(共54张PPT)
第23讲 平面向量的概念与线性运算
第五章
平面向量与复数
激 活 思 维
【解析】
D
2．(多选)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，则下列各式正确的是 ( )
【解析】
【答案】BD
3．当向量a，b满足____________时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|).
a，b反向
【解析】
当a，b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|；当a，b反向且|a|≤|b|时，|a＋b|＝|b|－|a|，所以当a，b反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|).
【解析】
5．已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥ b，则实数k＝_______．
【解析】
－9
1．向量的有关概念
聚 焦 知 识
名称 定义 备注
共线向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量 0向量与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两个向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律：a＋b＝b＋a；
(2) 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理：向量平行(共线)的充要条件：a∥b a＝λb(b≠0).向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_________．
4．两个重要结论
b＝λa
(1) (多选)下列说法错误的是 ( )
A．单位向量都相等
B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等、方向相反的向量共线
D．相反方向的非零向量可能相等
平面向量的概念
举 题 说 法
1
AD
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】
1
B
变式 已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|－|b|，则 ( )
A．|a＋b|＞|b| B．|a－b|＜|a|
C．|a＋b|＞|a－b| D．(a＋b)·(a－b)≥0
D
【解析】
由|a＋b|＝|a|－|b|得|a＋b|2＝(|a|－|b|)2 a·b＝－|a||b|，因此可知a，b方向相反，且|a|≥|b|.
对于A, |a＋b|＝|a|－|b|，由于|a|－|b|与|b|的关系不确定，故A错误；
对于B，由于|a－b|＝|a|＋|b|＞|a|，故B错误；
对于C，|a＋b|＝|a|－|b|，|a－b|＝|a|＋|b|，所以|a＋b|＜|a－b|，故C错误；
对于D，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2≥0，故D正确．
平面向量的线性运算
2
【解析】
C
【解析】
2
AC
【解析】
A
共线向量定理及其应用
目标
3
3
【解析】
B
【解析】
3
2
(1) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2) 向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0成立．若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．
【解析】
【答案】B
【解析】
A
随 堂 内 化
1．下列说法正确的是 ( )
B
【解析】
对于A，由于任意两个向量不能比大小，故A错误；
对于C，|a|＋|b|＝|a＋b| a与b的方向相同，故C错误；
对于D，若|a|＝|b|＝|c|，则向量a，b，c的模相等，但a，b，c的方向不确定，故D错误．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】
A
【解析】
C
4．(2023·重庆模拟)已知向量a与b为一组基底，若ma＋4b与a＋2b平行，则实数m＝_____．
2
【解析】
配套精练
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
C
二、 多项选择题
5．(2024·邯郸一调)设a，b是两个非零向量，且|a＋b|＜|a|＋|b|，则下列结论正确的是 ( )
A．|a－b|≤|a|＋|b|
B．|a－b|＜|a＋b|
C．a，b的夹角为钝角
D．若存在实数λ使得a＝λb成立，则λ为负数
【解析】
【答案】AD
对于A，当a，b不共线或同向共线时，根据向量减法的三角形法则知|a－b|＜|a|＋|b|，当a，b反向共线时，|a－b|＝|a|＋|b|，故|a－b|≤|a|＋|b|，故A正确；
对于B，若a⊥b，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，且|a＋b|和|a－b|是这个矩形的两条对角线长，则|a＋b|＝|a－b|，故B错误；
对于D，若存在实数λ，使得a＝λb成立，则a，b共线，由于|a＋b|＜|a|＋|b|，则a，b反向共线，所以λ为负数，故D正确．
【解析】
【答案】ACD
三、 填空题
7．设向量a，b不平行，λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝______．
【解析】
【解析】
【解析】
【答案】
【解答】
C，D，E三点不共线．
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
B组 滚动小练
12．(2024·常州期中)某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测分别如下：“甲或乙是冠军”“甲是冠军”“丁是冠军”“乙、丙两人都不是冠军”．若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是 ( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】
若甲是冠军，则“甲或乙是冠军”“甲是冠军”“乙、丙两人都不是冠军”预测正确，故A错误；
若乙是冠军，则只有“甲或乙是冠军”预测正确，故B错误；
若丙是冠军，则没人预测正确，故C错误；
若丁是冠军，则“丁是冠军”“乙、丙两人都不是冠军”预测正确，故D正确．
【答案】D
【解析】
BC
【解答】
【解答】
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温馨提示：
1.补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(基础版)对应内容
2.为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(基础版)2025高考数学一轮复习-第23讲-平面向量的概念与线性运算-专项训练
基 础 巩固练
1.下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
D.向量的模是一个正实数
2.如图,在正六边形ABCDEF中,=( )
A.0 B.
C. D.
3.(2023宿迁质检)已知向量e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,λ∈R,则λ=( )
A.2 B.-2 C.- D.
4.(2023泰州质检)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A.a=3b B.a∥b
C.a=-b D.a∥b且|a|=|b|
5.(多选题)(2023南通月考)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,关于这6个向量,下列说法正确的有( )
A.向量的模相等
B.||=
C.向量共线
D.||+||=10
6.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算正确的有( )
A. B.
C. D.=0
7.已知实数m,n和向量a,b,下列结论中,正确的序号是 .
①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na(a≠0),则m=n.
8.(2023徐州月考)如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为 .
9.设两向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
综 合 提升练
10.设e是单位向量,=3e,=-3e,||=3,则四边形ABCD是( )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
11.(2023连云港期中)已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为( )
A.λ=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0
12.(多选题)(2023常州月考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD,E是BC边上一点,且=3,F是AE的中点,则下列关系式正确的有( )
A.=-
B.
C.=-
D.=-
13.在△ABC中,已知=a,=b.
(1)若P,Q是线段BC的三等分点,求证:=a+b.
(2)若P,Q,S是线段BC的四等分点,求证:(a+b).
(3)如果A1,A2,A3,…,An-1是线段BC的n(n≥3)等分点,那么你能得到什么结论 不必证明.已知1+2+3+…+n=
创 新 应用练
14.已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=,平面内三个不共线的向量满足=(anan+1+2)-an,若A,B,C三点在同一直线上,则S20= .
15.(2023无锡调研)已知P,Q为△ABC所在平面内的两点,且满足,则= .
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.A 5.BC 6.ACD 7.①②④ 8
9.解 (1)=a+b,=2a+8b,
=3(a-b),
=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,
共线.
又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,
∴k=±1.
10.B 11.D 12.ABD
13.解 (1)当P,Q是线段BC的三等分点时,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC.
连接AD,交BC于O点,连接PD,QD,如图所示,则
因为OB=OC,BP=CQ=BC,所以OP=OQ,且OA=OD,
所以四边形APDQ是平行四边形,所以=a+b.
(2)当P,Q,S是线段BC的四等分点时,如图所示,则Q是BC的中点,
所以)=(a+b).
(3)结论:+…+(a+b).
14 15
