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第7讲 函数的单调性与最值
第二章
基本初等函数
1．已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为( )
A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5]
C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4]
激 活 思 维
B
【解析】
对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误；
对于B，因为f(x)＝x2＋1的对称轴为y轴，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故B正确；
BCD
C
【解析】
4．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为_____________________________．
(－∞，40]∪[160，＋∞)
5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集为____________________．
(－1，0)∪(0，3)
【解析】
1．函数的单调性
(1) 单调函数的定义
聚 焦 知 识
增函数 减函数
定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1＜x2时，都有______________，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数
图象描述 自左向右看，图象是__________ 自左向右看，图象是__________
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
上升的
下降的
(2) 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：____________．
同增异减
相同
相反
3．函数的最值
前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1) 对于任意x∈D，都有_________； (2) 存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3) 对于任意x∈D，都有__________；
(4) 存在x0∈D，使得____________
结论 M为最大值 M为最小值
几何意义 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
f(x)≤M
f(x)≥M
f(x0)＝M
判断函数的单调性
举 题 说 法
1
【解析】
由一次函数性质可知f(x)＝－x在R上是减函数，不符合题意；
由二次函数的性质可知f(x)＝x2在R上不单调，不符合题意；
D
(2) 函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为______________；函数g(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是_____________．
【解析】
[2，＋∞)
1
(4，＋∞)
1
【解答】
f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
变式 (1) 函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是__________．
[1，2]
【解析】
【解答】
函数单调性的应用
2
【解析】
A
【解析】
2
【解析】
(－∞，－3]
2
【解析】
D
求函数的最值
3
【解析】
A
【解析】
3
【解析】
A
【解析】
①当x＝0时，f(x)＝3.
【答案】C
【解析】
0
随 堂 内 化
【解析】
对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；
【答案】C
【解析】
A
【解析】
当x＜0时，f(x)＝－2x＋1单调递减；当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
A
D
【解析】
配套精练
【答案】B
【解析】
【解析】
C
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】ABD
【解析】
舍去．故实数m＝3.
3
8．已知函数f(x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为_______．
－4
【解析】
在同一平面直角坐标系中作出两函数图象如图所示．
【解析】
【解答】
f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
【解答】
【解答】
【解答】
【解析】
B
13．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝8}中的元素个数是 ( )
A．10 B．9
C．8 D．7
B
【解析】
由定义知，当a，b都为正偶数或都为正奇数时，a※b＝a＋b＝8，故(a，b)是(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)；
当a，b中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a※b＝ab＝8，故(a，b)是(1，8)，(8，1)，故共有9个元素．
14．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(1) 求证：方程f(x)＝0必有两个不相同的根；
【解答】
14．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(2) 若方程f(x)＝0的两个根分别为x1，x2，求|x2－x1|的取值范围．
【解答】
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第7讲-函数的单调性与最值-专项训练
1.设a∈R,则“a≥1”是“函数f(x)=在(1,+∞)上单调递减”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知函数f(x)是定义域为(0,+∞)的减函数,若f(2-2m)>f(1+m),则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)=x+,则函数f(x)有 ( )
A.最小值1,无最大值
B.最大值,无最小值
C.最小值,无最大值
D.无最大值,无最小值
4.已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列结论正确的是( )
A.增区间是(0,+∞)
B.减区间是(-∞,-1)
C.增区间是(-∞,-1)
D.增区间是(-1,1)
5.函数f(x)=的最大值与最小值的和是 ( )
A. B. C.1 D.-
6.(多选题)已知函数f(x)同时满足性质:①f(-x)=f(x);② x1,x2∈(0,1),<0.函数f(x)的解析式不可能为 ( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=cos 4x D.f(x)=ln(1-|x|)
7.(多选题)已知函数f(x)=2-x-21-2x+a.关于函数f(x)的单调性,下列判断错误的是( )
A.f(x)在(-∞,2)上单调递增
B.f(x)在(-∞,2)上单调递减
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递减
8.已知函数f(x)=x+ln x-1,则不等式f(x)<0的解集是 .
9.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
10.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:f(x)= .
①定义域为R;②值域为(-∞,1);③对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,均有>0.
11.已知函数f(x)=x2-2x+3在区间[t,t+1]上是单调函数,则实数t的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[0,1]
C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪[1,+∞)
12.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,0] B.[0,1)
C.[1,+∞) D.[-1,0]
13.定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足: x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,>0,且f(3)=9,则不等式f(x)>3x的解集为 ( )
A.(9,+∞) B.(0,9)
C.(0,3) D.(3,+∞)
14.(多选题)若函数f(x)的定义域与值域的交集为[a,b],则称f(x)为“[a,b]交汇函数”,下列函数是[0,2]交汇函数的是( )
A.f(x)=x2-4x+4,x∈(-∞,2]
B.f(x)=-+2
C.f(x)=-2x+2
D.f(x)=
15.若函数f(x)和g(x)的值域相同,但定义域不同,则称f(x)和g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)=x2+2,写出一个与f(x)是“同象函数”的函数g(x)的解析式:g(x)= .
16.已知函数f(x)=x2+a|x-1|-4在区间[0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 .
17.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=3,则( )
A.f(1)=1
B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
C.函数f(x)是奇函数
D.函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x-1
18.函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x∈R,都有f(x)>0;②对任意x,y∈R,都有f(xy)=[f(x)]y;③f>1.
(1)求f(0)的值.
(2)求证:f(x)在R上单调递增.
(3)若a>b>c>0,且b2=ac,求证:f(a)+f(c)>2f(b).
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.ABC
7.BCD 8.(0,1) 9.(-4,4]
10.f(x)=1-(答案不唯一)
11.D 12.B 13.D 14.ABD
15+2(或+2,m∈R或+2,m∈R等,答案不唯一)
16.[-2,0] 17.ABD
18.解 解法一:(1)令x=0,y=2,得f(0)=[f(0)]2.
因为f(0)>0,所以f(0)=1.
(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1
f(x1)-f(x2)=f-f
因为f>1,p1所以f(x)在R上单调递增.
(3)由(1)(2)知f(b)>f(0)=1.
因为f(b)>1,
且f(a)=f=[f(b),f(c)=f=[f(b),
所以f(a)+f(c)=[f(b)+[f(b)>22=2f(b),
所以f(a)+f(c)>2f(b).
解法二:(1)因为对任意x,y∈R,有f(xy)=[f(x)]y,且对任意x∈R,f(x)>0,所以f(x)=f(x·1)=[f(1)]x,当x=0时,f(0)=[f(1)]0=1.故f(0)=1.
(2)因为f>1,所以f(1)=f>1,所以f(x)=[f(1)]x在R上是增函数,即f(x)在R上单调递增.
(3)由(2)知,f(1)>1,f(a)+f(c)=[f(1)]a+[f(1)]c>2,而a+c>2=2=2b,所以2>2=2f(b),所以f(a)+f(c)>2f(b).