第19讲-同角三角函数的基本关系式与诱导公式-专项训练【原卷版】
1．已知α是第二象限角，角β的终边经过点，则β为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．若角α的终边在第三象限，则＋＝( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
3．已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．若tan＝－，则cos 2α＝( )
A．－ B．－
C． D．
5．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，cos A＝－cos(π－B)，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1 B．＝cos α
C．＝tan α D．＝1
7．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
8．已知sin＝－，且0
9．(已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为________．
10．已知α是第三象限角，且f(α)＝．
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
11．(多选)已知0<α<π，且sin α＋cos α＝m，则下列说法正确的是( )
A．当m＝0时，α＝
B．当0C．当m＝1时，sin3α＋cos3α＝1
D．当α＝时，m<0
12．已知函数f(x)＝sin 2x．若非零实数a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________．(只需写出一组)
13．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为________．
14．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sin α·－1．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．
15．已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为( )
A．2 B．
C．1 D．2
16．(1)求证：＝；
(2)探究＝与sin2α＋cos2α＝1的内在联系，你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
第19讲-同角三角函数的基本关系式与诱导公式【解析版】
1．已知α是第二象限角，角β的终边经过点，则β为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：D ∵cos(π＋α)＝－cos α，sin＝cos α，又α为第二象限角，∴cos α<0，－cos α>0，∴点位于第四象限，∵角β的终边经过点，∴β为第四象限角．故选D．
2．若角α的终边在第三象限，则＋＝( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：B 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3，故选B．
3．已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：A ∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－，∵|θ|<，∴θ＝－．
4．若tan＝－，则cos 2α＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：A 因为tan＝tan＝tan＝－，所以tan＝＝－，解得tan α＝4，则cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－．故选A．
5．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，cos A＝－cos(π－B)，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：B 由sin＝3sin(π－A)可得cos A＝3sin A，可得tan A＝，又06．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1 B．＝cos α
C．＝tan α D．＝1
解析：AB A选项：tan(π＋1)＝tan 1，故正确；
B选项：＝＝＝cos α，故正确；
C选项：＝＝－tan α，故不正确；
D选项：＝＝＝－1，故不正确．故选A、B．
7．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
解析：ABC 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；sin ＝sin＝cos；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C．
8．已知sin＝－，且0解析：由0答案：
9．(已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为________．
解析：因为cos α－sin α＝－ ①，所以1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝．所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝．又0<α<，所以sin α＋cos α>0．所以sin α＋cos α＝ ②．由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，所以＝．
答案：
10．已知α是第三象限角，且f(α)＝．
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α．
∵cos＝－sin α，∴sin α＝－．∵α是第三象限角，∴cos α＝－＝－．∴f(α)＝－cos α＝．
(2)f(α)＝－cos＝－cos＝－．
B级——综合应用
11．(多选)已知0<α<π，且sin α＋cos α＝m，则下列说法正确的是( )
A．当m＝0时，α＝
B．当0C．当m＝1时，sin3α＋cos3α＝1
D．当α＝时，m<0
解析：ABCD A中，当m＝0时，可得sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1，因为0<α<π，所以α＝，所以正确；
B中，当00，cos α<0，所以α∈，所以正确；
C中，当m＝1时，可得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，可得sin αcos α＝0，因为0<α<π，可得sin α>0，所以sin α＝1，cos α＝0，可得sin3α＋cos3α＝1，所以正确；
D中，当α＝，可得sin ＋cos ＝－<0，即m<0，所以D正确．故选A、B、C、D．
12．已知函数f(x)＝sin 2x．若非零实数a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________．(只需写出一组)
解析：当a＝时，f＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立．
答案： －1
13．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为________．
解析：因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，所以f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β＝－3．
答案：－3
14．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sin α·－1．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．
解：(1)∵－<α<0，∴sin α<0，∴f(α)＝sin α－sin α·－1
＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α．
(2)法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，即2sin α·cos α＝－．
∴sin α·cos α＝－．
又－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，
∴sin α－cos α＝－．
法二：联立方程解得或
∵－<α<0，∴
∴sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－．
C级——迁移创新
15．已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为( )
A．2 B．
C．1 D．2
解析：D 因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β，所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时等号成立．
16．(1)求证：＝；
(2)探究＝与sin2α＋cos2α＝1的内在联系，你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
解：(1)证明：法一：因为右边分母为cos α，故可将左边分子分母同乘以cos α．
左边＝＝＝＝＝右边．
法二：因为左边分母是1－sin α，故可将右边分子分母同乘以1－sin α．
右边＝＝＝＝＝左边．
法三：只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．
因为左边＝，右边＝＝＝，所以左边＝右边，原等式成立．
法四：只需证明左边－右边＝0即可．
因为－＝＝＝＝0，
所以＝．
(2)＝即为sin2α＋cos2α＝1的变形形式，但不等价．
因为＝成立时，α≠kπ＋，k∈Z，而sin2α＋cos2α＝1中α∈R，即由sin2α＋cos2α＝1 cos2α＝1－sin2α cos2α＝(1＋sin α)(1－sin α)，当cos α·(1－sin α)≠0时，上式两边同除cos α(1－sin α)可得＝．
还可利用同角三角函数的基本关系推导出以下关系式：
如sin4α＋cos4α＝1－2sin2α·cos2α也是sin2α＋cos2α＝1的一个变形，＝1＋tan2α是sin2α＋cos2α＝1和＝tan α的变形等．(共47张PPT)
第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第四章
三角函数与解三角形
激 活 思 维
【解析】
B
D
【解析】
【解析】
－2tan α
【解析】
因为α为第二象限角，所以
【解析】
1．同角三角函数的基本关系
(1) 平方关系：___________________．
(2)商数关系：_____________________________．
聚 焦 知 识
sin2α＋cos2α＝1
2．三角函数的诱导公式
3．常见的互余和互补的几组角
4．常用结论
(1) 同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan α·cos α.
(2) 利用同角三角函数的平方关系开方时，要特别注意判断符号．
同角关系式的基本应用
举 题 说 法
1-1
【解答】
1-1
【解答】
C
【解析】
1-2
【解答】
1-2
4
【解析】
【解答】
②sin2α－2sinαcos α＋1.
【解答】
诱导公式的应用
2
【解答】
【解答】
2
【解析】
C
C
【解析】
三角函数的化简与证明
3
【解答】
【解答】
3
－sin2α
【解析】
【解析】
随 堂 内 化
【解析】
D
A
【解析】
【解析】
4．化简：
－tan α
【解析】
配套精练
A
【解析】
2．已知cos 140°＝m，则tan 50°＝ ( )
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
BCD
【解析】
【答案】BD
【解析】
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
B组 滚动小练
12．已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则下列函数满足条件的是 ( )
【解析】
【答案】C
13．已知x，y∈(0，＋∞)，且满足2x＋4y－xy＝0，则2x＋y的最小值为______．
18
【解析】
【解答】
又因为F(－x)＝f(－x＋1)＋f(1－(－x))＝f(1－x)＋f(1＋x)＝F(x)，所以函数F(x)在定义域上为偶函数．
【解答】