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第6讲 函数的概念及其表示方法
第二章
基本初等函数
1．下列图象表示函数关系y＝f(x)的是 ( )
激 活 思 维
D
A
B
C
D
AD
(－∞，1)∪(1，4]
26
【解析】
由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26.
【解析】
5．给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，
g(x)}，则m(x)＝________________________________．
1．函数的概念及表示
聚 焦 知 识
概念 设A，B是两个________的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有________的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的__________，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的________．
三要素 (1) 函数的三要素：__________、____________、________．
(2) 如果两个函数的__________相同，并且____________完全一致，则这两个函数为同一个函数．
表示方法 (1) 解析法 (2) 列表法 (3) 图象法
非空
唯一
定义域
值域
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
2．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称为分段函数．
3．定义域的求法
(1) 分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；
(2) 复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同．
对函数概念的理解
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】A
对于f：x→y＝x2，取x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误；
对于f：x→y＝|x|，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误；
对于f：x→y＝x－1，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误．
(2) 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是 ( )
【解析】
D
1
A
B
C
D
对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；
对于B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；
对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；
对于D，满足函数关系的条件，正确．
【解析】
对于B，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；
对于C，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；
对于D，若f：x→y，y＝x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意．
【答案】A
函数的定义域
2
【解析】
【解析】
2
由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R.
当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；
D
【解析】
2
B
【解析】
D
【解析】
D
(3) 已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，求f(x).
【解答】
3
【解析】
因为函数定义域为R，所以ax2＋ax＋2≠0在x∈R上恒成立．当a＝0时，ax2＋ax＋2＝2≠0满足要求；当a≠0时，要满足Δ＝a2－8a＜0，解得0＜a＜8.综上，0≤a＜8.
B
函数的解析式
3
【解答】
(2) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
【解答】
(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.
变式 (1) 已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1))；
【解答】
【解答】
分段函数
4
【解析】
【解析】
当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0；当a＞0时，f(a)＝ln a＝1，解得a＝e.
－2
0或e
【解析】
令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1.当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0 a＝－2；当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1 a＝－1.综上所述，a＝－2或－1.
D
随 堂 练习
【解析】
要使得函数有意义，则4－x2≥0，且x＋1≠0，解得x∈[－2，－1)∪(－1，2].
C
B
【解析】
f(9)＝f(f(14))＝f(2×14－15)＝f(13)＝2×13－15＝11.
【解析】
D
4．设f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1.若f(3)＝－5，则f(x)的解析式为 ( )
A．f(x)＝2x－11或f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝－2x＋1
C．f(x)＝2x－11 D．f(x)＝2x＋1
【解析】
综上所述，f(x)＝－2x＋1.
【答案】B
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．下列选项中表示同一个函数的是 ( )
【解析】
【答案】D
对于A，因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；
对于B，因为f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；
【解析】
A
f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.
【解析】
B
4．若函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为 ( )
A．(－1，0) B．[－1，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
D
【解析】
由函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，所以ax2－2x＋a＞0恒成立，令h(x)＝ax2－2x＋a.
综上，实数a的取值范围为(1，＋∞).
二、 多项选择题
5．下列是函数图象的是 ( )
ABD
【解析】
对于A，若y＝sgn (x)的图象关于y轴对称，则y＝sgn (x)为偶函数，应该满足sgn (－1)＝sgn (1)，但sgn (－1)＝－1，sgn (1)＝1，即sgn (－1)≠sgn (1)，故A错误；
对于B，因为ex＞0，所以对任意x∈R，sgn (ex)＝1，故B正确；
【答案】BCD
对于D，当x∈(0，1)时，－ln x＞0，y＝x sgn (－ln x)＝x∈(0，1)，当x＝1时，－ln x＝0，y＝x sgn (－ln x)＝0，当x∈(1，＋∞)时，－ln x＜0，y＝x sgn (－ln x)＝－x∈(－∞，－1)，即函数y＝x sgn (－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)，故D正确．
【解析】
x2－2x＋2(x≥1)
【解析】
[－2，－1)
【解析】
四、 解答题
10．(1) 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；
【解答】
因为f(x)的定义域为[－1，5]，所以f(x－5)需满足－1≤x－5≤5，解得4≤x≤10，所以f(x－5)的定义域为[4，10].
