2025高考数学一轮复习-21.1-三角函数的图象和性质-专项训练
一、单项选择题
1.已知α∈(0,π),若cos=-,则cos的值为( )
A.- B. C.- D.
2.为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin3x+图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.若直线x=是函数f(x)=cos ωx(ω≠0)图象的对称轴,则f(x)的最小正周期的最大值是( )
A.π B.2π C. D.
4. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2cos
5.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则( )
A.f(x)在-,-上单调递减
B.f(x)在-上单调递增
C.f(x)在0,上单调递减
D.f(x)在上单调递增
6. 设函数f(x)=cosωx+在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.阻尼器是一种以提供运动的阻力,从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知,某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=2sin(ωt+φ),其中ω>0,若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(-2A. B.π C. D.2π
8. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-π<φ<-的部分图象如图所示,把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍,得到函数y=g(x)的图象,则( )
A.g为偶函数
B.g(x)的最小正周期是2π
C.g(x)的图象关于直线x=对称
D.g(x)在区间上单调递减
二、多项选择题
9.已知tan θ=2,则下列结论正确的是( )
A.tan(π-θ)=-2
B.tan(π+θ)=-2
C.=-
D.sin 2θ=
10.将函数y=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.若φ=,则y=f(x)是偶函数
B.若φ=,则y=f(x)在区间上单调递减
C.若φ=,则y=f(x)的图象关于点对称
D.若φ=,则y=f(x)在区间上单调递增
11.已知函数f(x)=cos的图象为C,则( )
A.图象C关于直线x=对称
B.图象C关于点中心对称
C.将y=cos 2x的图象向左平移个单位长度可以得到图象C
D.若把图象C向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)是奇函数
12. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,设g(x)=|f(x)|,给出以
下四个结论,其中所有正确的结论有( )
A.函数g(x)的最小正周期是
B.函数g(x)在区间上单调递增
C.函数g(x)的图象过点
D.直线x=为函数g(x)图象的一条对称轴
三、填空题
13.已知直线x=和x=是曲线y=sin(ωx+φ)(ω>0)的相邻的两条对称轴,则满足条件的一个φ的值是 .
14.记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
15. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在一个周期内的图象如图所示,其中点P,Q分别是图象的最高点和最低点,点M是图象与x轴的交点,且MP⊥MQ.若f,则tan φ= .
参考答案与解析
1.B 解析 ∵=π,
∴cos=cosπ--α=-cos.
2.D 解析 由y=2sin3x+=2sin3x+,因此需要将函数图象向右平移个单位长度,即可得到y=2sin 3x的图象,故选D.
3.A 解析 依题意ω=kπ,k∈Z,解得ω=2k,k∈Z,因为ω≠0,所以ω=2k,k∈Z且k≠0,所以f(x)的最小正周期T=,所以当k=±1时Tmax=π.
4.C 解析 由图可知,A=2,=π,所以T=4π=,解得ω=.
故f(x)=2sin.
因为图象过点C(0,1),所以1=2sin φ,即sin φ=,
因为|φ|<,所以φ=,故f(x)=2sin.
5.C 解析 f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,对于选项A,当x∈-,-时,2x∈-π,-,f(x)单调递增,故A错误;对于选项B,当x∈-时,2x∈-,f(x)不单调,故B错误;对于选项C,当x∈0,时,2x∈0,,f(x)单调递减,故C正确;对于选项D,x∈时,2x∈,f(x)不单调,故D错误.故选C.
6.C 解析 由题图知f=cos=0,所以-ω++kπ(k∈Z),化简得ω=-(k∈Z).因为T<2π<2T,即<2π<,所以1<|ω|<2,解得-7.B 解析 由正弦型函数的性质,得T=t3-t1=2,则=2,可得ω=π.
8.C 解析 由题图知A=2,f(0)=-1,则2sin φ=-1,即sin φ=-,因为-π<φ<-,所以φ=-.因为x=为f(x)的零点,则=kπ(k∈Z),得ω=1+.由图知,9.ACD 解析 对于A选项,tan(π-θ)=-tan θ=-2,故A选项正确;对于B选项,tan(π+θ)=tan θ=2,故B选项错误;对于C选项,=-,故C选项正确;对于D选项,sin 2θ=2sin θcos θ=,故D选项正确.
10.AC 解析 由题设,f(x)=sin(2x-2φ),φ=时,f(x)=sin=-cos 2x为偶函数,在上有2x∈[0,π],f(x)递增,故A正确,B错误;φ=时,f(x)=sin(2x-π)=-sin 2x,此时f=-sin π=0,即f(x)的图象关于点对称,在上有2x∈[0,π],f(x)不单调,故C正确,D错误.
