浙教版八上数学期末总复习学案第一章：三角形的初步知识
三角形的基本概念：
例1.下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A. 1.5cm 3.9cm 2.3cm B. 3.5cm 7.1cm 3.6cm21教育网
C. 6cm 1cm 6cm D. 4cm 10cm 4cm21cnjy.com
变式训练1.在△ABC中，AB=3cm，BC=7cm，AC=cm，则的取值范围是__________
变式训练2.锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( )
A. 120° B. 110° C.100° D. 90°
变式训练3.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=________；
变式训练4.在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是_________三角形；21世纪教育网版权所有
例2.如图， AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）21·cn·jy·com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式训练1.如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 30°
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变式训练2.如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.1处 B. 2处 C. 3处 D.4处
变式训练3.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=3：2，则S△ABD：S△ACD=
2·1·c·n·j·y
全等的应用：
例3.已知如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（ ）A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
变式训练1.如图，从下列四个条件：①BC＝B′C， ②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式训练2.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS21·世纪*教育网
变式训练3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对2-1-c-n-j-y
全等的拓展应用：
例4.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形； 21*cnjy*com
③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．
其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的番号）．
变式训练:如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论一定成立的是___________________(填序号）【来源：21cnj*y.co*m】
①BD=AE，②CG=CF，③BG=AF，④GF//BE
例5.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3， AC=AE，
试说明：△ABC≌△ADE.
变式训练:
浙教版八上数学期末总复习学案第一章：三角形的初步知识答案
三角形的基本概念：
例1.下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A. 1.5cm 3.9cm 2.3cm B. 3.5cm 7.1cm 3.6cm21cnjy.com
C. 6cm 1cm 6cm D. 4cm 10cm 4cm2·1·c·n·j·y
解析：根据三角形的定义，三角形任意两边之和大于第三边，
∵1.5+2.3=3.8<3.9,故A选择错误；∵3.5+3.6=7.1故B选择错误；
∵4+4=8<10,故D选择错误；故选择C
变式训练1.在△ABC中，AB=3cm，BC=7cm，AC=cm，则的取值范围是__________
变式训练2.锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( )
A. 120° B. 110° C.100° D. 90°
变式训练3.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=________；
变式训练4.在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是_________三角形；2-1-c-n-j-y
解析：锐角三角形的三条高均在三角形的内部；直角三角形的三条高，两条与直角边重合，另一条在三角形的内部；钝角三角形两条高在三角形外部，另一条在三角形内部，故本题的答案应是钝角三角形。 21*cnjy*com
例2.如图， AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①由于AD是中线，故BD=DC，DE=DF，
从而得到△BDF≌△CDE，故CE=BF，①正确；
②△ABD和△ACD是等底同高，故两三角形面积相等，
故②正确；③由①可得，从而得到
BF//CE，故③正确；④由①已说明△BDF≌△CDE，
故④正确，故本题应选择D
变式训练1.如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 30°
解析：由OA=OB，OC=OD，公共角可得
于是得到，
又由于
从而，故选择A
变式训练2.如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：（ ） 【出处：21教育名师】
A.1处 B. 2处 C. 3处 D.4处
解析：角平分线上的任一点到角两边的距离相等，
于是我们很容易发现满足条件的点三条直线个侧各一个，
三条直线相交成的三角形内部有一个，共有4个点，故选择D
变式训练3.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=3：2，则S△ABD：S△ACD=
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全等的应用：
例3.已知如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（ ）A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
变式训练1.如图，从下列四个条件：①BC＝B′C， ②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：条件：①②③，结论④正确；
条件：①②④，结论③正确；
条件：①③④，结论②不正确；
条件：②③④，结论①不正确；
故本题选择B
变式训练2.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSSwww.21-cn-jy.com
解：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故本题选择D
变式训练3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ）21教育网
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【来源：21·世纪·教育·网】
解析：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD； 于是即可得到：
共4对，故本题选择D
全等的拓展应用：
例4.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；www-2-1-cnjy-com
③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．
其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的番号）．
分析：由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．21·cn·jy·com
解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；
∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD，
同理可得AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为：①②．
变式训练:如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论一定成立的是___________________(填序号）21·世纪*教育网
①BD=AE，②CG=CF，③BG=AF，④GF//BE
故一定成立的答案为①②③④
例5.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3， AC=AE，
试说明：△ABC≌△ADE.
解：∵ ∠1=∠2，∴ ∠BAC=∠DAE.
，
∴ .
又∵ AC=AE，
∴ △ABC≌△ADE（ASA）.
变式训练:
浙教版八上数学期末总复习学案第一章：三角形的初步知识复习作业
选择题：
1.下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等
2.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（ ）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE
3.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不
一定成立的是（ ）
A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA
4. 如图所示，在△ABC中，点F在BC边上，连接
DE,DF,EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）
A.EF∥AB B.BF=CF C. D.
5.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，
DE=2，则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
6.如图，点D，E分别在AC，AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE
的是（ ）
A.∠B=∠C B.AD=AE C.∠BDC=∠CEB D.BD=CE
7．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35 cm，
DF=30 cm，则EF的长为( )
A．35 cm B．30 cm C．45 cm D．55 cm
8．如图P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C,D，则CD（ ）P点到∠AOB两边距离之和。21教育网
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
9.如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF．则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△FCE与△EDF全等（ ）
A．∠A=∠DFE B．BF=CF C．DF∥AC D．∠C=∠EDF
10.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
A. B.
C. D.
二．填空题：
11.如图，OP平分∠MON , PE⊥OM于E, PF⊥ON于F,OA=OB, 则图中有 对全等三角形.21cnjy.com
12.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_________命题．（填入“真”或“假”）
13．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则
的面积为______
14.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为 www.21-cn-jy.com
15.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D ，E为两个顶点作位置不同的三角
形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出________个
16.将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= 21·世纪*教育网
20.如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
三．解答题：
22.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
23.已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．21世纪教育网版权所有
24.已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
25.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．21·cn·jy·com
26.（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．2·1·c·n·j·y
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．【来源：21·世纪·教育·网】
浙教版八上数学期末总复习学案第一章：三角形的初步知识复习作业答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
C
D
A
B
A
A
填空题：
3 12. 假 13. 8 14. 15. 4
17. 5 18. 19. 20. 1或2
解答题：
22．证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠EAC， 在△ABE和△ACE中，， ∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE； （2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，， ∴△AEF≌△BCF（ASA）．21世纪教育网版权所有
23．证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACD=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE．21教育网
证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴DE=DF．
25.证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠PDC=∠PBC，
∵PB=PE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PDC=∠PEC．
26.（1）证明：在正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG
（2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．