(2) 已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；
【解答】
因为f(x－1)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，－1≤x－1≤2，所以f(x)的定义域为[－1，2].
10．(3) 若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．
【解答】
【解答】
B组 滚动小练
12．已知函数y＝ln (x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则( RA)∪B等于 ( )
A．[0，4] B．(0，4]
C．[1，3) D．[1，3]
A
【解析】
由题意可知，x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，所以A＝{x|x＜0或x＞3}，故 RA＝{x|0≤x≤3}．因为B＝{x|1≤x≤4}，所以( RA)∪B＝[0，4].
13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有 ( )
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝16
D．φ(2n＋2)＞φ(2n)，n是正整数
【解析】
【答案】AC
由题意得φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；
当n＝4时，φ(2n－1)＝φ(15)＝8≠1，故B不正确；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C正确；
当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．
14．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.
(1) 若不等式f(x)＜1的解集为R，求实数m的取值范围；
【解答】
根据题意，当m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝2x－2，不合题意；
14．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.
(2) 解关于x的不等式f(x)≥(m＋1)x.
【解答】
f(x)≥(m＋1)x，即(m＋1)x2－2mx＋m－1≥0，即[(m＋1)x－(m－1)](x－1)≥0.
①当m＋1＝0，即m＝－1时，解集为{x|x≥1}；
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练（原卷版）
一、 单项选择题
1．下列选项中表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝x－1
D．f(x)＝与g(x)＝
2．已知函数f(x)＝则f(9)＝( )
A．2 B．9
C．65 D．513
3．函数y＝log2(2x＋1)＋的定义域为( )
A． B．
C． D．∪(0，＋∞)
4．若函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，0) B．[－1，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
二、 多项选择题
5．下列是函数图象的是( )
A B C D
6．已知符号函数sgn (x)＝则下列说法正确的是( )
A．函数y＝sgn (x)的图象关于y轴对称
B．对任意x∈R，sgn (ex)＝1
C．对任意的x∈R，|x|＝－x sgn (－x)
D．函数y＝x sgn (－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)
三、 填空题
7．若f(＋1)＝x＋1，则f(x)的解析式为f(x)＝___．
8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为__．
9．已知函数f＝x2＋，则f＝____；若函数g(x)满足2g(x)＋g＝x，则g(2) ＝_．
四、 解答题
10．(1) 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2) 已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．
11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示，小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)＝小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗)
B组 滚动小练
12．已知函数y＝ln (x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则( RA)∪B等于( )
A．[0，4] B．(0，4]
C．[1，3) D．[1，3]
13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有( )
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝16
D．φ(2n＋2)＞φ(2n)，n是正整数
14．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.
(1) 若不等式f(x)＜1的解集为R，求实数m的取值范围；
(2) 解关于x的不等式f(x)≥(m＋1)x.
2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练（解析版）
一、 单项选择题
1．下列选项中表示同一个函数的是( D )
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝x－1
D．f(x)＝与g(x)＝
【解析】对于A，因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；对于B，因为f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；对于C，易知函数f(x)＝和g(x)＝x－1的定义域为R，而f(x)＝的值域为[0，＋∞)，g(x)＝x－1的值域为R，两函数值域不同，故不能表示同一个函数；对于D，易知函数f(x)和g(x)的定义域为R，值域为{－1，1}，且g(x)＝＝所以是同一个函数．
2．已知函数f(x)＝则f(9)＝( A )
A．2 B．9
C．65 D．513
【解析】f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.
3．函数y＝log2(2x＋1)＋的定义域为( B )
A． B．
C． D．∪(0，＋∞)
【解析】令解得－＜x≤，故定义域为.
4．若函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为( D )
A．(－1，0) B．[－1，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【解析】由函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，所以ax2－2x＋a＞0恒成立，令h(x)＝ax2－2x＋a.当a＝0时，ax2－2x＋a＝－2x，显然－2x＞0不恒成立，舍去；当a≠0时，若h(x)＝ax2－2x＋a＞0恒成立，则需解得a＞1.综上，实数a的取值范围为(1，＋∞).
