调递增，符合题意.
故选：D
7、
<答 案>:
D
<解析>:
解：因为 （ 且 ），即 ，
当 时， ，函数在定义域上单调递增，且与 轴的交点位于 之间，故排除A、B；
当 时， ，函数在定义域上单调递减，且与 轴的交点位于 轴负半轴，故排除C；
故选：D
8、
<答 案>:
C
<解析>:
因为定义在R上的连续奇函数 满足 ，
所以 ，即 ，
所以 是以8为周期的函数， （ 且 ）也是其周期 ，
又 ，则 ，即 ，
所以函数 的一条对称轴为 ，又 （ 且 ）是 的周期，
所以 ，则 为函数的对称轴，所以
也是函数的对称轴，故①正确；
可画出函数的模拟图象如下：
由图可知，函数 的单调递减区间为 ，故②错误；
由图可知， 在一个周期内有两个最值点，在区间 上有505个 完整周期，有1010个最值点，在
区间 和 上无最值点，故在区间 上有1010个最值点，故③正确；
由图中 五条直线可知，关于 的方程 在区间 上有根，则所有根的 和可能
为0或 或 ，故④正确.
综上，正确的个数为3个.
故选：C.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B
<解析>:
是奇函数， 是偶函数， ， ，
，故 是奇函数，A正确；
，故 为偶函数，B正确；
，故 是奇函数，C错误 ；
，故 为偶函数，D错误.
故选：AB．
10、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
解：因为“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，
所以 或
所以 或 ，
即 或 .
故选：ACD.
11、
<答案 >:
B;C
<解析>:
对于A选项，取 ， ， ，则 ，故 错误；
对于B选项， ， ， ， ，故B无误；
对于C选项， ， ， ， ，故 C无误；
对于D选项，函数 ，令 ，
由函数 在 上单调递增， ，故D有误.
因此正确答案为：BC
12、
<答案 >:
B;C
<解析>:
令 ，
则 ，且 的值域即为 的值域.
由 ，则 的图象开口向上，且对称轴为 ，
则 在 单调递增，
故 ， ，
解得， ，
故 ，
因为函数 与函数 图 象在 上有两个不同的交点，
则方程 ，即 在 有两个 不等的实数根，
，则 ，
即关于 的方程 在 有两个不等的实数根，
令 ，则图象开口向上，对称轴为 ，
且 ，
则有 ，解得 ，
故选：BC.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
令 ，即 ，则 ，
所以定点 为 ，
故答案为： ．
14、
<答案 >:
<解析>:
解：当 时，函数 在 上是增函数，
故当 时，函数取得最小值为1，
又 ，故函数 的值域为 ，
因此正确答案为： ．
15、
<答案 >:
<解析>:
由 ，
由 ， ，
因此 ，
因为 且 ，
所以 ，
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的值域是 ，
所以对任意 ，总存 在唯一 ，使得 成立，
当 ，即 时，有 ，解得 ；
当 ，即 时，有 ，解得 ；
当 ，即 时，有 或 ，
解得 .
综上，所以a的取值范围为 或 .
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1) / 0.5
(2)
<解析>:
（1）
（2）
=
=
=
=
18、
<答案 >:
（1）0；（2） .
<解析>:
（1）通过题意得： ， 或 ，
当 时， 在 上单调递减，
与题设矛盾，舍去，
.
（2）由（ 1）得： ，
当 ， 时， ， ，即 ， ，
当 ， 时， ， ，即 ， ，
若命题 是 成立的必要条件，则 ，
则 ，即 ，
解得： .
19、
<答案 >:
（1） ；（2）至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆．
<解析>:
解：（1）1小时候驾驶员血液中的酒精含量为 ． mg/mL，
2 小时候驾驶员血液中的酒精含量为 ． mg/mL，即 ． mg/mL，
小时后其血液中酒精含量为 ． mg/mL，
所以 ．
（2）通过题意可知 ，即
采用估算法， 时 ； 时 ， 时 ，
时 ，由于 是减函数，所以满足要求的 的最小值为4，
故至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆．
20、
<答案 >:
（1） ；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
<解析>:
（1）通过题意，函数 ，且 ，
则 ，解得 ；
（2）由（1）可知 ，其定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，
所以 是奇函数；
（3） 在 上是单调递增函数．
证明如下：
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ， ，则 ，即 ，
所以 在 上是单调递增函数．
21、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 ，
可得 ，解得
（2）由 可知 ，又因为 ，所以可得 ；
由指数函数性质可知，当 时， 在定义域 上单调递增；
不等式 可转化为 ，
即可得 恒成立，即 ，
由二次函数性质可得 在 处取得最大值， ，所以可得 ，
即t的取值范围为 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)答案见解析
<解析>:
（1）解：①当 时，函数 在区间 上单调递增，合乎题意；
②当 时，若函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 或 ，此时， ；
③当 时，若函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
（2）解：由 可得 .
①当 时，原不等式即为 ，解得 ，此时，原不等式的解集为 ；
②当 时，解方程 可得 或 .
（i）当 时， ，此时，原不等式的解集为 或 ；
（ii）当 时， ，此时，原不等式的解集为 ；
（iii）当 时， ，此时，原不等式的解集为 ；
（iv）当 时， ，此时，原不等式的解集为 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .