2025高考数学一轮复习-21.2-函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象-专项训练
一、单项选择题
1．已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝sin B．f (x)＝cos
C．f (x)＝sin D．f (x)＝cos
2．将f (x)的图象向左平移个单位长度，所得图象与y＝sin 2x的图象关于y轴对称，则f (x)＝( )
A．－sin 2x B．sin 2x
C．－cos 2x D．cos 2x
3．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(ω>0，A>0，0<φ<π，b∈R)的部分图象如图，则( )
A．φ＝
B．f ＝－2
C．点为曲线y＝f (x)的一个对称中心
D．将曲线y＝f (x)向右平移个单位长度得到曲线y＝4cos 3x＋2
5．将函数f (x)＝sin (ω>0)图象向左平移个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数g(x)在上单调递减，则ω的取值范围为( )
A．(0，3] B．(0，2]
C． D．
6．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．为了得到函数y＝cos 的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点( )
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
8．把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则( )
A．g(x)在上单调递减
B．g(x)在[0，π]上有2个零点
C．y＝g(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)在上的值域为
三、填空题
9．已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．
10．李华以18 km/h的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺，1尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点A)，则点A滚动一周所用的时间为________s(用π表示)；若刚开始骑行时，油漆印离地面0.6 m，在前行的过程中油漆印离地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系式可以用h＝f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋b来刻画，则f (t)＝________．
四、解答题
11．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要求列表)；
(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
(4)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
12．已知函数f (x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f (x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f (x)的单调递减区间；
(2)将函数f (x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值．
13．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，<，且f ＝－f .
(1)求y＝f (x)图象的一个对称中心；
(2)若f ＝，求φ.
参考答案
1．B [对于A，f (x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝－1，所以函数f (x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin 和y＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，故选B.]
2．B [与y＝sin 2x的图象关于y轴对称的函数的解析式为y＝－sin 2x，函数y＝－sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝－sin ＝－sin (2x－π)＝sin 2x.故选B.]
3．D [y＝2sin ＝2sin .故选D.]
4．D [由题图知解得
将点(0，4)的坐标代入f (x)＝4sin (ωx＋φ)＋2得sin φ＝，由题图可知，点(0，4)在y＝f (x)图象的下降部分上，且0<φ<π，所以φ＝，所以A错误；
将点的坐标代入f (x)＝4sin ＋2，得ω·＝，即ω＝3，所以f (x)＝4sin ＋2，所以f ＝4sin ＋2＝2－2，所以B错误；
令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
取k＝0，则x＝－，所以对称中心为，所以C错误；
将曲线向右平移个单位长度得到曲线y＝4sin ＋2＝4cos 3x＋2，所以D正确．
故选D.]
5．C [将f (x)＝sin (ω＞0)的图象向左平移个单位长度，
得g(x)＝sin ＝sin ，当x∈时，ωx＋∈，g(x)在上单调递减，
即 ω≤，故ω∈.故选C.]
6．C [依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示：
则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈.故选C.]
7．BC [函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos ；
函数y＝cos x的图象将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos 2x，
再向右平移个单位长度，得y＝cos ，即y＝cos .故选BC.]
8．BC [把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到y＝sin 2x的图象；
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)＝sin 的图象，
当x∈时，2x＋∈(π，2π)，
则g(x)在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
令g(x)＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝，
因为x∈[0，π]，所以0≤≤π，解得≤k≤，
因为k∈Z，所以k＝1或k＝2，所以g(x)在[0，π]上有2个零点，故B正确；
因为g＝sin ＝sin ＝1，为g(x)的最大值，
所以直线x＝是y＝g(x)的图象的一条对称轴，故C正确；
当x∈时，2x＋∈，g(x)∈，故D错误．故选BC.]
9．－ [由题意可得：T＝＝，∴T＝π，又T＝，∴ω＝±2，由题意知，ω＝±2时都符合题意，故取ω＝2.
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)，
令k＝1，可得φ＝－，
据此有：f (x)＝2cos ，
f ＝2cos ＝2cos ＝－.]
10．sin [李华的时速为18 km/h ＝5 m/s，车轮直径为米，周长为米，故滚动一周所用时间为秒，即最小正周期为T＝，于是ω＝，依题意知A＝，b＝，f (0)＝ sin φ＝，又－<φ<，所以φ＝，
故f (t)＝sin .]
11．解：(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f (x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin .
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f (x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象，如图．
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin 的图象．
(4)因为f (x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ，将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos 的图象，即为f (x)＝2sin 的图象．
12．解：(1)由题意知f (x)＝sin2ωx＋1＋cos 2ωx＝2sin ＋1，
∵最小正周期T＝π，即＝π，∴ω＝1，
∴f (x)＝2sin ＋1，
令＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f (x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵g(x)＝2sin ＋1
＝2sin ＋1，
当x∈时，－≤2x－，
∴当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
13．解：(1)因为f (x)在区间上单调，
且f ＝－f ∈∈，
所以f ＝f ＝0，
所以y＝f (x)图象的一个对称中心是.
(2)由题设，f (x)的最小正周期T≥2×＝π，＝<，
故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1，2，
由为f (x)＝sin (ωx＋φ)的一个对称中心，
所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，①
因为f ＝，所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z.
若ω＋φ＝＋2k2π，②
①－②得ω＝－＋(k1－2k2)π，
即ω＝－2＋6(k1－2k2)．
不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2.
若ω＋φ＝＋2k3π，③
①－③得ω＝－＋(k1－2k3)π，
即ω＝－4＋6(k1－2k3)，
不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2.
此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝.
综上所述，φ＝(共48张PPT)
2025高考数学一轮复习-21.2-函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象
(多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则 ( )
A．f(x)＝2cos
B．函数f(x)的图象关于x＝对称
C．函数f(x)的图象关于对称
D．函数f(x)在上单调递增
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象识别
目标
1
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】ACD
【解析】
【答案】ACD
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
目标
2
2
【解析】
【答案】B
【解析】
C
2
B
【解析】
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动， OP0与水平面所成的角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位： s)之间的函数关系式的图象可能是( )
三角函数的实际应用
目标
3
3
【解析】
以O为圆心，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
【答案】D
对于A，B，由图象易知Hmax＝－Hmin，故A，B错误；对于C，Hmax＜－Hmin，故C错误；对于D，Hmax＞－Hmin，故D正确．
变式 某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为( )
【解析】
【答案】C
对于D，当t＝30时，d＝0，故D错误；
随 堂 内 化
D
【解析】
【解析】
【答案】AB
【解析】
C
【解析】
【答案】
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
【解析】
【答案】D
【解答】
【答案】D
C
【解析】
4．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．如图(1)，由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y＝sin (ωt＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π).如图(2)，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3(0＜t1＜t2＜t3)，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为 ( )
图(1)
图(2)
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】AC
【解析】
【答案】AD
【解析】
【解析】
【解析】
【答案】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
B组 滚动小练
12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为 ( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
B
【解析】
由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，所以c＝0.由f(x)＝0得2x＝－x.由g(x)＝0得log2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝log2x，y＝－x的图象，由图象知a＜0，b＞0，所以b＞c＞a.
13．已知y＝f(x－1)为偶函数，当x≥－1时，f(x)＝ln (x2＋2x＋3).若f(x1)＞f(x2)，则( )
A．(x1－x2)(x1＋x2－2)＜0 B．(x1－x2)(x1＋x2－2)＞0
C．(x1－x2)(x1＋x2＋2)＜0 D．(x1－x2)(x1＋x2＋2)＞0
D
【解析】
由y＝f(x－1)为偶函数可知f(x)的图象关于x＝－1轴对称．又x≥－1时，u＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2单调递增，y＝ln u单调递增，故f(x)＝ln (x2＋2x＋3)在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，即f(x1)＞f(x2) |x1＋1|＞|x2＋1| (x1＋1)2－(x2＋1)2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)＞0.
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