苏科版八年级数学下册试题 9.4.3菱形及其性质（含详解）

9.4.3菱形及其性质
一、单选题
1．下列命题中正确的是（）
A．一对邻角互补的四边形是平行四边形
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．菱形的对角线相等
2．小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．长方形
3．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别相等
5．如图，若四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．13 B．12 C．26 D．52
6．如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22 B．24 C．48 D．44
8．在菱形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中，一定成立的是（ ）
A．AC=2OE B．BC=2OE C．AD=OE D．OB=OE
10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A． B． C．5 D．4
二、填空题
11．如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在边CD上的点F处，若∠A=63°，则∠BFC的度数为_________．
12．已知一个菱形的边长为 ，其中一条对角线长为 ，则这个菱形的面积为_______．
13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．
14．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE//BD，BE//AC，连接OE，则OE的长是_____．
15．如图，在菱形中，，为边的中点，为对角线上任意一点，，则的最小值为__________．
三、解答题
16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线AC的中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当四边形AECF是菱形时，求EF的长．
17．如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，BF平分∠ABC，再从①DE∥ CF，②∠DEC=∠DFC，③∠FDE=∠C中选择两个条件：
（1）求证：BD=DF；
（2）在证得(1)的情况下，当四边形DECF是菱形时，判断△ABC的形状，并说明理由．
18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE；
（2）当BE＝4，CE＝2时，求菱形的边长．
19．如图，在 ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
20．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长．
21．【定义】我们把有一组对角是直角的四边形叫做“美妙矩形”：连接它的两个非直角顶点的线段，叫做“美妙对角线”．
如图（1），在四边形中，若，则四边形是“美妙矩形”，为“美妙对角线”．
【理解】
（1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是__________．
（2）如图（2），在边长为1的正方形网格中，、、在格点（小正方形的顶点）上请在网格格点中找到一点，使得四边形为“美妙矩形”；
【应用】
（3）若四边形为“美妙矩形”，，，，则__________；
（4）已知“美妙矩形”中，AC为“美妙对角线”，点为的中点，．
①如图（3），当四边形为菱形时，求“美妙矩形”的面积；
②在①的条件下，将沿着射线方向平移到当四边形为矩形时，__________．
答案
一、单选题
1．C
【解析】
A错误，梯形的邻角也互补．
B错误，菱形的对角线互相垂直平分．
C正确，一组对边平行则同旁内角互补，因四边形内角和为 一组对角相等则另一组同旁内角也互补，故另一组对边也平行，所以本选项说法正确．
D错误，菱形的对角线互相垂直平分并不相等 ．
故本题选C
2.B
【解析】
解：由作法可知，
根据四条边都相等的四边形是菱形，
可知四边形一定是菱形．
故选：B．
3．C
【解析】
解：如下图，
∵四边形ABCD是菱形；
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC；
∵∠BAD=，
∴∠ABC=－∠BAD=，
∴∠ABD=，∠BAC=，
∴剪切线与折痕所成的角的大小应为．
故选：C．
4．C
【解析】
解：选项A，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，两组对边分别平行，不符合题意；
选项B，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意；
选项C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符合题意；
选项D，菱形和矩形都是平行四边形，对边都相等，不符合题意．
故选：C．
5．A
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AC=24，BD=10，
∴OA=12，OB=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB= =13，
故选：A．
6．B
【解析】
解：四边形为菱形，
，，，
，
,
∴,
∴,
∴
故选：．
7．B
【解析】
解： 菱形ABCD，
在Rt△BCO中， 即可得BD=8，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
BE=BC+CE=10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=DE BD=24．
故选：B．
8．B
【解析】
解：在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【解析】
解： 菱形ABCD，
为的中点，
为的中位线，
故选B．
10．A
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
二、填空题
11．63°
【解析】
解：由折叠的性质可知，AB=BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=63°，AB=BC，
∴BF=BC，
∴∠BFC=∠C=63°，
故答案为：63°．
12．24
【解析】
解：如图，
∵菱形ABCD中，BD＝8，AB＝5，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝4，
∴OA＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴这个菱形的面积为：AC BD＝×6×8＝24．
故答案为：24．
13．24
【解析】
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°，
故答案为：24．
14．13
【解析】
解：∵CE//BD，BE//AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝13，
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OE＝BC＝13，
故答案为：13．
15．
【解析】
解：连接AC，
∵菱形，
∴=4，AC⊥BD且平分BD，
∴点和关于对称．则连接交于点，此时的值最小为CE的长，
∵，，
∴是等边三角形，
∵为边的中点，
∴，
∵为边的中点，
∴BE=2，
在Rt△BCE中，
故答案为．
三、解答题
16．(1)
证明：∵四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，
∴AB∥DC，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)
解：当四边形AECF是菱形时，AC⊥EF，
设AE＝x，则CE＝x，BE＝8﹣x．
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝，即AE＝．
AEBC=ACEF
．
17．证明：（1）依题意，选择②，③，
∵四边形中，，，
∴
∴
∴
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）当四边形是菱形时，，
由（1）可知，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝2，
∴BD＝BE+DE＝4+2＝6，
∴BH＝BD＝3，EH＝BE﹣BH＝1，
∴CH＝，
∴BC＝，
∴菱形的边长为2．
19．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=AD，FC=BC．
∴AE=CF．
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
(2)∵四边形EBFD是菱形，
∴BE=DE．
∴∠EBD=∠EDB．
∵AE=DE，
∴BE=AE．
∴∠A=∠ABE．
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°．
20．(1)
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE．
(2)
如图，连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，
又∵AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴EG＝AB，
∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB＝5＝EG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴FH＝EG＝5．
21．
解：（1）由“美妙矩形”的概念可得，
“平行四边形、矩形、菱形”中，
一定是“美妙矩形”的是：矩形，
故答案为：矩形；
（2）D点如图所示：
（3）若为直角，
则，
则，
若为直角，
则,
则，
故答案为：或；
（4）①∵点为的斜边的中点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
，
同理的面积为，
∴“美妙矩形”的面积；
②如图，四边形为矩形时，
与O重合，与C重合，
故．