八年级数学下册试题 9.3 平行四边形-苏科版（含详解）

9.3 平行四边形
一、单选题
1．下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2：3：2：3 D．2：3：3：2
2．下列给出的条件能判定四边形 ABCD为平行四边形的是 （ ）
A．AB//CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
3．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
4．四边形中，．要判别四边形是平行四边形，还需满足条件（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥
6．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
7．如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
8．用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____．
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果OA=OC，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是_________．（写出一种情况即可）
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件_________（写出一个即可，图形中不再添加助线），则四边形ABCD是平行四边形．
11．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动；点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，那么当_______s时，以为顶点四边形是平行四边形．
三、解答题
12．已知，如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
13．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：．
求证：中不能有两个角是直角．
14．如图，在等边中，点D在边上，为等边三角形，且点E与点D在直线的两侧，点F在上（不与A，B重合）且与，分别相交于点F，G．求证：四边形是平行四边形．
15．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形AECF是平行四边形．
16．如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
17．如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AE平分∠DAB．∠EDC＝30°，求∠AED的度数．
18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
19．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．
20．下面是小东设计的“作平行四边形ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm”的作图过程．作法：如图，①画∠B＝45°；②在∠B的两边上分别截取BA＝2cm，BC＝3cm．③以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D；则四边形ABCD为所求的平行四边形．根据小东设计的作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB＝ ，CB＝ ，
∴四边形ABCD为所求的平行四边形（ ）（填推理的依据）．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，将△ABC绕点C旋转，使得点D落在AB边上，点A落在点E处，连接AE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）求△AFE的面积．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F．
(1)求证：四边形DEBF为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
23．类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题：
（1）从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形的方法，他们分别是：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定理3：____________________．
请将定理3补充完整；
（2）周老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在周老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，除上述4个已经被证明过的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究．
数学爱好者小赵发现“一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明：
已知：________________，
求证：_________________．
（3）小珊和小红研究后发现还有一些是假命题，并且能够通过举反例说明．请你写出一个假命题，并举反例说明．（用符号或者文字简要说明你构图的方法）
假命题：__________________
反例：
（4）数学课代表小明想到了一个命题：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．为此他和小晨同学讨论了起来．他们一致认为，首先要明确是哪一组对角和哪一条对角线平分了另外一条对角线，所以需要分情况考虑．聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果（要求有必要的图形和文字说明）．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． 设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜15）． 过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）用含t的代数式表示下列线段：AE= ，DF= ，AD= ；
（2）判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AF，交DE于点O，设y为△ADO与△DFO的周长差，求y与t的函数关系式，并求当t为何值时，△ADO与△DFO的周长相等．
（4）是否存在某一时刻t，使得△DEF为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【解析】
解：A、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则能判定是平行四边形，故本选项符合题意；
D、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C
2．C
【解析】
解：A、如图1，连接AC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AD=BC，AC=AC，
无法证明△ABC≌△CDA，
∴无法判断四边形 ABCD为平行四边形；
B、∠A=∠B，∠C=∠D，不能判断四边形 ABCD为平行四边形；
C、如图1，∵AB=CD，AD=BC，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AB//CD，
∴四边形 ABCD为平行四边形；
D、AB=AD，CB=CD，无法证明四边形 ABCD为平行四边形；
故选：C．
3．D
【解析】
解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
4．D
【解析】
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵，
∴∠B=∠C，
∴这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故A选项不符合题意，
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴添加∠A＋∠B＝180°不能判别四边形是平行四边形，故B选项不符合题意，
∵，，
∴这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故C选项不符合题意，
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB//CD，
∴四边形是平行四边形，故D选项符合题意，
故选：D．
5．B
【解析】
解：①∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
②∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；
④∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AO=CO，
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；
∵∠BCD+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
⑥∵∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD，
∵∠DBA=∠CAB，
∴∠CDB=∠ACD，
∴OC=OD，
不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；
故选：B．
6．D
【解析】
解：运用反证法证明这个命题的四个步骤
1、假设在中，
2、由，得，即
3、，这与三角形内角和为矛盾
4、因此假设不成立．
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②
故选：D
7．D
【解析】
解：A．t＝2时，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；
B．t＝3时，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；
C．t＝4时，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APCQ，不符合题意．
D．t＝5时，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意．
故选：D．
二、填空题
8．至少有两个内角是钝角
【解析】
用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角，
故答案为至少有两个内角是钝角．
9．OB=OD
【解析】
解：∵OA=OC，
∴当OB=OD时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可知四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
10．AD=BC（答案不唯一）
【解析】
解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
11．或16
【解析】
解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC -BF=16-2t(cm)，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=16-2t，
解得：t=；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF -BC=2t-16(cm)，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-16，
解得：t=16；
综上可得：当t=或16s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：或16．
三、解答题
12．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
13．
证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
则，这与三角形内角和为相矛盾，
不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
14．
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠B＋∠ACB＋∠ACE＝180°，
∴BFCE．
又∵∠AFE＝∠B，
∴EFBC，
∴四边形BCEF为平行四边形．
15．
(1)
解：证明：四边形是平行四边形，
，，，
又，分别是，的中点，
，，
，，
在和中，
，
；
(2)
解：由（1）知，，
，
四边形是平行四边形．
16．
解：（1）证明：∵DF∥EB，
∴∠DFE＝∠BEF，
∵∠DFC＋∠DFE＝180°，∠AEB＋∠BEF＝180°，
∴∠DFC＝∠AEB，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在和中，
∴；
（2）∵，
∴CD＝AB，∠DCF＝∠BAE，
∴DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
17．
（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠AED＝190°﹣60°﹣30°＝90°．
18．
证明：（1），
，
，
，即，
在和中，，
；
（2），
四边形是平行四边形，
，
，
，
又点在一条直线上，且，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
19．
（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥EC，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，
∴BF＝4，
∵EF⊥AB，
∴由勾股定理可得：，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴EC=EF=3，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=3．
20．
(1)
补全图形如下，
．
(2)
∵AB=CD，CB=AD
∴四边形ABCD为所求的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
21．
证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵将△ABC绕点C旋转，使得点D落在AB边上，
∴AC＝CE＝AB，∠ACB＝∠DCE，CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠DCE，
∴AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）如图，过点C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，过点A作AJ⊥EF于J．
∵CB＝CD＝5，CT⊥BD，
∴BT＝DT，
设BT＝x，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵
∴，
∴＝＝，
∴AF＝AC，
∴S△AEF＝S△AEC＝××7×＝．
22．
(1)
证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
(2)
解：四边形是平行四边形，，
，
，
，即，
，即，
①，
又②，
联立①、②得：，
，
则的面积为．
23．
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）已知：在四边形中，，对角线和交于点，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵，
∴，，
在和中，，
∴≌（AAS），
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）（答案不唯一）
假命题：一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．
反例：反例如图所示．
四边形是等腰梯形，，，
四边形满足一组对边平行，一组对边相等，但它不是平行四边形．
（4）分两种情况
①已知，且，
四边形满足一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线，但它不是平行四边形．
②已知，且，
反证法：假设四边形不是平行四边形，则，
故可以在射线上取和不重合的点，使得，
∵且，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
但和不重合，矛盾，假设不成立，
∴四边形是平行四边形．
24．
解：（1）由题意，AE=2t cm，CD=4t cm，AD=（60-4t）cm，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∵∠C=30°，
∴DF=CD=2t cm，
故答案为：2t ，2t ，60-4t．
（2）结论：EF∥AC．
理由：∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴DF∥AE，
∵DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AC．
（3）如图2中，∵四边形AEFD是平行四边形，
∴OA=OF，OD=OE，
∴y=（AD+AO+OD）-（DF+OD+OF）=AD-DF=60-4t-2t=60-6t，
当y=0时，60-6t=0，
解得t=10，
∴y=60-6t，当t=10时，△ADO与△DOF的周长相等．
（4）当∠EDF=90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得，t=，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得，t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．