二、 多项选择题
5．下列是函数图象的是( ABD )
A B C D
6．已知符号函数sgn (x)＝则下列说法正确的是( BCD )
A．函数y＝sgn (x)的图象关于y轴对称
B．对任意x∈R，sgn (ex)＝1
C．对任意的x∈R，|x|＝－x sgn (－x)
D．函数y＝x sgn (－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)
【解析】对于A，若y＝sgn (x)的图象关于y轴对称，则y＝sgn (x)为偶函数，应该满足sgn (－1)＝sgn (1)，但sgn (－1)＝－1，sgn (1)＝1，即sgn (－1)≠sgn (1)，故A错误；对于B，因为ex＞0，所以对任意x∈R，sgn (ex)＝1，故B正确；对于C，当x＜0时，sgn (－x)＝1，当x＝0时，sgn (－x)＝0，当x＞0时，sgn (－x)＝－1，则－x sgn (－x)＝即－x sgn (－x)＝|x|，故C正确；对于D，当x∈(0，1)时，－ln x＞0，y＝x sgn (－ln x)＝x∈(0，1)，当x＝1时，－ln x＝0，y＝x sgn (－ln x)＝0，当x∈(1，＋∞)时，－ln x＜0，y＝x sgn (－ln x)＝－x∈(－∞，－1)，即函数y＝x sgn (－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)，故D正确．
三、 填空题
7．若f(＋1)＝x＋1，则f(x)的解析式为f(x)＝__x2－2x＋2(x≥1)__．
【解析】令＋1＝t，t≥1，则x＝(t－1)2，则f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，t≥1，所以f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).
8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为__[－2，－1)__．
【解析】因为f(x)的定义域为(－4，－2)，要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则解得－2≤x＜－1，所以函数g(x)的定义域为[－2，－1).
9．已知函数f＝x2＋，则f＝____；若函数g(x)满足2g(x)＋g＝x，则g(2) ＝____．
【解析】因为f＝x2＋＝＋2，所以f(x)＝x2＋2，f＝＋2＝.由已知可得解得g(x)＝，其中x≠0，因此，g(2)＝.
四、 解答题
10．(1) 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；
【解答】 因为f(x)的定义域为[－1，5]，所以f(x－5)需满足－1≤x－5≤5，解得4≤x≤10，所以f(x－5)的定义域为[4，10].
(2) 已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；
【解答】 因为f(x－1)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，－1≤x－1≤2，所以f(x)的定义域为[－1，2].
(3) 若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．
【解答】 因为f(x)的定义域为[0，1]，所以g(x)需满足解得当1－m＜m，即m＞时，g(x)的定义域为 ；当1－m＝m，即m＝时，g(x)的定义域为；当1－m＞m，即0＜m＜时，g(x)的定义域为[m，1－m].
11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示，小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)＝小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗)
【解答】 设A(t2，t)，0＜t＜4，因为f(x)＝则B(10－3t，t)，所以10－3t－t2＋2t＝8，解得t＝1，即A(1，1)，B(7，1)，此时矩形ABCD的面积为6×1＝6m2，即小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地．
B组 滚动小练
12．已知函数y＝ln (x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则( RA)∪B等于( A )
A．[0，4] B．(0，4]
C．[1，3) D．[1，3]
【解析】由题意可知，x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，所以A＝{x|x＜0或x＞3}，故 RA＝{x|0≤x≤3}．因为B＝{x|1≤x≤4}，所以( RA)∪B＝[0，4].
13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有( AC )
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝16
D．φ(2n＋2)＞φ(2n)，n是正整数
【解析】由题意得φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；当n＝4时，φ(2n－1)＝φ(15)＝8≠1，故B不正确；因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C正确；当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．
14．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.
(1) 若不等式f(x)＜1的解集为R，求实数m的取值范围；
【解答】根据题意，当m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝2x－2，不合题意；当m＋1≠0，即m≠－1时，f(x)＜1的解集为R，即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－2＜0的解集为R，所以即解得m＜，故m∈.
(2) 解关于x的不等式f(x)≥(m＋1)x.
【解答】 f(x)≥(m＋1)x，即(m＋1)x2－2mx＋m－1≥0，即[(m＋1)x－(m－1)](x－1)≥0.①当m＋1＝0，即m＝－1时，解集为{x|x≥1}；②当m＋1＞0，即m＞－1时，(x－1)≥0，因为＝1－＜1，所以解集为；③当m＋1＜0，即m＜－1时，(x－1)≤0，因为＝1－＞1，所以解集为.综上，当m＜－1时，解集为；当m＝－1时，解集为{x|x≥1}；当m＞－1时，解集为.