11.AC 解析 当x=时,f(x)=cos2×=-1,故图象C关于直线x=对称,故A正确;当x=时,f(x)=cos2×=-≠0,故图象C不关于点中心对称,故B不正确;将y=cos 2x的图象向左平移个单位长度可以得到图象对应的解析式为y=cos=cos,故C正确;若把图象C向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,故g(x)=cos2x+=cos2x+,而g(0)=cos=-≠0,故g(x)不是奇函数,故D错误.
12.ABD 解析 由图象得, T= ω==3,又函数f(x)图象过点,
所以3×+φ=+2kπ(k∈Z) φ=2kπ-(k∈Z),
由|φ|<,得φ=-,所以f(x)=sin,
所以g(x)=|f(x)|=,
令3x-=kπ(k∈Z) x=(k∈Z),所以函数g(x)的零点有-,…,作出图象,如图,
由图象可得g(x)的最小正周期为,故A正确;
函数g(x)在上单调递增,
即g(x)在上单调递增,故B正确;
令x=0,得g(x)=,即函数图象过点,故C错误;
由函数图象知直线x=是g(x)图象的一条对称轴,故D正确.
13.(答案不唯一) 解析 由条件可知,得ω=2,当x=时,2×+φ=+kπ,k∈Z,得φ=-+kπ,k∈Z,当k=1时,φ=.
14.3 解析 依题意,T=,则f(T)=f=cos(2π+φ)=cos φ=.又0<φ<π,∴φ=.∴f(x)=cos.
又x=为f(x)的零点,∴f=cos=0,
∴ω++kπ,k∈Z,∴ω=3+9k,k∈Z.
又ω>0,∴ω的最小值为3.
15.-2 解析 因为MP⊥MQ,由正弦型函数图象的性质,知|PQ|,即T=|PQ|,又A=,
所以T2=(2)2+,解得T=4,则ω=,
所以f(x)=sin,
则fsin,
所以+φ=+2kπ,k∈Z或+φ=+2kπ,k∈Z,
则φ=-+2kπ,k∈Z或φ=+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=-,所以tan=-tan=-=--2.
5(共55张PPT)
21.1-三角函数的图象和性质
激 活 思 维
【解析】
D
A
【解析】
B
【解析】
4．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为
________________．
【解析】
【解析】
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
聚 焦 知 识
[－1，1]
[－1，1]
2π
2π
π
奇函数
偶函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x＝kπ
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1) y＝A sin (ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念
(2) 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
第1课时 三角函数的图象和性质
三角函数的周期性、对称性
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】
B
【解析】
C
1
A
【解析】
三角函数的单调性
2
【解答】
【解答】
2
C
【解析】
C
【解析】
三角函数的最值
3
【解析】
C
【解析】
C
3
变式 函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为______．
填
【解析】
因为f(x)＝2cos x－cos 2x，所以f(x)＝－2cos2x＋2cosx＋1，令t＝cos x，则t∈[－1，1]，所以函数f(x)＝2cos x－cos 2x等价于y＝－2t2＋2t＋1，t∈[－1，1].
随 堂 练习
【解析】
因为y＝sin |x|的图象如图(1)所示，所以其不是周期函数，排除D；
图(1)
图(2)
【答案】A
图(3)
C
【解析】
【解析】
【答案】
AD
【解析】
[0，3]
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是 ( )
A．y＝cos 2x B．y＝sin 2x
C．y＝sin x＋cos x D．y＝tan 2x
B
A
【解析】
D
【解析】
【解析】
【答案】D
函数f(x)的周期为2nπ，n∈Z，且n≠0，故A正确；
【解析】
【答案】AC
【解析】
【答案】AD
作出函数y＝sin |x|，y＝|sin x|，y＝sin |x|＋|sin x|的图象如图所示，由图可知，f(x)是偶函数，故 A正确；
【解析】
【解析】
【解析】
【答案】
四、 解答题
10．已知f(x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R).
(1) 当ω＝0时，求f(x)的最小正周期以及单调递减区间；
【解析】
10．已知f(x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R).
(2) 当ω＝2时，求f(x)的值域．
【解答】
【解答】
【解答】
因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin (ωx＋φ)，所以f(x)的最大值为1，最小值为－1.
B
【解答】
A
【解析】
14．已知函数f(x)＝ln x－ax，其中a为非零常数．
(1) 当a＝1时，求f(x)的单调区间；
【解答】
14．已知函数f(x)＝ln x－ax，其中a为非零常数．
(2) 若函数f(x)的图象在x＝1处的切线斜率为－1，求f(x)的极值．
【解答】
谢谢观赏
